直线与圆锥曲线的位置关系典型例题.doc

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1、1、 直线和圆锥曲线位置关系（1） 位置关系判断：法（适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。（2） 直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。 4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等

2、式求范围。例题研究例1、 根据下列条件，求双曲线方程。（1） 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；（2） 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。分析：法一：（1）双曲线的渐近线为令x=-3，y=4，因，故点（-3，）在射线（x0）及x轴负半轴之间， 双曲线焦点在x轴上设双曲线方程为，（a0，b0） 解之得： 双曲线方程为 （2）设双曲线方程为（a0，b0）则 解之得： 双曲线方程为法二：（1）设双曲线方程为（0） 双曲线方程为（3） 设双曲线方程为 解之得：k=4 双曲线方程为评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（0），当0时，焦点在x轴上；当0，b2-k0）。比较上述两种解法可知，引入适当

3、的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例2、设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值。解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当PF2F1=900时，由得： ， 当F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 法二：当PF2F1=900， P（）又F2（，0） |PF2|= |PF1|=2a-|PF2|=当F1PF2=900，由得： P（）。下略。评注：由|PF1|PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分

4、类讨论。例3、设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。分析：根据题意，从点P的轨迹着手 |PM|-|PN|=2m 点P轨迹为双曲线，方程为（|m|m，x2m2 又0m20 且m0 评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。例4、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线l同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点；与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。分析：选择适当的直线方程形式，把条件“l是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数

5、的方程组。法一：当l斜率不存在时，x=-1满足；当l斜率存在时，设l：y=kx+bl与O相切，设切点为M，则|OM|=1 b2=k2+1 由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0当k1且0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0）， y0=kx0+b= M在O上 x02+y02=1 (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 由得： 或 l：或法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1当y0=0时，x0=1，显然只有x=-1满足；当y00时，代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 y02+x02=1

6、可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得：即2x03-x02-2x0+1=0解之得：x0=1(舍)，x0= y0=。下略评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。例5、A、B是抛物线y2=2px（p0）上的两点，且OAOB，（1） 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2） 求证：直线AB过定点；（3） 求弦AB中点P的轨迹方程；（4） 求AOB面积的最小值；（5） O在AB上的射影M轨迹方程。分析： 设A（x1,y1

7、），B（x2,y2），中点P（x0,y0）（1） OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2 （2） y12=2px1，y22=2px2 （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 直线AB： AB过定点（2p，0），设M（2p，0） （3）设OAy=kx，代入y2=2px得：x=0，x= A（）同理，以代k得B（2pk2，-2pk） 即y02=px0-2p2 中点M轨迹方程y2=px-2p2 （4） 当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。 （5）法一：

8、设H（x3,y3），则 AB：即代入y2=2p得由（1）知，y1y2=-4p2 整理得：x32+y32-2px3=0 点H轨迹方程为x2+y2-4x=0（去掉（0，0）法二： OHM=900，又由（2）知OM为定线段 H在以OM为直径的圆上 点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0）例6、设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）（1） 求直线AB方程； （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？分析：（1） 法一：显然AB斜率存在 设AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当0时，设

9、A（x1,y1），B（x2,y2） 则 k=1，满足0 直线AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2） 则 两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) x1x2 AB：y=x+1 代入得：0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0是否成立。 （2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD

10、中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）则 M（-3，6） |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。例1 设直线l：x=，定点A(,0)，动点P到直线l的距离为d，且=。求动点P的轨迹C的方程。解 设动点P(x,y)。由题意得=，

11、由两边平方得，x2-2x+3+y2=(x2-x+)，即x2 - x+y2=。经配方得(x-)2+y2=，即(x-)2+=1。例2 已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。解 设所求抛物线方程为(x-h)2=a(y-k)(aR,a0) 由的顶点到原点的距离为5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为x1,x2，则|x1-x2|=2。将抛物线向上平移3个单位，得抛物线的方程为(x-h)2=a(y-

