高等数学 多元函数微分学复习.doc

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1、第六章 多元函数微分学及其应用6.1 多元函数的基本概念一、二元函数的极限定义 f (P)= f (x，y)的定义域为D, 是D的聚点. 对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)D，即时，都有|f (P)A|=|f (x，y)A|0）将驻点代入（3）（4）（5）（此时），同上过程有，是极大值。习题：1 设在条件和限制下，在处取得极值。证明，在点法线共面。正： 由于，从而原方程有非零解，及系数矩阵为0，即三法向量共面。2 设。点在第一卦限球面上，求的最大值。证明 对任意正数成立。习题课例1 设，求解 令，。所以.例2 讨论是否存在.解 当点沿直线趋向（0，0）时，当点沿直线

2、趋向（0，0）时，所以不存在.例3 （1） 在（0，0）处是否连续？（2） 是否存在？（3） 偏导数在（0，0）处是否连续？（4） 在（0，0）处是否可微？解 （1）函数在（0，0）处是否连续，只要看f (0,0)是否成立.因为 所以在（0，0）处连续.（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求.因为所以，类似地可求得.(3)当时因为 不存在.所以在（0，0）处不连续。同理在（0，0）处也不连续（4）由于在（0，0）处不连续，所以只能按定义判别在（0，0）处是否可微.由，故由全微分定义知在（0，0）处可微，且例4 设，求.解 对于复合函数求导来说，最主要的是搞清变量之间的关

3、系.哪些是自变量，哪些是中间变量，可借助于“树图”来分析.图91由上图可见，u最终是x的函数，y，z，t都是中间变量.所以从最后结论可以看出:若对x求导数(或求偏导数),有几条线通到”树梢”上的x,结果中就应有几项,而每一项又都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简言之,按线相乘,分线相加例5 ，f 可导，求.解 例6 已知，而是由方程确定的x，y的函数，求.解 将两个方程对x求导数，得解方程可得.例7 求曲面平行于平面的切平面方程.解 曲面在点的法向量为 n ，已知平面的法向量为n(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n/n,从而有（1）又因为点在曲面上，应满足曲面方程（2）

4、由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及,所求切平面方程为：或。这里特别要指出的是不要将n/n不经意的写成n=n,从而得出切点为的错误结论.例8 在椭球面上求一点，使函数在该点沿l(1,1,0)方向的方向导数最大.e,所以 由题意，要考查函数在条件下的最大值，为此构造拉格朗日函数，解得可能取极值的点为及.因为所要求的最大值一定存在，比较，知为所求的点.例9 求函数在圆上的最大值与最小值.解 先求函数在圆内的可能极值点.为此令，解得点(0,0).显然z(0,0)=0为最小值.再求在圆上的最大、最小值.为此做拉格朗日函数，由（1）、（2）可知，代入（3）解得和，比较三值可知：在上，最大值为，最小值为.22