人教A版（2019）高中数学必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解课时训练.doc

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1、4.5.1 函数的零点与方程的解1已知f（x）logx，g（x）2x1，则函数yf（x）g（x）的零点个数为（ ）A0 B1 C2 D不确定2已知函数(为自然对数的底数)，则函数的零点个数为（ ）A6B5C4D33已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD4已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD5已知函数，则方程的根的个数不可能是（ ）A3B4C5D66已知函数，.若有个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD7已知，则“”是“方程至少有一个负根”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8关于的方程，给出下列四个命题：存在

2、实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根其中正确命题的个数是（ ）A1B2C3D49已知函数，若关于的方程有6个不等的实数根，则的值是（ ）.A0B1C6D210已知函数若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为（ ）ABCD11设是定义在上的偶函数，且，当时，若在区间内关于x的方程有3个不同的根，则a的范围是_.12函数的零点个数为_.13设函数给出下列四个结论：对，使得无解；对，使得有两解；当时，使得有解；当时，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是_.14已知函数，若方程有三个不

3、同的实根，则实数a的取值范围是_15已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围_.16函数的零点个数为_.17已知函数，其中a为实数，且（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程仅有一个实数根，求实数a的取值范围18已知函数.（1）若是偶函数，求a的值；（2）当时，若关于x的方程在上恰有两个不同的实数解，求a的取值范围.19已知函数（1）求函数的最大值；（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围；（3）若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围20若直线y=1与曲线y=x2|x|+a有四个交点，求a的取值范围21若函数的两个零点分别为，且有，试求出的取值范围22已知是定义在上的奇函数，且当时

4、，.（1）若函数恰有三个不相同的零点，求实数的值；（2）记为函数的所有零点之和.当时，求的取值范围.23已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数的值域为，求实数a的取值范围；（3）设，若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.24已知函数（，且、）.设关于的不等式的解集为，且方程的两实根为、.（1）若，完成下列问题： 求、的关系式；若、都是负整数，求的解析式；（2）若，求证: .25函数的函数值表示不超过的最大整数，如，已知（1）求函数的表达式（2）记函数，在平面直角坐标系中作出函数的图象（3）若方程（，且）有且仅有一个实根，求的取值范围26若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立

5、，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.（1）已知函数具有性质，求出对应的的值；（2）证明：函数一定不具有性质；（3）下列三个函数：，哪些恒具有性质，并说明理由答案解析1B分析：利用函数的单调性结合零点存在性定理求解解答：函数在上单调递减，且当时，；当时，则函数的零点个数为故选：B点评：本题考查函数的零点存在性定理，考查指对函数的单调性，属于基础题2A分析：利用换元法将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后结合函数的性质确定交点的范围，最后利用交点的范围即可确定原函数零点的个数解答：解：，则由得作出的函数图象如图所示：设直线与曲线相切，切点为，则，解得，设直线与曲线相切，切点

6、为，则，解得故直线与的图象有4个交点，不妨设4个交点横坐标为，且，由图象可知，由的函数图象可知无解，有一个解，有三个解，有两个解，有6个零点故选：点评：本题主要考查分段函数及其应用，导数研究函数的切线，数形结合的数学思想，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题3D分析：根据题意转化为方程有两个不同的实数根，整理得到有两个不同的实根，转化为和在上有两个交点，根据导数求出的单调性、极值和最值，从而得到的取值范围.解答：要使函数有两个极值点，求导得，则转化为有两个不同的实根，即和在上有两个交点，令，记，在上单调递减，且，所以当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减，故当时，；当时，所以，当，即时

7、，和在上有两个交点，故选D点评：本题考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，函数与方程，属于中档题.4D分析：分别作出和的图象，根据图象观察，找到临界直线、和，联立直线和曲线方程，找到交点坐标，可得实数的取值范围解答：，其图象是一个倒V形的两条射线，且互相垂直, 作出的图象如图， 直线的方程为：，联立直线的方程为：，联立直线线l的方程为：，把代入中，得，令即此时直线l和有且只有一个交点，直线l的方程联立恒过定点显然实数的取值范围是时，和图象恰有两个交点，即恰有2个不同的实数根，故选：D点评：考查函数图象的综合应用，考查函数与方程思想，属于中档题5A分析：先画出函数的图象，然后令，讨论的范围，得