12、k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。设方程的二根为x3,x4，则|x3-x4|=2。依题意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 将抛物线向左平移1个单位，得(x-h+1)2=a(y-k),由抛物线过原点，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。所求抛物线方程为(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。例3 设椭圆+=1的两焦点为F1、F2，长轴两端点为A1、A2。（1）P是椭圆上一点，且F1PF2=60，求F1PF2的面积；（2）若椭圆上存在一点Q，使A1QA2=120，求椭圆离心率e的取值范围。解 （1）设|PF1|=r

13、1,|PF2|=r2,则r1+r2=2a。在F1PF2中，|F1F2|=2c, F1PF2=60,由余弦定理，得4c2=r12+r22 2r1r2cos60=(r1+r2)2 3r1r2,将r1+r2=2a代入，得r1r2=(a2-c2)= b2SFPF=r1r2sin60=b2=b2。（2）设点Q的坐标为(x0,y0)，则b2x02+a2y02=a2b2。A1QA2=120,又不妨设A1(a,0),A2(-a,0)，tan（-A1QA2）=将x02=a2 -y02代入得= 解得,y0=-by0b b2+2ab -a20即()2+2()-0，解得，e2=1-，且e21。eb0)其中b=1。又设

14、右焦点为(c,0)，则=3，解得c=,a=。椭圆方程为+y2=1。（2）设P为MN的中点，解方程组得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0= -12m2+36k2+120，得m2m2,解得0m0，解得m。m0 (1)又PQ的中点M(xM,yM)在L上，且将xM、yM代入L的方程得=-1，即b=,代入（1）式解得：k(-,-1)（-，0）(0, )(1,+)。k（-，-1）（-，0）(0, )(1,+)时，C与C有不在L上的公共点。由于与中，k的解集的并集为实数集R，不论实数k为何值，C与C恒有公共点。例7 已知椭圆C的方程为x2+=1，点P(a,b)的坐标满足a2+1。过点P的直线l

15、与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数。解 （1）设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，点Q的坐标为（x,y）。当x1x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k(x-a)+b。又已知x12+=1,x22+=1 y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+ y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及x=，y=,k=得点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中

16、点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为(a,0)。显然点Q的坐标满足方程。综上所述，点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0设方程所表示的曲线为L，则由得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0因为=8b2(a2+-1),又已知a2+1,所以当a2+=1时，=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P(a,b)。当a2+1时，0，曲线L与椭圆没有交点。因为(0,0)在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆内。故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0（-1x1）。（2）由解得曲线L与y轴交于点(0,0),(0,b)。由解得曲线L与x轴交于点(0,0),(a,0)。当a=0，b=0，即点P

17、(a,b)为原点时，(a,0)、（0,b）与(0,0)重合，曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0)。当a=0，且0|b|1，即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点(0，b)与(0,0)。同理，当b=0且0|a|1时，曲线成坐标轴有两个交点（a,0）,（0,0）。当0|a|1，00)S()= |PQ|d=2当且仅当sin=时，即sin=,=arcsin时，等号成立。s()的最大值为2。例9 设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴。证明直线AC经过原点O（2001年全国高考数学试题）证明一 如

18、图10-4，因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为F（，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+;代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0。若记A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1,y2是该方程的两个根，所以y1y2= -p2。因为BCx轴，且点C在准线x= -上，所以点C的坐标为(-,y2)，故直线CO的斜率为k=。即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O 。证明二 如图10-5，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作ADl，D是垂足，则ADFEBC。连结AC，与EF相交于点N，则=，=，根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，

19、即点N是EF的中点，与抛物线顶点O重合，所以直线AC经过原点O。例10如图10-6，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线所成的比例为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围（2000年全国高考数学试题）。 解 如图10-7，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy,则CDy轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。依题意，记A(-c,0),C(,h),E(x0,y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由定比分点坐标公式得x0=,y0=设双曲线的方程为-=1，则离心率e=。由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得-=1 ()2-()2=1 由式得 =-1 将式代入式，整理得 (4-4)=1+2，故=1-。由题设得，1-，解得e。所以双曲线的离心率的取值范围为，。