参数方程的概念_圆的参数方程1.ppt

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1、第二讲第二讲 参数方程参数方程1、参数方程的概念、参数方程的概念1 1、导入新课、导入新课同学们，请回答下面的方程各表示什么样的曲线：同学们，请回答下面的方程各表示什么样的曲线：)(sin3cos)3(149)2(123) 1 (222为参数yxyxxxy例例：2x+y+1=0 直线直线 抛物线抛物线椭圆椭圆122)4(tytx（t为参数）为参数）（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标标x 、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并且对于并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y

2、）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的条曲线的参数方程参数方程 ，联系，联系x、y之间关系的变数叫做之间关系的变数叫做参参变数变数，简称，简称参数参数。参数方程的参数可以是有物理、几。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。)()(tgytfx（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。即的函数都是纵坐标、的横坐标点根据三角函数定义圆半径为的坐

3、标为如果点,),(0yxPOPPryxPsincosryrx并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组所确定的点所确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上. o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？-555-5rp0P(x,y) 我们把方程组叫做圆心在原点、半径为我们把方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的的圆的参数方程，参数方程， 是参数是参数.观察观察1?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaO观察观察25-5-55v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP(

4、a,b)r（3）参数方程与普通方程的互化）参数方程与普通方程的互化sincosryrxx x2 2+y+y2 2=r=r2 2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。坐标与参数之间的关系。 2、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。已知曲线C的参数方程是(1)判断点（

5、0，1）,(5,4)是否在上.(2)已知点（，a）在曲线上，求a.1232tytx例例1 1、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)练习练习1： 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是sin5cos5yx(0 2 ) 5 5 32,22QQ如果圆上点 所对应的坐标是则点

6、 对应的参数 等于如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 ，则点，则点P的坐标是的坐标是 35235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 选择题：参数方程为参数 表示的曲线是圆心在原点 半径为 的圆圆心不在原点 但半径为 的圆不是圆以上都有可能A半径为表示圆心为参数方程、填空题sin2cos2) 1 (:3yx的圆，化为标准方程为（2，-2）112222yxsin22cos21yx化为参数方程为把圆方程0142)2(22yxyx)(21113为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx)(2sin1cossin2为参数）（yx2 2

7、、参数方程化为普通方程、参数方程化为普通方程例例2)() 1 , 1 () 1( 32,211111包括端点为端点的一条射线这是以得到代入有）由解：（xxytyxttxyxo(1,-1)代入消元法代入消元法这是抛物线的一部分。得到平方后减去把所以.2,2,2sin1cossin,2,2),4sin(2cossin)2(2xyxyxxxoy22三角变换三角变换消元法消元法步骤：步骤：1、写出定义域写出定义域（x的范围的范围）2、消去参数消去参数(代入消元代入消元，三角变换消元三角变换消元)参数方程化为普通方程的步骤参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，在参数方程与普通方程的互化

8、中，必须使必须使x,y前后的取值范围保持一致前后的取值范围保持一致。注意：注意：练习练习2、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。为参数）设（为参数。）设（的参数方程、求椭圆例ttyxyx,22,cos311494223、普通方程化为参数方程、普通方程化为参数方程为参数）设（为参数。）

9、设（的参数方程、求椭圆例ttyxyx,22,cos311494223、普通方程化为参数方程、普通方程化为参数方程1.如果没有明确如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？限个还是无限个？2.为什么（为什么（1）的正负取一个，而（）的正负取一个，而（2）却要取两个？）却要取两个？如何区分？如何区分？)(sin2cos3149,sin2sin2sin4)cos1 (4, 149cos9cos312222222为参数的参数方程是所以椭圆的任意性，可取由参数即所以代入椭圆方程，得到）把解：（yxyxyyyyx)(213)(21314913),1 (914

10、4922222222222为参数和为参数的参数方程是所以，椭圆于是代入椭圆方程，得）把（ttytxttytxyxtxtxtxty（1 1）写出定义域写出定义域（x的范围）的范围）（2 2）消去参数消去参数(代入消元，三角变换消元）代入消元，三角变换消元）1、参数方程化为普通方程的步骤、参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，在参数方程与普通方程的互化中，必须必须使使x,y前后的取值范围保持一致前后的取值范围保持一致。注意：注意：2、普通方程化为参数方程的步骤、普通方程化为参数方程的步骤把含有参数等式代入即可把含有参数等式代入即可xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y)

11、,可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圆圆x2+y2=16的的参数方程参数方程为为例例3. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?观察观察3参数方程的应用参数方程的应用法法2:设设M的坐标为的坐标为(x,y)

12、,点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得: 点点P的坐标为的坐标为(2x- -12,2y)(2x- -12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x- -6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例3. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例例4、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2- 6x-

13、4y+12=0上动上动点，求（点，求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3）P到直线到直线x+y- 1=0的距离的距离d的最值。的最值。 解：圆解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为sin2cos3yx由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin）（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).13(其中其中tan =3/2) x2+y2 的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值

14、为14- 2 。1313(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）24 x+y的最大值为的最大值为5+ ，最小值为，最小值为5 - 。 22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（+ ）= 1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ， 。4122221小小 结结: :1、圆的参数方程、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：相关点点问、求轨迹方程的三种方法：相关点点问题（代入法）；题（代入法）； 参数法；定义法参

15、数法；定义法5、求最值、求最值1 223xtyt 41xkyk（0909广东（文）若直线广东（文）若直线（t t为参数）为参数）垂直，则常数垂直，则常数= =_. .与直线与直线高考链接高考链接-6._)(sin2cos2)(112个的交点有为参数与曲线则它为参数为若已知直线的参数方程yxttytx、为端点的线段和、以、圆为端点的射线、以、直线轨迹是的则点为参数、若曲线) 1 , 0()0 , 2(, 1) 1()0 , 2(, 022)(),(),(sin2cos11222DyxCByxAyxyx课堂练习：课堂练习：课后作业：课后作业：3、已知点已知点 在曲线在曲线 （ 为参数，为参数， ） ),(yxPcos2x)2 ,上，则上，则 的取值范围为的取值范围为_xysiny课后作业：课后作业：_)(12coscos1的取值范围为则有两个交点与直线为参数为若已知曲线的参数方程a，ayyx、_)4()5(,)(sincos2),(222的最大值为则一点上任意为参数是曲线、yxyxyxP