勾股定理经典例题ppt课件.ppt

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1、勾勾 股股 定定 理理1a2+b2=c2cba勾勾 股股 定定 理理2知识要点：知识要点：1. 勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有2.勾股定理逆定理：直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系：，那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2a2+b2=c2cbaABC蚂蚁从蚂蚁从A A点经点经B B到到C C点的最少要爬了多少厘米？点的最少要爬了多少厘米？GE34512513（小方格的边长为（小方格的边长为1厘米）厘米）练习练习1: .勾股数勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为

2、勾股数，即为勾股数，即a2+b2=c2 中，中，a，b，c为正整数时，为正整数时，称称a，b，c为一组勾股数为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25;等等用含字母的代数式表示组勾股数：用含字母的代数式表示组勾股数： （n为正整数）；为正整数）； （n为正整数）；为正整数）； （n为正整数）；为正整数）；练习练习2:221,2 ,1nn n2221,22 ,221nnnnn2222,2,mnmn mn题型一：直接考查勾股定理题型一：直接考查勾股定理ABC90C6AC 8BC AB17AB 1

3、5AC BC222abc例一. 在中，已知，求已知，求分析：直接应用勾股定理的长的长利用对角对边，分清直角边，斜边利用对角对边，分清直角边，斜边练习练习3:2210ABACBC228BCABAC解： 代王中学教学课件代王中学教学课件例题例题2 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？题型二：利用勾股定理测量长度题型二：利用勾股定理测量长度分析：分析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！解：根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,

4、所以AC2=144 ,所以AC=12练习练习4:例题例题3 如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？A小汽车小汽车BC观测点例题例题4“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过24km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？例题例题5 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长

5、着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 练习练习5:解：解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.代王中学教学课件代王中学教学课件例题例题6 、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，

6、4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华：总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例题例题7、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 练习练习6:代王中学教学课件代王中学教学课件【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H 解：解：OC1米 (大门宽度一半)， OD0.8米 （卡车宽度一半） 在RtOCD中，由

7、勾股定理得： CD.米， C.（米）.（米） 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门=（一）用勾股定理求两点之间的距离问题（一）用勾股定理求两点之间的距离问题例题例题8 、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。类型三：勾股定理的实际应用类型三：勾股定理的实际应用练习练习7: 解析解析：（1）过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，

8、AB= 由勾股定理可得： 所以 （2）在RtABC中， BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向代王中学教学课件代王中学教学课件（二）用勾股定理求最短问题（二）用勾股定理求最短问题 例题例题9如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 练习练习8: 解：解： 如图，在Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得 AC （cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm 代王中学教学课件代王中学教学课件利用勾股定理作长为利用勾股定理作长为 的线段的线段练

9、习练习9: 例、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 思路点拨思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题 练习练习10: 解析解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理

10、，得ABC是直角三角形。 总结升华总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 代王中学教学课件代王中学教学课件【变式】在数轴上表示的点。看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。解析：解析：可以把练习练习11:四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。练习练习12:【答案】：连结AC B=

11、90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理） 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 练习练习13:思路点拨：思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受

12、影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析解析：作ABMN，垂足为B。 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， AB AP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A到直线MN的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m), CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s2

13、4s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100(m)， 由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 思路点拨：思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD 练习练习14:解解：连接AD 因为

14、BAC=90，AB=AC 又因为AD为ABC的中线， 所以AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90 所以EDA=CDF 所以AED CFD（ASA） 所以AE=FC=5 同理：AF=BE=12 在RtAEF中，根据勾股定理得： ，所以EF=13。 如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。练习练习15:16、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为_ A 6cm2 B 8cm2C 10cm2 D 12

15、cm2ABEFDC练习练习16:Sd22dSd2dSd222dSd22 dSd17、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ） （B） （C） （D）（A）c练习练习18:解：设两直角边长为X和Y 因斜边上的中位线为d 则斜边长为2d 则X+Y（2d）4d 因三角形的面积为S 则XY/2S XY2S 则（X+Y）X+Y+2XY4d+4S4（d+S） X+Y2（d+S） 则三角形的周长X+Y+2d2（d+S）+2d 代王中学教学课件代王中学教学课件ABCDA=600, B=D=900,AB=4,CD=2, 求求S四边形四边形ABCD.练习练习19:ABCDE练习练习17:代王中学教学课件代王中学教学课件已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD中，中，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形。求：四边形ABCD的面积。的面积。 练习练习20:Rt ABC90 ,45BACACABDAE3BD 4CE DE如图所示，在中,且,求的长.练习练习21: