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1、第第1章章 习题习题1-21-41-71-8习题习题 1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？地基能否作为理想弹性体？答：答：一般的混凝土构件可以作为理想的弹性一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体，而钢筋混凝土构件不可以作为理想的弹体，而钢筋混凝土构件不可以作为理想的弹性体；一般的岩质地基不可以作为理想弹性性体；一般的岩质地基不可以作为理想弹性体，而土质地基可以作为理想的体，而土质地基可以作为理想的 弹性体。弹性体。习题习题 1-4 应力和面力的符号规定有什么

2、区别？应力和面力的符号规定有什么区别？答：答：应力的符号规定：当作用面的外法线指向坐标应力的符号规定：当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时（即正面时），这个面上的应力（不轴的正方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。相反，当作用面的外法线沿坐标轴的负方向为负。相反，当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时）这个面上的应指向坐标轴的负方向时（即负面时）这个面上的应力就以沿坐标轴的负向为正，正向为负。力就以沿坐标轴的负向为正，正向为负。面力的符号规定：当面力的指向沿坐标轴的正方向面

3、力的符号规定：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向时为负。时为正，沿坐标轴的负方向时为负。 试分别试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。方向。xy负面负面正面正面习题习题 1-4 试分别画出试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。xyyxyxyxxxyyyx负面负面正面正面yfxfxfyfxfyfxfyf应力和面力的符号规定有什么区别？应力和面力的符号规定有什么区别？习题习题 1-7 试画出图试画出图1-4中矩形薄板的正的体力，面力中矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。和应力的

4、方向。xyOzxfyfyfxfxfyfxfyfxfyfyxyxyxxxyyyxxyOzyfxf习题习题 1-8 试画出图试画出图1-5中的三角形薄板的正的面力和中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。体力的方向。xyxfyfxfyfxfyfyfxfOz第第2章章 题库题库例题例题习题习题第第2章章 例题例题2.12.22.32.42.62.72.82.9习题课习题课例例如果某一问题中，如果某一问题中， ，只存在，只存在平面应力分量平面应力分量 ，且它们不沿，且它们不沿z方向变化，方向变化，仅为仅为x、y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？问题？0zzxz

5、y,xyxy 例例 2.1.1答：答：平面应力问题，就是作用在物体上的外力，约平面应力问题，就是作用在物体上的外力，约束沿束沿 z 向均不变化，只有平面应力分量向均不变化，只有平面应力分量 ，且仅为且仅为 x，y 的函数的弹性力学问题，因此，此问题的函数的弹性力学问题，因此，此问题是平面应力问题。是平面应力问题。,xyxy 图图 2-14xzOy例例 2.1.2（本章习题（本章习题2 21 1）如图如图2 21414，试分析说明，在不受任何面力作，试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近于平面应力的情况。于平面应力的情况。

6、答：答：在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有薄层内所有各点都有 ，只存在平，只存在平面应力分量面应力分量 ，且它们不沿，且它们不沿z方向变化，仅方向变化，仅为为x、y的函数。可以认定此问题是平面应力问题。的函数。可以认定此问题是平面应力问题。0zzxzy,xyxy qoxyqqozyqoxyzqoyq q zoxy q zoy q zz如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应

7、变问题？则是平面应力问题，还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题例例 2.1.3例例2.2.12.2.1：如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为l l，其，其上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据材料力学中的应力表达式，由平衡微分材料力学中的应力表达式，由平衡微分方程导出另两个应力分量。方程导出另两个应力分量。yxlhq330 x2例例 2.2.10)(32230yxyyxyfxyxfyxlhq02330 xyxxxfyxyxlhq)()(2330 xgyxfxylh

8、qy)(32230 xfyxlhqxy解解:(1):(1)将将 代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式x(2)(2)将将 代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式xy45xyO30ABC0000例例2.3.1：在负载结构中，某点：在负载结构中，某点O处的等厚平行四面体各面的处的等厚平行四面体各面的受力情况如图所示（平面应力状态）。试求（受力情况如图所示（平面应力状态）。试求（1）主应力的）主应力的大小及方向（大小及方向（2）沿与水平面成）沿与水平面成30倾角的微面上的全应力倾角的微面上的全应力和正应力。和正应力。 例例 2.3.1CB面上面上0, 0 xyy先求应力分量先求应力分量

