〈常微分方程》应用题及答案.doc

《〈常微分方程》应用题及答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《〈常微分方程》应用题及答案.doc（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、应 用 题（每题10分）1、设在上有定义且不恒为零，又存在并对任意恒有，求。2、设，其中函数在内满足以下条件（1）求所满足的一阶微分方程；（2）求出的表达式。3、已知连续函数满足条件，求。4、已知函数在内可导，且满足，求。5、设函数在内连续，且对所有，满足条件，求。6、求连续函数，使它满足。7、已知可微函数满足，试求。8、设有微分方程 ， 其中。试求在内的连续函数使之在和内部满足所给方程，且满足条件。9、设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交点为Q，且线段PQ被轴平分。（1）求曲线的方程；（2）已知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长。10、求微分方程的一个解，使得由曲线与直线以

2、及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小。11、设曲线L位于平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与轴总相交，交点记为A，已知，且L过点，求L的方程。12、设曲线L的极坐标方程为为L上任一点，为L上一定点，若极径与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。13、设和是二阶齐次线性方程 的两个解，求以及该方程的通解。14、设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求的一般表达式。15、设函数满足，且，求。16、设函数在内具有二阶导数，且， 是的反函数。（1）试将满足的微分方程 ，变换为所满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件的解。17、已知连

3、续函数满足，求.解：设u=tx，则原式化为即 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导 对上式两端关于x求导，得一阶线性方程 所求函数为x2 c为任意常数 18、.对于任意简单闭曲线L，恒有其中 f (x)在有连续的导数，且f (0)=2.求.19、设f (x)满足=f (1-x),求20、设,其中j(x)为连续函数,求j(x)21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如在3小时的时候，有细菌数个，在5小时的时候有个，那么在开始时有多少个细菌？ 应 用 题 答 案1、解： 首先从导数定义出发，证明处处可

4、微，并求出与满足的关系，最后定出。由于不恒为零，设，因而 得到 又由存在，对任意有由此可见处处可微且满足 即 解得 又由 所以 。2、解：（1）于是满足一阶线性微分方程 （2）按一阶线性微分方程的通解公式，由 得 ，于是 .3、解：方程两端同时对求导，得到 由题设知道 。故令 即得 由 得到 于是 .4、解：设， 则 .因为 ，故 .由已知条件得 ，因此 ，即 .解之得 。由，得 。故 。5、解：由题意可知，等式的每一项都是的可导函数，于是等式两边对求导，得 （1）在（1）式中令，由，得 ， （2）则是内的可导函数，（2）式两边对求导，得 ，即 。上式两边求积分，得 由，得。于是 。6、解：令

5、，原方程变为 即 .两边求导数，得到 积分得 .7、解：首先从题设可求得 ， 方程两边求导得 .记 ，得 考虑 ，方程可化为伯努利方程 且 令 变量还原得 或者 .又因为，代入上式可得=。即 8、解：当时， 由 代入得 所以 当 时 通解为 由 处是连续的 .所以 .于是若补充函数值 ，则得到上连续函数是所求的函数是所求的函数。9、解：（1）曲线在点处的法线方程为 ，其中为法线上任意一点的坐标，令，则 ，故Q点坐标为。由题设知 ，即。积分得 （为任意常数）。由 知 ，故曲线的方程为。（2）曲线在上的弧长为.曲线 的参数方程为 ,故其弧长为 .10、解：原方程可以改写为一阶线性方程 ，应用其通解

6、公式得 由所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积为 由 解得驻点，由于，故是唯一的极小值点，因而也是最小值点，于是得所求曲线为。11、解：设点的坐标为由切线的方程为 令 ，则，故点A的坐标为 由 ，有 化简后得 。令 ，得 。解得 。即 。由于所求曲线在第一象限内，故 。再以条件 代入得 。于是曲线方程为 .12、解：由已知条件得 ，两边对求导得 ， 即 ，从而 。因为 ， 所以 由条件，知，故所求曲线L的方程为 。13、解：由 ；分别代入方程得到 得 即 把 代入（1）式得 所以原方程为 又由于不为常数， 是齐次方程的基本解组原方程的通解为 。14、解：曲线上点处的切线方程为过 令 ，得截

7、距 。由题意，知 ， 即 ， 上式对求导，化简得 ， 即 。积分得 ， 因此 （其中为任意常数）。15、解：（解法一）由是 得 ，于是有 解之得 。又 （解法二）同解法，得 又 16、解：（1）由反函数的求导公式 得 。两端关于求导，得 由此得到 。代入原微分方程得 。 （*）（2）方程 的通解为 。设方程（*）的特解为 ，代入方程（*）求得，故 ，从而方程（*）的通解是 。由 得 。故所求值问题的解为。 17、解：设u=tx，则原式化为即 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导 对上式两端关于x求导，得一阶线性方程 所求函数为x2 c为任意常数 18、解：根据积分与路径无关的充要条

8、件有 即 或设x2=t 由一阶线性方程的求解公式有 = f(x)= 由 f(0)=2得 2=c-2c=4f(x)= 19、解：由知有二阶导数 在方程两端对求导得 故有。从而有f(x)=c1cosx+c2sinx 代入方程，且比较系数有 有原方程的通解为f(x)=0 20、解:所给为 （1）由上式知j(x)可导，在两端求导得 即 （2）再对上式两端求导，得此方程的通解为 j(x)=c1cosx+c2sinx+(1/2)ex 由 (1) 知j(0)=1，故c1+(1/2)=1 ,c1=1/2 由 (2) 知，故c2+(1/2)=1 ,c2=1/2 j(x)=1/2(cosx+sinx+ex) 21、解：设t时，细菌数为x(t)，由题设有，。（1）由得，。（2）由解得。