8、到与的图象交点的个数，再结合交点的值讨论的解得个数，即可求出方程的根的不可能的个数解答：画出函数的图象如图，令，当时，与的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为，且，当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，时，该方程有0个解或1个解或2个解，当时，方程的根的个数可能为4个，5个，6个；当时，与的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为，且，当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，当时，方程的根的个数为4个；综上所述：方程的根的个数可能为4个，5个，6个故选：A点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，以及符号函数的性质，同时考查了作图的能力，分析问题的能力和转化的思想以及分类讨论的思想属于中档题6

9、D分析：作出函数与函数的图象，可知这两个函数的图象有个交点，数形结合可得出实数的取值范围.解答：令可得，作出函数与函数的图象如下图所示：由上图可知，当时，函数与函数的图象有个交点，此时，函数有个零点.因此，实数的取值范围是.故选：D.点评：本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7B分析：分类讨论的正负，利用两根与系数的关系、判别式，进而求解判断即可.解答：（1）当时，方程变为，有一负根，满足题意；（2）当时，方程的两根满足，此时有且仅有一个负根，满足题意；（3）当时，由方程的根与系数关系可得，方程若有根，则两根都为负根，而方程有

10、根的条件，.综上可得，.因此，“”是“方程至少有一个负根”的必要不充分条件.故选：B.点评：本题考查必要不充分条件的判断，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8D分析：利用换元，转化为判断函数，图像交点个数问题，采用数形结合，通过对，依次讨论即可.解答：令，在同一平面直角坐标系中作出函数，的图象，如图所示当时，两函数图象有3个交点，且交点横坐标分别为，0，1由于，0，1都在函数的值域内，令，故原方程有5个不同的实根当时，此时，两函数图象有2个交点，且交点横坐标分别为，其中在内，而不在，所以，于是原方程有2个不同的实根；当时，函数图象有2个交点，且交点横坐标分别为，且，

11、则原方程有4个不同的实根；当时，两函数图象有4个交点，且交点横坐标分别为，从而原方程有8个不同的实根综上，四个命题都正确故选：D点评：本题考查含参数方程根的个数问题，熟悉等价转化法的使用，函数零点问题等价于方程根的个数问题等价于两函数图像交点个数问题，数形结合，简洁明了，属中档题.9D分析：采用数形结合，利用换元法令，然后可知的两根，然后利用韦达定理可得.解答：函数的图象如图所示，令，由题意可知：方程有两个不同的实数根，或，由于，故，令，所以.故选：D.点评：本题考查根据方程的根的个数求参，本题难点在于根据图形找到方程的两个不同的实数根，同时结合换元法的使用，使问题更加清晰，属中档题.10D分

12、析：作出分段函数的图象，由得或，由图可得方程有2个实根.求出的取值范围.解答：由，得或，作出的图象，如图所示，由图可知，方程有3个实根，故方程有2个实根，故的取值范围为.故选：D点评：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.11分析：由已知中可以得到函数是一个周期函数，且周期为4，根据函数与方程之间的关系，转化为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，利用数形结合即可得到实数a的取值范围.解答：对于任意的，都有，函数是一个周期函数，且.又当时，

13、且函数定义在R上的偶函数，若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数解，则函数与在区间上有3个不同的交点，如下图所示：又，当时，不合题意，当时，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，当时的函数值大于1，即，由此解得：，故答案为：.点评：本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数的奇偶性及函数的周期性，函数图象的应用，属于中档题.12分析：作出函数与的部分图象，观察交点个数并结合两个函数的增长趋势即可得出结论.解答：由，作出函数与的部分图象，可知两函数在区间上的图象有两个交点，并注意到指数函数的增长速度最终会远远超过幂函数的增长速度，所以两函数在区间上必有一个交点，因此，函数与的图象有个交点，