9、：xyyx,45xyO30ABC0000例例 2.3.1先求应力分量先求应力分量 ：xyyx,xyxynmllm)()(2222 ,224545ooml)0(210 x02xAB面上面上:方向向量方向向量:45xyO30ABC0000（1）求主应力的大小及方向）求主应力的大小及方向) 12(1arctg例例 2.3.100, 0,2xyyx02 , 1)21 (xyx11tan222122xyyxyx45xyO30ABC0000（2）沿与水平面成）沿与水平面成30倾角的微面上的全应力和正倾角的微面上的全应力和正应力。应力。 0021,232yxpp例例 2.3.12/3 , 2/13030oo

10、mlmlpmlpyxyyxyxxxyyxnlmml2220231n例例2.4.1：当应变为常量时当应变为常量时，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，试求对应的位移分量。试求对应的位移分量。例例 2.4.1cyuxvbyvaxu , , byxfvaxyfu21 ,cxvyu cxvyu, 例例2.4.1：当应变为常量时当应变为常量时，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，试求对应的位移分量。试求对应的位移分量。例例 2.4.1 byxfvaxyfu21 ,cxvyu cdxxdfxbyxfdyydfyaxyf2211 例例2.4.1：当

11、应变为常量时当应变为常量时，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，试求对应的位移分量。试求对应的位移分量。xcbyvvyaxuu)( ,00例例 2.4.1 byxfvaxyfu21 , cdxxdfxbyxfdyydfyaxyf2211 xcvxfyuyf0201例例 2.6.1试列出图示问题的边界条件。试列出图示问题的边界条件。yaxxyaxyxaxxyaxxflmfml)()()()(; 0, 1 ml0, 0yxff(2),xa00 xx axyx a000,0 xxuvxyahhq0,x (1)例例 2.6.1(3),yh 0yyhyxyhq qhyxyh

12、yyhyxyhyx0) 1(0) 1(0; 1, 0mlqffyx , 0 xyahhq例例 2.6.1(4),yh00yy hxyy h 00) 1(0) 1(0hyxyhyyhyxyhyx; 1, 0ml0, 0yxffxyahhq例例 2.6.2试列出图示问题的边界条件。试列出图示问题的边界条件。左边界：左边界：0,xxyxhxhq右边界：右边界：0,xxyx hx hq上边界：上边界：000,yxyyyq下边界：下边界： 0,0y ay auvxyhaqoqhq例例 2.6.2左边界：左边界：0,xxyxhxhq0, 1mlqfy0 xfysxysyxsxysxflmfml)()()(

13、)(qsxysysxysx)(1)(00)(0)(1hxxyhaqoqhq例例 2.6.2右边界：右边界：0,xxyx hx hq0, 1mlqfy0 xfysxysyxsxysxflmfml)()()()(qsxysysxysx)(1)(00)(0)(1hx xyhaqoqhq例例 2.6.2上边界：上边界：000,yxyyyq1, 0ml0yfqfxysxysyxsxysxflmfml)()()()(0)(0)(1)(1)(0sxysysxysxq0yxyhaqoqhq例例 2.6.2下边界：下边界：ay 0,0y ay auvxyhaqoqhq例例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN

14、(1) AB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpffyx代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有 000)(0plxxpyyyxy)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyx试列出图示问题的边界条件。试列出图示问题的边界条件。例例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1 ml 0 , 0lxlxvu0 , 0lxlxxvyu例例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN0)sin(cos0cos)sin(tantanxyyxyxyxyx(3) AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),c

15、os(yNm例例2.7.1图示矩形截面水坝，其右侧受静水压图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。的应力边界条件。左侧面：左侧面：0, 1ml代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式0 xyff()()()()xsxysxysxysylmfmlf00 xxhxyxhxh 例例2.7.1右侧面：右侧面：0, 1ml代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有hx ,0 xyfy fg 0 xx hxyx hhg 例例2.7.1上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。0y0()sin

