数学建模作业——实验1.docx
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1、如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流数学建模作业实验1【精品文档】第 10 页数学建模作业实验1学院:软件学院姓名: 学号:班级:软件工程2015级 GCT班邮箱: 电话:日期:2016年5月10日基本实验1. 椅子放平问题依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法,将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”,改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”,其余假设不变,问椅子还能放平吗?如果能,请证明;如果不能,请举出相应的例子。答:能放平,证明如下:如上图,以椅子的中心点建立坐标,O为原点,A、B、C、D为椅子四脚的初始位置,通过旋转椅子到A、B、C、D,旋转的角度为,记A、B两脚,C、D两脚距
2、离地面的距离为f()和g(),由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地,且f()、g()是的连续函数,则f()和g()至少有一个的值为0,即f()g()=0,f() 0,g()0,若f(0)0,g(0)=0,则一定存在(0,),使得f()=g()=0 令=(即椅子旋转180,AB边与CD边互换),则f()=0,g()0定义h()= f()-g(),得到h(0)=f(0)-g(0)0h()=f()-g() 0根据连续函数的零点定理,则存在( 0,),使得h()= f()-g()=0结合条件f()g()=0,从而得到f()=g()=0,即四脚着地,椅子放平。2. 过河问题依照1.2.2节中的“商人安
3、全过河”的方法,完成下面的智力游戏:人带着猫、鸡、米过河,船除需要人划之外,至多能载猫、鸡、米之一,而当人不在场时,猫要吃鸡、鸡要吃米,试设计一个安全过河的方案,并使渡河的次数尽量的少。答: 用=,分别代表人,猫,鸡,米。在此岸,在对岸,此岸状态,对岸状态。安全状态集合为 : S=1,1,1,1,D=(0,0,0,0)S=1,1,1,0,D=(0,0,0,1)S=1,1,0,1,D=0,0,1,0S=1,0,1,1,D=0,1,0,0S=1,0,1,0,D=1,0,1,0S=0,1,0,1,D=0,1,0,1S=0,1,0,0,D=1,0,1,1S=0,0,1,0,D=1,1,0,1S=0,0
4、,0,1,D=1,1,1,0S=0,0,0,0,D=(1,1,1,1) 乘船方案,记作,当在船上时记,否则记,允许决策集合为因为乘船为奇数时船从此案驶向彼岸,为偶数时船由彼岸驶向此岸,所以状态随决策变化的规律为设计安全过河方案归结为求决策,使状态按转移律由初始状态经有限步到达状态。根据题设条件:影响安全渡河的元素是猫、鸡、米,这3个元素中取2个元素的组合一共有C32=3种,分别为猫+鸡,猫+米,鸡+米。其中“猫+鸡”和“鸡+米”组合不安全,而“猫+米”的组合是安全的。第一次渡河需带3个元素中的1个元素,另外2个元素留在岸上,而留在岸上的3种组合中只有“猫+米”的组合是安全的,可见第一次渡河只能
5、带鸡,即安全方案只有U=(1,0,1,0),第二次将米或者猫带到对岸,把鸡带回,第三次将猫或者米带到对岸,第四次将鸡带过河,至此,猫、鸡、米均安全过河。具体有2种执行方案如下:上述方案直观表示如下:3. 购房贷款问题(续)在1.2.3节“购房贷款”的问题中,我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式。现进一步讨论此问题。某借贷公司的广告称,对于贷款期在20年以上的客户(利率仍按06%/月计算),他们帮你提前3年还清贷款。但条件如下:(1) 每半个月付款一次,但付款额不增加,即一次付款额是原付给银行还款额的1/2;(2) 因为增加必要的档案、文书等管理工作,因此,要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。试分
6、析,小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。答:设每月还款额为x,利率r,贷款额A0,总还款月数为N,总还款额为X。若贷款20万,20年期,则:x=A0r(1+r)N1+rN-1=2000000.006(1+0.006)2401+0.006240-1=1574.7元X=xN=1574.7240=377928元若请这家借贷公司还款,则还款总额X1=x(N-312)+ 10%A0=1574.7204+20000=341238.8元但小王夫妇预付给借贷公司20000元的佣金,如果把这20000元作为首付,则小王夫妇只需贷款18万,则总还款额:X2=X(1-10%)=340135.2元还款月数:N2=X
7、2x=340135.21574.7=216月=18年X1X2,小王夫妇不需用借贷公司还款。4. 冷却定律按照Newton冷却定律,温度为T的物体在温度为T0(T0T)的环境中冷却的速度与温差T-T0成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。如果空气的温度是20,且沸腾的水在20分钟内冷却到60,那么水温降低到30需要多长时间?答:首先,牛顿冷却定律为温度为T(t)的物体在温度T0的环境中冷却的速度与温度差 T(t)-T0成正比。所以,得出微分方程dT(t)dt=kTt-T0,K为比例常数。任意时刻t,物体的温度为Tt=T0+Cekt,C为常数根据已知条件,T0=20,记t=0时刻,初始水温T(0
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