第9章-第2节--偏导数ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1一、偏导数的定义及其计算法:一元函数一元函数)(xfy :点导数点导数在在0 xxxfxxfxfx)()(lim)(0000?),(:怎样定义偏导数怎样定义偏导数对对问题问题yxfz 第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2定义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快

2、，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物300yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000即即我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4处的两个偏导数在求例) 1 , 1 (),(12yxyxf:解解xfxffxx),(),(lim),(1111110 xxx11120)(lim)(limxx202yfyffyy),(),(lim),(1111110yyy1110)(lim1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶

3、和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5同同理理),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导函函数数，记记作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy. xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0即即yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0即即:说明说明我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物6:由此知由此知0000yyxxxxyxfyxf),(),(0000yyxxyyyxfyxf),(),(yxyxf2

4、),(如上例如上例xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 xy21111yxxxyxff),(),(112yxyx2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物70) ),(),()2(000 xxxyxfdxdyxf 0000yyyyxfdydyxf) ),(),(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物8(3)(3)偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在

5、在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物9:偏导数的求法偏导数的求法.,导导法法则则及及公公式式求求偏偏导导用用一一元元函函数数求求数数就就将将其其它它自自变变量量看看作作常常量量的的偏偏导导数数求求多多元元函函数数对对哪哪个个自自变变我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，

6、为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物10例例 2 2 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数 解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11例例 3 3 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 . 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yy

7、xx .2z 原结论成立原结论成立我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物12例例 4 4 设设22arcsinyxxz ，求求xz ，yz . 解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物13 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx 例例 4 4 设设22arcsinyxxz

8、 ，求求xz ，yz . 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物14例例 5 5 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp. 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物15偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号

9、号，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物16、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处

10、，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物17?:连续是否偏导数存在连续是否偏导数存在问题问题.),(连连续续但但偏偏导导数数不不存存在在点点在在如如00yxz,连连续续不不一一定定偏偏导导数数存存在在续续偏偏导导数数存存在在也也不不一一定定连连我吓了一跳，蝎子

11、是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物184、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物19 偏偏导导数数),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对 x轴轴的的斜斜率率. 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面

12、面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对 y 轴轴的的斜斜率率. 几何意义几何意义: :我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物20),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数我吓了一跳，蝎子是多么丑

13、恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物21例例 5 设设13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物22例例 6 6 设设byeuaxcos ，

14、求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物23定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相

15、等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？例例 6 6 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物24解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0

16、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物25)()(xfxxfy若)( xoxA在一元函数微分学中在一元函数微分学中三、全微分的定义dxxfxAdy)( 则我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物26 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),()

17、,(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点 P 对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量，记记为为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物27如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全增增量量),(),(yxfyyxxfz 可可以以表表示示为为)( oyBxAz ，其其中中BA,不不依依赖赖于于yx ,而而仅仅与与yx,有有关关，22)()(yx ，则则称称函函数数),(yxfz 在在点点),(

18、yx可可微微分分，yBxA 称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分，记记为为dz， 即即 dz= =yBxA . . 全微分的定义全微分的定义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物281例例点点是是否否可可微微？在在),(yxxyz :解解xyyyxxz)(yxyxxyxByA, yx0而y )0(0 )( oyx点可微点可微在在),(),(yxyxfz yxxydz:一般一般?,BA我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也

19、感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物29二、可微的条件 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 yyzxxzdz 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物30证证因因为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, )( oyBxAz总成立总成立,当当0 y时时，上上式

20、式仍仍成成立立，此时此时|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物31,),(),(则偏导存在则偏导存在点可微点可微在在若若yxyxfz yyzxxzdz且且dyydxx,规定规定dyyzdxxzdz全微分公式xyez 如如dyyzdxxzdzdyxedxyexyxy 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可

21、可微微分分.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物32一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处有有 0)0 , 0()0 , 0( yxff 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物33)0 , 0()0 , 0(yfxfzy

22、x ,)()(22yxyx 220)()(limyxyx220)()(limxxxxxyx,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx .偏导存在不一定可微偏导存在不一定可微 2200)()(limyxyxyx2200)()(limyxyxyx时，时，当当0我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物34定定理理（充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在

23、在点点),(yx可可微微分分我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物35 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.:连续不一定可微连续不一定可微注意注意我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测

24、没有错：表里边有一个活的生物36多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物37例例 2 2 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分. 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222)1 ,2(dyedxedz 所求全微分所求全微分我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世

25、界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物38解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物394例dzxyxz求求,sin22dyyzdxxzdzdyxyyxdxxyyxxyx23222222coscossin5例dzxyfxz求求),(23dxxyf yxyfxdz)()(22223dyxyfx)(2解解解解我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东

26、西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物40例例 6 6 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分. 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu .)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu ),(zyxfu 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物41例例 7 7 试证函数试证函数 )0 ,

27、0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微. 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物42证证22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数

28、在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物43当当)0 , 0(),( yx时时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.我吓了一跳，蝎子是多么

29、丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物44所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在在点点)0 , 0(可可微微. 0)0,0( df我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物451828P习题)4 , 1 (5),2 , 1 (4),2 , 1 (3),3 , 1 (2),10, 9 , 6 , 3 , 1 ( 1:A