最新大一高数微分中值定理与导数的应用3(4)普通班教学课件.ppt

《最新大一高数微分中值定理与导数的应用3(4)普通班教学课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新大一高数微分中值定理与导数的应用3(4)普通班教学课件.ppt（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇

2、是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅0)( xf0)( xf定理定理1,)(上连续上连续在在设函数设函数baxfy .),(内内可可导导在在ba，内内若若在在0)(),() 2( xfba)(xfy 则则上上在在,ba)(xfy 则则上上在在,ba单调增

3、加单调增加;单调减少单调减少.一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyOabAB)(xfy xyO)(xfy abAB, 0)(),() 1 ( xfba内内若在若在区间内有限个点处导数为零区间内有限个点处导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.如如, ,3xy , 00 xy上上但但在在),( 注注单调增加单调增加.3xy xyO,32xy 表明表明导数的零点导数的零点(驻点驻点)仅仅仅仅可能是可能是单调区间的分界点单调区间的分界点.同样：导数不存在的点同样：导数不存在的点，也仅仅也仅仅可能是可能是单调区间单调区间的分界点的分界点.这些点两侧的函数单调性需要通过导数这些点两侧的函数单

4、调性需要通过导数的符号进一步判断的符号进一步判断.例例证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,), 0(,), 0)(可可导导且且上上连连续续在在 xf;), 0上单调增加上单调增加在在, 0)0( f时，时，当当0 x).1ln(xx 即即, 0)( xf, 0)0()( fxf证证.), 1 11)(上单调增加上单调增加在在证明证明 xxfx若令若令 xxg11ln)(x,11ln xx则只须证明则只须证明)(xg单调增加单调增加. xxxg11ln)(而而xxx 11ln)1ln( Lagrange中值定理中值定理 ,1l

5、n1ln xx),1,( xx xxg 111)( 0 )0( x)(xg单调增加单调增加.从而从而.), 1 )(上单调增加上单调增加在在xf二、二、曲线曲线凹凸凹凸性的与拐点性的与拐点如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向xyOABC)(xfy )(xfy 1x2x1x2x,2)()()2(2121xfxfxxf 2)()()2(2121xfxfxxf 221xx 221xx 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方xyOxyO定义定义1内内任任意意两两点点如如果果对对设设),(,)(babaCxf ,2

6、)()()2(2121xfxfxxf ,21xx恒有恒有.),()(的的内内的的图图形形是是在在那那末末称称baxf凹凹2)()()2(2121xfxfxxf (凸凸)(xfy )(xfy 1x2x1x2x221xx 221xx xyOxyO观察：光滑的凹凸弧的切线有什么几何特征？观察：光滑的凹凸弧的切线有什么几何特征？)(xfy )(xfy 凹凹弧的曲线段弧的曲线段)(xf)(xf 即即的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的, ,是单增的是单增的, ,凸凸弧的切线斜率是单减的弧的切线斜率是单减的, ,)(xf 即即是单减的是单减的. .而而 利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹

7、凸性从几何直观上从几何直观上,随着随着x的增大的增大,xyOxyO递增递增)(xf 0)( xf递减递减)(xf 0)( xf定理定理2 2,)(上上连连续续在在如如果果baxf内内具具有有在在),(ba,),(内内在在ba二阶导数二阶导数,0)( xf若若),0( )(xf则则.,的的上上的的图图形形是是在在ba凹凹 ( (凸凸) )凹凸性的判别法凹凸性的判别法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 课下参阅其证明过程课下参阅其证明过程. .例：例：所以，图形是所以，图形是凸的凸的.ln的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,1xy ,12xy 内，内，所以，在函数的定义域所

8、以，在函数的定义域), 0( , 0 y例例.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y.), 0为为凹凹的的在在曲曲线线 注注)0 , 0(点点 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.是曲线由是曲线由3xy xyO 定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点. .3xy xyO思考：拐点有什么特征？思考：拐点有什么特征？ 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. .拐点的必要条件拐点的必要条件)(xf若若具有二阶

9、导数具有二阶导数, ,则点则点)(,(00 xfx. 0)(0 xf是拐点的是拐点的必要条件为必要条件为即：拐点可能在即：拐点可能在两类点两类点中取到：中取到：二阶导数零点；二阶导数零点；二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点. .如何在两类点中进一步判断是不是拐点呢？如何在两类点中进一步判断是不是拐点呢？的邻域内的邻域内在在设函数设函数0)(xxf,)(0变变号号两两近近旁旁xfx ,)(0不变号不变号两近旁两近旁xfx 拐点的充分条件拐点的充分条件,二阶可导二阶可导0)(0 xf且且;)(,(00即为拐点即为拐点点点xfx.)(,(00不不是是拐拐点点点点xfx(1)(2)( (或或x0为为

10、二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点) )求拐点的步骤：求拐点的步骤：(1) (2)的零点，的零点，求求)(xf .)(不存在的点不存在的点找出找出xf .)(的符号的符号上点两侧上点两侧利用充分条件，判断以利用充分条件，判断以xf 例例.95)2(235的的拐拐点点及及凹凹、凸凸性性求求曲曲线线xxy 解解),(,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐点拐点拐点拐点)920, 2( )4, 3( 不不存存在在的的点点y 不存在不存在定义域为定义域为(1)(2). 22

11、 x(3) 列表列表凸凸凹凹凸凸注意：指明拐点时，要写出其横纵坐标注意：指明拐点时，要写出其横纵坐标. .例例.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 有没有拐点？有没有拐点？函数函数4xy 讨论：讨论：图形是凹的，没有拐点图形是凹的，没有拐点.)1, 0, 0(2)(21 nyxyxyxyxnnnnttf

12、)( )(tf )(tf)()(21yfxf 即即nnnyxyx 2)(21例例证证,1 nnt2)1( ntnn0 yxt,0内任意两点内任意两点对对 2yxf)0( t设设图形是图形是凹的凹的.利用函数图形的利用函数图形的凹凸性证明不等式凹凸性证明不等式:证证用凹凸性证用凹凸性证.,2sin)(xxxf ,2cos)( xxf.)(的图形是凸的的图形是凸的xf, 0)0( f又又, 0)( xf因因此此.2sinxx .2sin,20:xxx 时时当当证证明明不不等等式式例例xxfsin)( 设设则则, 0 , 0)2( f即即.,abbaeab 证证明明设设证证 只要证只要证.lnlnbaab 令令,lnln)(xaaxxf ax 则则0)( afxaaxf ln)(xa 1,时时当当ax ,)(时单调增加时单调增加在在axxf 所以所以,时时当当ab )()(afbf 即即有有0lnln baabbaablnln 得得.abba , 0 0 思考题思考题作业作业作业册作业册 本节本节 全部全部课下练习课下练习教材教材 本节本节 全部全部