高等数学 曲线积分与曲面积分复习.doc
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1、第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功变力沿曲线运动取微元,则。平面曲线,空间曲线,性质一、 计算方法1设参数,化定积分2平面闭曲线上积分用格林公式,其中L是D的取正向的边界曲线,D为单连通区域,P,Q与上有连续一阶偏导数。3对于积分与路径无关的可自选路径4积分与路径无关及偏导数于上连续。下列四个命题等价(1)0,对D内任意闭曲线C.(2)积分与路径无关(3)存在使du(4)在D内恒成立.常以(4)为条件,(2)作为结论,自选路径积分二、 例题1基础题目,设参数,化定积分(1) 计算,如图ABCDEA解 (1)设参数法于上 设
2、,于上 设,于上 以为参数,于上 以诶参数 ,于上 ,以为参数()综上解(2)(用格林公式) (2) 计算 。其中是曲线从轴正向看去,逆时针方向。解(1)令解(2) 由对称性 ,而,由上述参数法 注(1)设参数注重平面,“抓住平面痕迹,解得空间曲线(2)对称性问题,以直观(几何)定义解之为好(3) 计算:。交线,从轴正向看去逆时针方向。(令,,)例2 格林公式(加线减线)(1) 计算,从点沿曲线到点的曲线。连接O,A直线段(记为L)2L是不过原点的简单闭曲线(正向)计算曲线积分。解 (1)当L不包围原点时(2)当L包围原点时,做小椭圆(使充分小,从而含于闭曲线内)。则。注:本题为一特殊类型,形
3、式:闭曲线围奇点;只当满足可微,此时对于任意围奇点的闭曲线积分相等。例3 (积分与路径无关问题) P,Q已知,积分与路径无关,自选路径(1)计算,L:,由至再到弧段解 易验证,积分与路径无关,做段(记为)则原式(2)计算,其中为起于沿到再沿至。解 bP,Q之一未知,已知积分于路径无关问题。(1)设具有连续二阶导数,且,其中L是任一不与轴相交的简单光滑闭曲线,求。解 原积分为零,则,即,令,得,代入得,代入初值得,,则即(2)设函数与xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分路径无关,且恒有求。解 由于积分与路径无关,得,则,为待定函数,则从而 ,对t求导得 ,从而;小注:上述两例由积分与路径无关
4、,和P,Q之一未知而导得微分方程,称为解方程问题。8.2 向量值函数在有向曲面上的积分一、 概念与形式1定义流量,2物理意义:计算流量,通量3性质:4计算方法:投影,定号:上正下负,右正左负,前正后负,做二重积分5.高斯公式,或这里是的整个边界曲面的外测,是在点处的法向量的方向余弦.二、 例题例1 求积分,其中,部分外测解 把分成两部分:, 。例2 ,其中被所截部分曲面外测。解:综上,原式。例3 计算,下半球面上侧。解 做面,记,取下侧,则原式例4 计算,其中具有连续偏导数,和所围立体表面外测。解 例5 设为上半球面:,下列积分不为零的是(A);(B);(C);(D) (B)8.3 Stoks
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