16、hyhydxFxyyxyF0yF0sin0Fdxyhhy取图示微元体，取图示微元体，由微元由微元体的平衡求得，体的平衡求得，例例2.7.1上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。0yxyyxyF0 xF0cos0Fdxyhhxy取图示微元体，取图示微元体，由微元由微元体的平衡求得，体的平衡求得，0()coshyxhydxF例例2.7.1上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。0yxyyxyF0OM取图示微元体，取图示微元体，由微元由微元体的平衡求得，体的平衡求得，0sin02hyhyhxdxF0sin2hyhyFh

17、xdx例例2.7.1上端面：上端面：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！0y0()sinhyhydxF 0()sin2hyhyFhxdx 0()coshyxhydxF ,yxy如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(, 0)( :0)(,)( :000左右边界：左右边界：上边界：上边界：2)(43)(23)(000000FxdFbxdxFdxbyxybyybyy例例 2.7.2xyFOgyh/2b/2bq,1hb030习题习题2-9（1）0)(,)(010yxyyygh在主要边界在主要边界 上，应上，应精确

18、满足下列边界条件：精确满足下列边界条件：例例 2.7.3在小边界（次要边界）在小边界（次要边界） 上，能精确满足上，能精确满足下列边界条件下列边界条件:0101(), ()0(), ()0 xxxyxxx bxyx bg yhg yhbxx , 00yxy2h1hbgo2hb习题习题2-9（1）例例 2.7.3在小边界（次要边界）在小边界（次要边界） 上，上，有位移边界条件：有位移边界条件：2hy xy2h1hbgo2hb 220,0y hy huv习题习题2-9（1）例例 2.7.3xy2h1hbgo2hb222100000byy hbyy hbyxy hdxghbxdxdx这两个位移边界条

19、件可以用圣维这两个位移边界条件可以用圣维南原理，改用三个积分的应力边南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚界条件来代替，当板厚=1时，时，习题习题2-9（2）0)(,)(22hyxyhyyq下边界：下边界：例例 2.7.3上边界上边界:122)( , 0)(qhyxyhyy2hy 2hyxyl/2h/2hMNFSF1qq习题习题2-9（2）左边界左边界例例 2.7.3202202202()()()hx xNhhx xhhxy xShdyFydyMdyFxyl/2h/2hMNFSF1qq0 x习题习题2-9（2）右边界右边界例例 2.7.3212221222()()22()hx x l

20、Nhhx x lShhxy x lShdyqlFqlhqlydyMF ldyqlFxyl/2h/2hMNFSF1qqxl例例2.8.1 习题习题2-11： 检验平面问题中的位移分量是否为检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？正确解答的条件是什么？（1）用位移表示的平衡微分方程（）用位移表示的平衡微分方程（2-18）021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuEvvuuss,ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122（2）用位移表示的位移边界条件（）用位移表示的位移边界条件（2-14）（3）或用位移表示的应力边

21、界条件（）或用位移表示的应力边界条件（2-19）【答】【答】xyhgo( )a( ) bxygo1 1、将问题作为一维问题处理。有、将问题作为一维问题处理。有 u=0 , v = v(y)泊松比泊松比 =0，代入用位移表示的平衡微分，代入用位移表示的平衡微分方程，第一式自然满足，第二式变为方程，第一式自然满足，第二式变为设如图设如图(a)所示的杆件所示的杆件，在在y方向的上端固定，下端自由，受方向的上端固定，下端自由，受自重体力自重体力fx=0， fy = g（ 为杆的密度为杆的密度，g为重力加速度为重力加速度）的的作用。试用位移法求解此问题。作用。试用位移法求解此问题。Egdyvd22BAy

22、yEgyv22)(求解上述常微分方程，积分得求解上述常微分方程，积分得例例 2.8.22 2、根据边界条件来确定常数、根据边界条件来确定常数 A 和和 B )2(2)(2yhyEgyv上下边的边界条件为：上下边的边界条件为： v(y)|y=0=0 和和 y |y=h=0分别代入位移函数及式分别代入位移函数及式（2-17）的）的第二式第二式)(1)(2)(22xuyvEyBAyyEgyvy可求得待定常数可求得待定常数 A= gh/E 和和 B=0。从而有：从而有：Chapter 2.8xyhgo( )a3、代入几何方程代入几何方程（2-8）求应变求应变 e ey)()(yhgyyChapter