14、所以，函数有个零点.故答案为：.点评：本题考查函数的零点个数，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13分析：取，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数的值域，可判断的正误；当时，可以否定；考虑时，求得函数的值域，即可判断；当时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数的图象，即可判断.综合可得出结论.解答：对于，可取，则，当时，；当时，当且仅当时，取得等号，故时，的值域为R，都有解，故错误；对于，当时，由于对于任意,无解；时，对任意的,至多有一个实数根，故错误；对于，当时，时，单调递减，可得；又时，即有.可得，则的值域为，都有解，故正确；对于，当时，时，递

15、增，可得；当时，当且仅当时，取得等号，由图象可得，当时，有三解，故正确.故答案为：. 点评：本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题.14分析：由在同一坐标系中画出函数的图象与函数的图象，利用数形结合，可求出满足条件实数a的取值范围解答：函数的图象如下图所示，作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，而由得，当时，即（舍去）时，得直线，当直线l：，过点时，得直线，此时，所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，故答案为：. 点评：本题考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想，属

16、于中档题15分析：采用数形结合，先计算直线直线与曲线相切时，的值，然后讨论，的情况，最后判断可得结果.解答：作出函数的图象如图所示：先考虑直线与曲线相切时，的取值，设切点为，对函数求导得，切线方程为，即，则有，解得，由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是，故答案为：.点评：本题考查方程根的个数求解参数，采用数形结合，形象直观，考查

17、分析能力以及计算能力，属中档题.161分析：易知函数的定义域为，假设存在，使得，设，根据指数与对数互换，可得，由此，再根据函数的单调性可知；则，即，再令，根据零点存在定理和函数的单调性即可得到结果.解答：由题意可知，即，所以；所以函数的定义域为 ；又假设存在，使得，即；设，则，所以 .易知在上是增函数，所以，所以，两边同时除以，得，即；设，易知在上是减函数，且,；由函数的零点存在定理，存在唯一的实数，使得，即只有一个根，故函数只有一个零点.故答案为：1.点评：本题主要考查了函数的单调性和函数零点存在定理的运用，解题的关键是将原问题转化为的零点个数，这是解决本题的关键，本题属于难题.17（1）函

18、数的单调减区间为，增区间；（2）且分析：（1）当时，进而可得函数的单调区间；（2）令，分别解出，由方程仅有一个实数根，列出不等式解出实数a的取值范围解答：（1）当时，则函数的单调减区间为，增区间；（2）令，当时，解得或；当时，解得；方程仅有一个实数根，则或或，解得且点评：方法点睛：本题考查分段函数的单调性，考查函数与方程思想，关于分段函数的理解，需要有：1.分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围，有不同的对应法则的函数；2.分段函数是一个函数;3.分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集18（1）；（2）.分析：（1）利用偶函数的定义，化简得出a的值；（2）判断

19、出函数在R上的单调性，关于x的方程在上恰有两个不同的实数解，即与在区间上恰有两个不同的交点，画出图象可得a的取值范围解答：（1）为偶函数化简得，.（2），都在R上单调递减所以函数在R上单调递减又，由图像知，当时，方程在有两个不同的实根即与在区间上恰有两个不同的交点，.点评：本题考查函数的性质，考查奇偶性的应用，考查复合函数的单调性，考查函数与方程思想，属于中档题19(1)；(2)；(3)分析：(1)求导，利用导数可得函数的单调性，进而求得函数的最值；(2)函数有两个零点，转化为函数的图象与直线有两个交点结合（1）中结论即可求得的取值范围；(3)由，可得只有一个整数解，由的极大值为， ，可得的取

20、值范围解答：(1)函数，则，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值为(2)函数有两个零点，相当于函数的图象与直线有两个交点当时，时，结合（1）中结论，可得(3)因为，所以不等式仅有一个整数解，即只有一个整数解，因为的极大值为，所以当时，只有一个整数解，即当时，不等式仅有一个整数解所以实数的取值范围是点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想，属于中档题20分析：作出y=x2|x|+a的图象，使y=1与其有四个交点，找到临界值，解不等式得出a的取值范围解答：如图，作出y=x2|x|+a的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解

