三重积分的概念与计算ppt课件.ppt

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1、作作 业业 115页页 3, 4, 6, 12, 13第三节第三节一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算 第九章第九章 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想, 采用采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 设在空间有界闭区域设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质物质,),(Czyx求分布在求分布在 内的物质的内的物质的可得可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量质量

2、 M .密度函数为密度函数为定义定义. 设设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在存在,),(zyxfvzyxfd),(称为称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对若对 作作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列下列“乘乘积和式积和式” ” 极极限限记作记作三重积分的性质三重积分的性质1. 线性性质、单调性、积分估值公式线性性质、单调性、积分估值公式2. 区域可加性区域可加性.(|. 3的体积）的体积） dv4.

3、微元法微元法5. 对称奇偶性对称奇偶性*6.中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在则存在,),(使得使得vzyxfd),(Vf),(V 为为 的的体积体积, 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 三次积分法三次积分法 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) D平平面面上上的的投投影影为为在在 xoy Dyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd记作. ),(,),(12

4、yxzzyxzz ：下下边边界界面面上上边边界界面面： ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf做定积分做定积分对对固定固定zyx, ),(),(yxF vzyxfd),(则则 DdyxF ),(zxyD),(2yxzz ),(1yxzz ),(yx投影法投影法 三次积分法三次积分法设区域设区域:利用投影法结果利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf

5、)()(21dxyxyybaxd适用范围适用范围: : 由平面围成的情况由平面围成的情况 得得同同理理),()(,:21yxxyxdycD ddzzyxfdvzyxfDyxZyxZ ),(),(21),(),(.),()()(),(),(2121 dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdy开开即即可可。面面上上区区域域作作二二重重积积分分展展或或再再对对积积分分，或或上上三三重重积积分分可可先先对对不不多多于于两两点点如如）轴轴的的直直线线穿穿（或或同同理理可可得得用用平平行行于于)()(xozyozyxyx 其中其中 为三个坐标为三个坐标例例.计算三重积分计算三重积分,dddzyxx12z

6、yx所围成的闭区域所围成的闭区域 .1xyz121解解: :zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy 10 x )1(021dxy10d xx481面及平面面及平面)1(21xy .计算计算 ,其中其中 由锥面由锥面zyxyxIddd1122 , 222zyx及平面及平面 围成围成.1 z解：解： 11:2222yxzyx xyDdxdyI 1222211yxdzyx xyDdxdyyxyx112222 1022201drrrrd 极极坐坐标标 102)d111(2rrr )222(ln 例例2.2.zxy

7、1 22 yx 222zyx 化化 为三次积分，为三次积分， 由曲面由曲面dxdydzzyxfI),( xyz 及平面及平面 围成围成., 01 yx0zzoxyxyD解：如图解：如图: 所以所以xyDdxdyIxydzzyxf0),(xyxdzzyxfdydx01010),( xyxDxyzxy10, 10:,01 yxxyO.000 zyx时，时，或或注：注：曲面与曲面与 xOy 坐标面交于坐标面交于 x 轴和轴和 y 轴轴 . 例例1.方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)c,cz21轴轴上上的的投投影影区区间间为为在在设设 zDz的截面为的截面为（常数）截（常数）截平面平

8、面 zzD坐坐标标面面上上的的投投影影也也记记为为它它在在xoy上做二重积分上做二重积分，在，在固定固定zDz1c2cxyzzzD zDyxzyxfdd),()(zF vzyxfd),(则则 21)(ccdzzF 21dd),(ccDzyxzyxfdz记为记为z Ddvzyxf),( zDccdxdyzyxfdz),(21特别适用于积分区域中一坐标特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表的范围易获得，截面范围易表示的情况。示的情况。）。更更有有效效（特特别别对对 21)()(ccDdzSzfdvzfz其中其中 为三个坐标为三个坐标例例3. 计算三重积分计算三重积分,ddd zyxz

9、1zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 .面及平面面及平面为为 面上面上 轴，轴，解解: :如图，如图， ： , 10 zzDxoyxy轴和轴和 围成的等腰直角三角形围成的等腰直角三角形.zyx 1所以所以 zdxdydz zDdxdyzdz10 102)1 (21dzzz241 注：此题可用投影法求解注：此题可用投影法求解xyzo111z1 yxxyOzDz 1z 111计算三重积分计算三重积分dxdydzz其中其中 是上半椭球体是上半椭球体 . 1222222 czbyax解：解：: ,0cz .1:222222czbyaxDz dxdydzz 则则 zDcdxdyzdz0而而)1()1(2

10、22222czbczaSdxdyzzDD ),1(22czab 原式原式 czdzczab022)1( .412abc 例例4.4.xyzabczDzxyz例例. 计算三重积分计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2 cczczbazd)1(222 czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cba abc用用“先二后一先二后一 ” zDz补充：三重积分对称性：补充：三重积分对称性：.),(),( 0),(0),( 1 dvzxyfdvzyxfzxyzyx则则，表表示示仍仍表表示示，若若由由设设、变变量量位位置置对

11、对称称性性： dvzfdvyfdvxfazyx)()()(,2222则则：例例：补充：三重积分对称性：补充：三重积分对称性：2 2、奇偶对称性：、奇偶对称性：面面）面面）（面面对对称称，（关关于于设设xozxoyyoz .),(0),(),(2),(1 为为奇奇函函数数关关于于，为为偶偶函函数数关关于于，yzxfyzxfdvzyxfdvzyxf解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数, ,球面球面关于关于xoyxoy面对称面对称z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx

12、0)(dvyzxy, 0 xzdv则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影区域投影区域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 ,)2(22 dxdydzzxI2,zxz1. 将将. )(),(Czyxf用三次积分表示用三次积分表示, ,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中其中 由由所所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面六个平面围成围成 ,:222211222222d1)

13、1ln(yxyxzzyxzyxz3. 设设, 1:222zyx计算计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性利用对称性原式原式 = 122ddyxyx0奇函数奇函数to be continueto be continue作作 业业 115页页 3, 4, 6, 12, 13换元法换元法三重积分也有类似二重积分的三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式: :0).,(),( wvuwvuwvuzzzyyyxxxJwvuDzyxD ),(),(),(:wvuzzwvuyywvuxxT设变换设变换dudvdwJdxdydz| 体积元素体积元素,*)( T一一对应

14、一一对应上上在在* ),(),(),(:1zyxwwzyxvvzyxuuT则则雅可比行列式雅可比行列式 *ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxfoxyz2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代代替替用用极极坐坐标标将将 ryx),zr （则则就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标. zr 200 sinry zz cosrx 直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:z),(zyxMr)0 ,(yx)(常数常数crr 圆柱面圆柱面oxyzcr sinry zz cosrx oxyzz),(zyxMr)0 ,(yx)(常数常数c )(常数

15、常数czz 平面平面半平面半平面oxyzoc oxyzocz sinry zz cosrx oxyzz),(zyxMr)0 ,(yx ccrr oxyzcrc sinry zz cosrx oxyzz),(zyxMr)0 ,(yx常数常数 r圆柱面圆柱面常数半平面半平面常数z平面平面oxyzoz),(zyxMr)0 ,(yx zr 200 sinry zz cosrx 在柱面坐标下在柱面坐标下zrzrzrzzzyyyxxxJzrDzyxD ),(),(.dzdrdrdv zr 200 sinry zz cosrx ,1000cossin0sincosrrr 若若 dzdrdrzrrfdvzyx

16、f ),sin,cos(),(从小到大从小到大边界到边界边界到边界),(),(12 rzzrzz ：下下边边界界面面上上边边界界面面： rDrrzzrz ),(,),(),(:21. )()(,21 rrrDr ：其中其中则有则有zxy rD),(2 rzz ),(1 rzz ),(),(21),sin,cos( rzrzDdzrzrrfdrd ),(),()()(2121),sin,cos( rzrzrrdzrzrrfdrd在投影区域上做极坐标变换在投影区域上做极坐标变换o oxyz例例. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下h: hrz42d hrdrhrr2022

17、)4(12 4)41ln()41(4hhhhz hr20 20 hrrr202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面42rzrrvdddd 原式原式 =4. 计算计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin522203.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3 zy

18、xM设设就称为点就称为点M 的球坐标的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry , rOM 令令 sin|rOP cosrz cosrz Pcossinrx sinsinry cosrz （常数）（常数）（常数）（常数）cc c oxyzc 常数r球面球面常数半平面半平面常数锥面锥面),(rMMoxyzr在球面坐标系中在球面坐标系中 sin2),(),(rJrDzyxD dvzyxf),(从小到大，从边界到边界。从小到大，从边界到边界。. 后对后对再对再对先对先对 r体积元素为体积元素为 dddrrdv

19、sin2 cossinrx sinsinry cosrz dddrrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2化为三次积分，化为三次积分，求求 的体积，的体积， 解：解： 球面方程为球面方程为2222)(aazyx在球坐标系下方程为在球坐标系下方程为cos2ar dxdydzV所以所以 0cos203)(sin32dra).cos1 (3443 a例例6.6. drr sin2 cos2a 020dd.，如如图图的的锥锥面面围围成成顶顶点点在在原原点点，半半顶顶角角为为 0 xa2zy cos2ar a 的球面的球面半径为半径为它由球心在它由球心在aa), 0 , 0( 锥面方程为

20、锥面方程为内容小结内容小结zyxdddzrrddd dddsin2rr积分区域积分区域多由坐标面多由坐标面被积函数被积函数形式简洁形式简洁, 或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系* * 说明说明: :三重积分也有类似二重积分的三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离变量可分离.围成围成 ;xzOy图 2-3 22xyD22yxz222yxz zdxdydzI222yxz 22yxz

21、 422 yx2 计算计算 ，其中，其中为双曲面为双曲面，锥面，锥面及柱面及柱面围成围成思考与练习思考与练习zoxy23. 设设 由锥面由锥面22yxz和球面和球面4222zyx所围成所围成 , 计算计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标用球坐标 rr d420dsin4020d221564, ,其中其中 由锥面由锥面zyxyxIddd1122 , 222zyx 平面平面 围成围成. .1z解法：用投影法解法：用投影法. ., 1, 10 ,20:22 zyxrrDxy xyDdxdyI 1222211yxd

22、zyx xyDrdrd 1211rdzr 1102201rdzdrrrd 102)d111(2rrr )222(ln 计算计算例例5. 计算三重积分计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下在球面坐标系下zyxzyxddd)(222所围立体所围立体.其中其中 与球面与球面dddsind2rrv )22(515R rr d4 dsin dxyzo4Rr 从近边界面到远边界面从近边界面到远边界面r dddsin4rr R04 00 2例例6.求曲面求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积所围立体体积.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立体位于立体位于xoy面上部面上部,立体体积为立体体积为vVdrrad3cos02 dcossin32203a331a3cosar 20dsin 20dyoz面对称面对称, 并与并与xoy面相切面相切, 故在球坐标系下所围立体故在球坐标系下所围立体且关于且关于 xoz dddsind2rrv yzxarThe End