23、2.8xyhgo( )a4、代入用位移表示的物理方程代入用位移表示的物理方程（2-17）求应力求应力 y )()(yhEgyye( ) bxygo图图(b)所示的杆件所示的杆件例例 2.8.2(b)2(2)(yhgyy)2(2)(yhEgyye位移：位移：应变：应变：应力：应力：22)(yhyEgyv( ) bxygo1、用位移表示的平衡微分方程、用位移表示的平衡微分方程图图(b)所示的杆件所示的杆件Egdyvd22BAyyEgyv22)(求解上述常微分方程，积分得求解上述常微分方程，积分得例例 2.8.2(b)( ) bxygo2、由边界条件求常数项、由边界条件求常数项图图(b)所示的杆件所

24、示的杆件BAyyEgyv22)(例例 2.8.2(b)上下边的边界条件为：上下边的边界条件为： v(y)|y=0=0 和和 v(y) |y=h=0EghAB2, 022)(yhyEgyv3、代入几何方程代入几何方程（2-8）求应变求应变 e ey，)2(2)(yhgyyChapter 2.84、代入用位移表示的物理方程代入用位移表示的物理方程（2-17）求应力求应力 y )2(2)(yhEgyye( ) bxygo下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不

25、计体力）。场（不计体力）。Chapter 2.9例例 2.9.1（1）3422,41,23xyyyxxyyx（a）（2）CxyCyyxCxyyx2,),(222gee（b）Chapter 2.9解解（1）将式（将式（a a）代入平衡方程：）代入平衡方程：03322xyxy033 yy满足满足（2-2）00 xyxxyxyyfxyfxy3422,41,23xyyyxxyyx（a）Chapter 2.9将式（将式（a a）代入相容方程：）代入相容方程：2222()0 xyxy)4123(422yyxyx2222222()3330 xyyxyxy式（式（a）不是一组可能的应力场。）不是一组可能的应力

26、场。3422,41,23xyyyxxyyx（a）Chapter 2.9CxyCyyxCxyyx2,),(222gee（b）（2 2）将式（）将式（b b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：02222222CCyxxyxyyxgeeCyxxCyxyyx2, 0,222222gee式（式（b）满足相容方程，）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。）为可能的应变分量。22222yxyxyxx yege 在无体力的情况下，试考虑下列平面问题的应力在无体力的情况下，试考虑下列平面问题的应力分量是否可能存在？分量是否可能存在？ x =A(x2+y2)， y = B(x2+y2) ， xy=

27、Cxy解解：弹性体的应力，在单连体中必须满足（：弹性体的应力，在单连体中必须满足（1）平衡微）平衡微分方程（分方程（2）应力表示的相容方程（）应力表示的相容方程（3）应力边界条件）应力边界条件1 1、为了满足平衡微分方程，代入可得：、为了满足平衡微分方程，代入可得： A A = = B B = -= -C/2C/20, 0 xyyxxyyyxxChapter 2.9例例 2.9.22 2、为了满足相容方程，代入可得：、为了满足相容方程，代入可得：A AB B = 0= 00)(2222yxyx显然上述两组条件是矛盾的，故此组应力分量显然上述两组条件是矛盾的，故此组应力分量不存在。不存在。Cha

28、pter 2.9例例2.9.3图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力 P 作作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤压的表达式，并取挤压应力应力 ，然后说明这些表达式是否代表，然后说明这些表达式是否代表正确解。正确解。x0yxy【解】【解】材料力学解答：材料力学解答：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM是否满足三个条件：是否满足三个条件：（1）平衡方程？）平衡方程？（2）相容方程？）相容方程？（3）边界条件？）边界条件？（a）00 xyxxyxyyf

29、xyfxy（1）代入）代入平衡微分方程：平衡微分方程：显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足。满足。00 yIFyIF0000046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM满足满足相容方程。相容方程。002222xyIFyx0)(2222yxyx（2）代入相容）代入相容方程：方程：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM满足满足（3）验证应力分量是否满足）验证应力分量是否满足边界条件：边界条件：0, 022hyyxhyy上、下侧边界：上、下侧边界：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM满足满足（3）验证应力分量是否满足）验证应力分量是否满足边

