第二章第二节完全剩余系ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义1 给定正整数m，对于每个整数i，0 i m 1，称集合Ri(m) = n|n i (mod m)，nZ 。是模m的一个剩余类。 剩余类剩余类每个整数属于且仅属于某一个每个整数属于且仅属于某一个Ri(m)（0 i m 1），），属于同一剩余类的任何两个整数对模属于同一剩余类的任何两个整数对模m是同余的，是同余的，不同剩余类中的任何两个整数对模不同剩余类中的任何两个整数对模m是不同余的。是不同余的。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这

2、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物完全剩余系完全剩余系 定义定义2 设设m是正整数，从模是正整数，从模m的每一个剩余类中的每一个剩余类中任取一个数任取一个数xi（0 i m 1），），称集合称集合x0, x1, ,xm-1是是模模m的一个完全剩余系（或简称为完全系）。的一个完全剩余系（或简称为完全系）。 模模m的完全剩余系有无穷多个的完全剩余系有无穷多个 模模m的最小非负完全剩余系的最小非负完全剩余系 :0, 1, 2, , m 1 模模m的绝对最小完全剩余系的绝对最小完全剩余系: ）（当mmm|22, 1, 0, 1, 12 ）（当mmm|221

3、, 1, 0, 1,21我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理1 整数集合整数集合A是模是模m的完全剩余系的充要条件是的完全剩余系的充要条件是 () A中含有中含有m个整数；个整数；() A中任何两个整数对模中任何两个整数对模m不同余。不同余。讨论：讨论： 设设m 0是整数，是整数，a1, a2, , am 与与b1, b2, , bm都是模都是模m的完全剩余系，的完全剩余系， a1 b1,a2 b2,am bm是不是模是不是模m的完全剩余系呢？的完全剩余系呢？ 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶

4、和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理2 设设m 1，a，b是整数，是整数，(a, m) = 1，x1, x2, , xm是模是模m的一个完全剩余系，的一个完全剩余系，则则ax1 b, ax2 b, , axm b也是也是模模m的一个完全剩余系。的一个完全剩余系。 完全剩余系的构造完全剩余系的构造我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物完全剩余系的构造完全剩余系的构造定理定理3 设设m1, m2 N，A Z，(A, m1

5、) = 1，又设，又设 ,212121mmyyyYxxxX，分别是模分别是模m1与模与模m2的完全剩余系，则的完全剩余系，则 R = Ax m1y；x X，y Y 是模是模m1m2的一个完全剩余系。的一个完全剩余系。 只需证：只需证：若若x , x X，y , y Y，且，且Ax m1y Ax m1y (mod m1m2)，则则x = x ，y = y 。 推论推论 若若m1, m2 N，(m1, m2) = 1，则当则当x1与与x2分别通过模分别通过模m1与模与模m2的完全剩余系时，的完全剩余系时，m2x1 m1x2通过模通过模m1m2的完全剩余系。的完全剩余系。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶

6、和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理5 设设mi N，Ai Z（1 i n），且满足下面条件：），且满足下面条件：() (mi, mj) = 1，1 i, j n，i j；() (Ai, mi) = 1，1 i n；() mi Aj ，1 i, j n，i j 。则当则当xi（1 i n）通过模）通过模mi的完全剩余系的完全剩余系Xi时，时，y = A1x1 A2x2 Anxn通过模通过模m1m2mn的完全剩余系。的完全剩余系。 只需证明：若只需证明：若xi , xiXi，1 i n，则由，则由A1x1 A2x2

7、 Anxn A1x1A2x2 Anxn (mod m1mn)可以得到可以得到xi =xi ，1 i n。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理4 设设mi N（1 i n），则当），则当xi通过模通过模mi（1 i n）的完全剩余系时，）的完全剩余系时， x = x1 m1x2 m1m2x3 m1m2mn-1xn 通过模通过模m1m2mn的完全剩余系。的完全剩余系。证明证明 对对n施行归纳法。施行归纳法。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我

8、也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1 设设A = x1, x2, ,xm是模是模m的一个完全剩余系，的一个完全剩余系， 以以x表示表示x的小数部分，证明：若的小数部分，证明：若(a, m) = 1，则，则 miimmbax1) 1(21我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物关于剩余类的运算关于剩余类的运算 如果将模如果将模m（正整数）的剩余类看成一个（正整数）的剩余类看成一个元素，剩余类的相等就可以用同余来刻画。元素，剩余类的相等就可以用同余来刻画。 模的剩余类的对同余运算（

9、加法与乘法）模的剩余类的对同余运算（加法与乘法）作成一个环，称为剩余类环。作成一个环，称为剩余类环。 如果模是合数，那么就有不等于零的剩余如果模是合数，那么就有不等于零的剩余类，相乘后为零，即有零因子。类，相乘后为零，即有零因子。 当模当模m为素数为素数p时，上述的环构成一个域。时，上述的环构成一个域。 它有它有p个元素，是有限域的一个重要例子。个元素，是有限域的一个重要例子。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物精品课件精品课件！我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物精品课件精品课件！我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2 设设p 5是素数，是素数，a 2,3,p 2，则在数列，则在数列 a，2a，3a，(p 1)a，pa 中有且仅有一个数中有且仅有一个数b，满足，满足b 1 (mod p)。 此外，若此外，若b=ka，则，则k a，k 2,3, ,p 2。 例例3(Wilson定理定理) 设设p是素数，则是素数，则(p 1)! 1 (mod p)。