21、得点评：本题考查函数的图象，考查对称性的应用，考查函数与方程思想，属于基础题21.分析：根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数的取值范围解答：令，则得的取值范围是故实数的取值范围为.点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题22（1）或；（2）.分析：（1）作出函数的图象，函数恰有三个不相同的零点，即直线与函数的图象有三个不同的交点，由图象可得实数的值；（2）由的图象可知，当时，有6个不同的零点，利用函数的奇偶性结合对称性得出，进而可得的取值范围解答：（1）作出函数的图象，如图，由图象可知，当且仅当或时，直线

22、与函数的图象有三个不同的交点，当且仅当或时，函数恰有三个不相同的零点.（2）由的图象可知，当时，有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为，则，是方程的解，是方程的解.当时，当时，的取值范围为.点评：本题考查函数与方程思想，考查考查函数的奇偶性和对称性，考查指对函数的性质，属于中档题23（1）（2）（3）分析：（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果解答：（1）当时，不等式为:，可得:，则不等式解

23、为.（2）函数，设函数的值域为M，则，当，即时，不满足题意，当，即时，得实数的取值范围是.（3）因有且只有一个零点，故，原问题等价于方程当满足时，只有唯一解，方程(*)化为，当时，解得，此时，满足题意；当时，两根均为，此时也满足；当且时，两根为，当时，当时，由题意，解得，综上，a的取值范围是.点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题24（1）；（2）见解析.分析：（1）要求、的关系式，可根据方程的两实根为、结合韦达定理（根与系数的关系），用、表示、又则，给出、的关系，但在分析过程中，要注意方程有两个不相等的根时，方程的判别式

24、大于零；由可得出，由题意可得出，由此得出，且，可解出的取值范围，进而可求出负整数、的值，从而可得出函数的解析式；（2）由，根据零点的存在定理可以得到，代入可以构造一个关于、的不等式组，画出它们表示的平面区域，利用线性规划不难得到结论解答：（1）由，得，由已知得，由韦达定理得，则，化简得，所以，、的关系式为；，得，因为、均为负整数，则，且、，由可得，解得.，当时，（舍）；当时，合乎题意.综上所述，；（2）令，又，则，又因为方程的两根为、，则，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：由图象可知，所以，因此，.点评：本题考查二次方程根与系数的关系，同时也考查了利用线性规划证明不等式问题，考查化归与转化

25、思想以及数形结合思想的应用，属于中等题.25（1）；（2）图象见解析；（3）.分析：（1）根据题意，直接对进行讨论即可.（2）根据（1）的结论，写出函数的表达式，然后作图即可.（3）等价转化为与的图象有且仅有一个交点，然后按和进行讨论即可.解答：（1）（2），图象如图所示（3）方程有且仅有一个实数根等价于与的图象有且仅有一个交点由图可知：当时，解得；当时，或，解得或综上，的取值范围是点评：本题考查对新定义的函数的理解以及根据方程根的个数求参的问题，本题难点在于写出函数的表达式，学会使用等价转化以及数形结合的思想，属中档题.26（1）（2）证明见解析；（3）只有恒具有性质，详见解析分析：（1）由

26、新定义可知，解指数方程；（2）若函数具有性质，则，化简方程判断方程是否有解；（3）要满足性质，则在定义域内存在，使得成立，分别代入三个函数判断方程是否有解.解答：（1）具有性质所以即解出即（2）证明：因为化简为此方程无解所以函数一定不具有性质（3）函数恒具有性质即关于的方程恒有解关于的方程为可简化为所以当方程无解所以函数不恒具有性质关于的方程化简为即所以函数恒具有性质关于的方程为，化简为显然方程无解.所以函数不具有性质综上所述三个函数中只有恒具有性质.点评：本题考查新定义，重点考查函数与方程的思想，化简变形的能力，属于中档题型，本题的关键是读懂题意，并能在新定义的指引下，代入函数，判断方程是否有解.