30、界条件：边界条件：00 xx近似满足近似满足左侧边界：左侧边界：0220 xdyhhxx 满足满足202hhxyxdyF 046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM（3）验证应力分量是否满足）验证应力分量是否满足边界条件：边界条件：近似满足近似满足右侧边界：右侧边界：2222220hhxx lhhxx lhhxyx ldyydyFldyF 由圣维南原理：由圣维南原理：FFl046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM结论：式结论：式(a)为正确解为正确解所以材料力学所得应力表达式为正确解。所以材料力学所得应力表达式为正确解。046122233ysxyxyhhFIb

31、SFxyhFyIM第第2章章 习题课习题课如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？则是平面应力问题，还是平面应变问题？qoxyqqozyqoxyzqoyq q zoxy q zoy q zz q zoxyqoyqz下列几种受力体中，哪个可以考虑为平面应力下列几种受力体中，哪个可以考虑为平面应力( (应变应变) )问题？问题？习题习题2-162-16：设已求得一点处的应力分量，：设已求得一点处的应力分量，试求试求题题 2.2121,5010,50,100 xyyx400, 0,200 xyyx400,1000,200

32、0 xyyx500,1500,1000 xyyx(a) (a) (b) (b) (c) (c) (d) (d) minmax,nn212222xyxyxy11tanxxy11arctanxxy12maxmin,nn题题 2.3试写出下图所示各平面物体的位移边界条件试写出下图所示各平面物体的位移边界条件（用直角坐标）。（用直角坐标）。(a) (b) x=0, y= -h/2, u=0 x=0, y=h/2, u=0, v=0 x=0, y= 0, u=0, v=0 x=l, y= 0, u=0, v=0 x=l, y=h/2, v=0题题 2.4试写出图示平面物体的应力边界条件。试写出图示平面物

33、体的应力边界条件。xyl/2h/2hMNFSF1qq【解】【解】题题 2.5试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在：试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在：Cxyxyyxgee, 0, 0其中：其中：A、B、C C 为常数。为常数。23,DyCByAxyxyyxgeeCxyyBxAyxyyxgee,22(a) (a) (b) (b) (c) (c) yxyxxyxygee22222判断是否满足相容方程（判断是否满足相容方程（2-20）(a)(a)相容；相容； (b)(b)须满足须满足B=0,2A=C; B=0,2A=C; (c) (c) 不相容。只有不相容。只有C=0C=0，则，则0 xy

34、yxgee题题 2.6(1)3422,41,23xyyyxxyyx在无体力情况下（单连通域）在无体力情况下（单连通域） ，试考虑下列应力分，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：量是否可能在弹性体中存在：(2)Cxy) y B(x )yA(xxyyx,2222【解】【解】弹性体的应力，在单连体中必须满足弹性体的应力，在单连体中必须满足:（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）应力表示的相容方程）应力表示的相容方程（3）应力边界条件）应力边界条件（1）式不满足平衡微分方程）式不满足平衡微分方程（2）式，由平衡微分方程得）式，由平衡微分方程得A=B= -C/2, 相容方相容方程得程得A+B=0,

35、两者矛盾。两者矛盾。第第2章章 习题习题2-92-142-18习题习题 2-14 （a）【解】【解】弹性体的应力，在单连体中必须满足弹性体的应力，在单连体中必须满足:（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）应力表示的相容方程）应力表示的相容方程（3）应力边界条件）应力边界条件0,22xyyxqbyqqqqababyxO (1) (1) 检验是否满足平衡微分方程检验是否满足平衡微分方程0,0yxxyyxxyffxyxy（2-2）0 xyff将应力分量代入方程（将应力分量代入方程（2-2），得等式左右均），得等式左右均等于等于0。故该应力分量满足平衡微分方程。故该应力分量满足平衡微分方程。 (2)(

36、2)检验是否满足应力表示的相容方程检验是否满足应力表示的相容方程结论结论：该应力分量满足平衡微分方程，但不满足相：该应力分量满足平衡微分方程，但不满足相容方程，因此，该应力分量不是图示问题的解答。容方程，因此，该应力分量不是图示问题的解答。220qb体力为常数时，应力表示的相容方程为：体力为常数时，应力表示的相容方程为：将应力分量代入上式，得将应力分量代入上式，得20 xy等式左边等式左边= =故该应力分量不满足相容方程。故该应力分量不满足相容方程。第第3章章 题库题库3.13.23.33.43.5习题课习题课例例3.1.1判断判断 能否作为求解平面问题的应力函数。能否作为求解平面问题的应力函

37、数。3axy 3axy 可见，可见， 能满足相容方程，可作为应力函数。能满足相容方程，可作为应力函数。解：解：解：按逆解法解：按逆解法 1、将、将 代入相容方程，可知其是满足的。因此，代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能成为该问题的解。它有可能成为该问题的解。2、将、将 代入式（代入式（224），得出应力分量：），得出应力分量：例例3.1.2习题习题3-6223222221203(1 4)2xxyyxyFxyf xyhf yxFyx yhh 3 3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：0, 0,2xyyhy在主要边界上：在主要边界上：因此，

38、在因此，在y=h/2的边界面上，无任何面力的边界面上，无任何面力作用，即作用，即0, 0yxff)41 (23, 0,12223hyhFxyhFxyyx在在 x=0, l 的次要边界上的次要边界上：)41 (23,12,)41 (23, 0, 022322hyhFfyhFlflxhyhFffxyxyx各边界面上的面力分布如图所示：各边界面上的面力分布如图所示：xxyxy在在x=0,l 的次要边界上，其主失量和主矩如下：的次要边界上，其主失量和主矩如下：0 xlx 0, 0221221221hhxhhyShhxNydyfMFdyfFdyfFFlydyfMFdyfFdyfFhhxhhyShhxN2

39、22222222, 0因此上述应力函数可解决悬臂梁在自由端因此上述应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力受集中力F 作用的问题作用的问题FFFlF习题习题3-2例例3.2.1习题习题3-17例例3.3.1习题习题3-12解解：按半逆解法：按半逆解法 例例3.4.1习题习题3-10解解：按半逆解法：按半逆解法 1、将、将 代入相容方程，可知其是满足的。代入相容方程，可知其是满足的。2、将、将 代入式（代入式（2-24），得出应力分量：），得出应力分量：)3(),(0,662),(222222DyAyxyxyfxyxDxyCyBxfyyxxyyyxx例例3.4.23 3、考察边界条件、考察边界条件0

40、)(, 0)(22hyxyhyy在主要边界上，应精确满足式（在主要边界上，应精确满足式（215）：）：第一式自然满足，由第二式有：第一式自然满足，由第二式有：043)(22DhAhyxy（a）)3(, 0,6622DyADxyCyBxyyx)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx在次要边界在次要边界x=0上，只给出了面力的主失量和主矩，上，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：由此得：由此得：ShhxxyhhxxNhhxxFdyMydyFdy2/2/02/2/02/2/01)(1)(1)(SNFDhAhhMChF

41、B33412,2（b）)3(, 0,6622DyADxyCyBxyyx结合结合(a)、(b)求解：求解：代入应力分量，得：代入应力分量，得：SFDhAhDhA32410433223hFDhFASS)41 (23)623(01212222333yhhFyhFhFxyhFyhMhFSSSxyySNx如果区域内的平衡微分方程和相容方程已经如果区域内的平衡微分方程和相容方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则可以推论出，最后一个界条件也都分别满足。则可以推论出，最后一个小边界上的三个积分应力边界条件（即主失量和小边界上的三个积分

42、应力边界条件（即主失量和主矩条件）必然是满足的。主矩条件）必然是满足的。推论推论【解】采用半逆解法。【解】采用半逆解法。（1）判断应力函数是否满足相容方程）判断应力函数是否满足相容方程将应力函数将应力函数例题例题3.5.140 44444220, 0, 0 xyxy 代入相容方程代入相容方程其中其中很显然满足相容方程。很显然满足相容方程。xyhqoq/2bhb/2b习题习题 3-11（2）求解应力分量表达式）求解应力分量表达式222222063xyxyyBxyxABxx y /2/20, xxyxbxbq00,yy00yxy/20/20byxybdx（3）考察边界条件：）考察边界条件：/2xb

43、 在主要边界上，在主要边界上，0y 在次要边界在次要边界圣维南原理圣维南原理代代替替满足满足不不满满足足xyhqoq/2bhb/2b22, 2qqABb 2220121 122xyxyqxybqxb（4）把各应力分量代入边界条件，得）把各应力分量代入边界条件，得应力分量为应力分量为第第3章章 习题课习题课习题习题3-1【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往遇到很问题，而要使边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提

44、供很大的方便。将物体一小部分的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效（主矢量边界上的面力换成分布不同，但静力等效（主矢量、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件，式（界条件，式（2-15），就会影响大部分区域的应力），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有更大的近似性。分布，会使问题的解答具有更大的近似性。习题习题3-

45、3【解答】在【解答】在m个主要的边界上，每个边界应有两个主要的边界上，每个边界应有两个精确的应力边界条件，如式（个精确的应力边界条件，如式（2-15）。在）。在n个次个次要边界上，每边的应力边界条件若不能精确满足要边界上，每边的应力边界条件若不能精确满足式（式（2-15），可以用三个静力等效的积分边界条），可以用三个静力等效的积分边界条件来替代两个精确的应力边界条件。件来替代两个精确的应力边界条件。例：例：已知函数已知函数 = =a(x4 -y4)，试检查它能否作为应力试检查它能否作为应力函数？若能，试求出应力分量（不计体力），并求函数？若能，试求出应力分量（不计体力），并求出如图所示矩形薄板

46、边界上的面力。出如图所示矩形薄板边界上的面力。逆解法例逆解法例xyolh21l2 1 1、将、将 =a(x4-y4)代入相容方程，可知其是满足的。代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能作为应力函数。因此，它有可能作为应力函数。2 2、将、将 代入式（代入式（2-242-24），得出应力分量：），得出应力分量：解：解：按逆解法按逆解法222222212120 xxyyxyf xayyf yaxxx y 3 3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：在主要边界上：在主要边界上：0)(,12)(,2222hyxyxhyyyfaxfhy0)(,12)(

47、,2222lxxyylxxxfayflx0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF在次要边界上：在次要边界上：xyo33al3ah3ah如图所示，如图所示，矩形截面长柱体（长矩形截面长柱体（长度度 h 远大于深度远大于深度 2b），宽度为），宽度为1，远小于深度和长度，在顶部受集中远小于深度和长度，在顶部受集中力力F和力矩和力矩 M=Fb/2 作用，体力不计作用，体力不计。试用如下应力函数：。试用如下应力函数：23BxAx 求解：

48、求解：（1）分析该问题能简化成）分析该问题能简化成什么平面问题？什么平面问题？（2）求应力分量；）求应力分量；（3）设）设A点无位移且过它的垂直点无位移且过它的垂直线段转角为线段转角为0，试求位移分量；，试求位移分量；半逆解法例题半逆解法例题解：解：1、由题意知该弹性体为等厚度板，所受外力平面、由题意知该弹性体为等厚度板，所受外力平面于板面长度，沿板厚方向均匀分布，板面上无外力于板面长度，沿板厚方向均匀分布，板面上无外力作用，因此该问题能简化为平面应力问题。作用，因此该问题能简化为平面应力问题。2、求应力分量、求应力分量已知了应力函数，考虑用逆解求解此平面应力问题。已知了应力函数，考虑用逆解求

49、解此平面应力问题。（1）考察所假设的应力函数是否满足相容方程）考察所假设的应力函数是否满足相容方程024422444yyxx经验证，它是否满足相容方程的。经验证，它是否满足相容方程的。（2）由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量（3）考察边界条件，并求选定系数）考察边界条件，并求选定系数0),(26),(0),(22222yxyxBAxyfxyxxfyyxxyyyxx0)(, 0)(bxxybxx在主要边界在主要边界 x=b 上，应精确满足式（上，应精确满足式（2 21515）：）：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx自然满足。自然满足。在在次要边界次要边界y=0=0上上，只

50、给出了面力的主失量和主矩，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：01)(21)(1)(000bbyxybbyybbyydxFbxdxFdx由此得由此得：bFBbFA4,820260 xyyxBAx代入得代入得：0) 123(2xyxyxbbF3、求位移分量、求位移分量0)123(2)123(2xyyxxbEbFxbEbFgee（1）该问题为平面应力问题，首先将所求应力）该问题为平面应力问题，首先将所求应力分量代入平面应力问题的物理方程分量代入平面应力问题的物理方程(2-12)xyxyxyyyxxEEEgee)1 (2)(1