固体物理第五章习题ppt课件.ppt

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1、1第五章第五章 习题习题21. 晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为（1）（2） ，f是某一函数，求电子在以上状态中的波矢。3( )coskxixa( )()klxf xla3由固体物理教程（5.14）式求解求解()( )nik RknkrRer ()( )ikakkxaex33()cos()cos()3cos()kxaixaixaaixa 1ikae 35,kaaa 可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足由此得于是（1）35,kaaa 因此得4若只取布里渊区内的值：kaaka()()(1) kllxaf xalaf xla1ll ()( )( )( )ikakkklxaf xl ax

2、ex1ikae2460,kaaa则有（2）令得由上式知所以有由此得在布里渊区内的值为k=0。52221() ,( )20, (1)mWbxnanabxnabV xnabxnab2. 一维周期势场为其中a=4b，W为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值。6图：一维周期势场2221() ,( )20, (1)mWbxnanabxnabV xnabxnab求解求解72211( )( )4ababVV x dxV x dxab2221142bbmWbx dxb2232218316bbmWb xxbmW b由图所示，由于势能有周期性。因此只有一个周期内求平均即可，于是得2221() ,( )20,

3、 (1)mWbxnanabxnabV xnabxnab83. 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度。92221( )ainxanaVV x edxa22112122( )aixagaEVV x edxa2222112()42ixbbbmWbx edxb2222231182()cos()422bbmW bmWbxx dxbb根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表达式为Eg=2|Vn|，其中Vn是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由固体物理教程（5.22）式求解求解求得第一个禁带宽度为1042222122( )aixagaEVV x edxa222112()42ixbb

4、bmWbx edxb222112()cos()42bbmWbxx dxbb222mW b第二禁带宽度为115. 对简立方结构晶体，其晶格常数为a。（1）用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带；（2）分别画出第一布里渊区110方向的能带、电子的平均速度、有效质量以及沿110方向有恒定电场时的加速度曲线。12( )nik RatssSSnE kECJe (,0,0)a(0,0)a(0,0,)a( )(coscoscos)atssSSxyzE kECJk ak ak a求解求解非简并s态电子的能带式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取参考格点的坐标为(0, 0

5、, 0)， 6个最近邻坐标为简单立方晶体非简并s态电子的能带则为1320,2zyxkkkk02( )4(cos)2sSkaE kEJ（2）在110方向上 能带变成其中02atsSSEECJ在110方向上，在第一布里渊区内，电子的能带如图所示14电子的平均速度2 212sin()2SJ aEkavk平均速度曲线15有效质量曲线电子的有效质量2222222cos()2SmEkaJ ak16在110方向上有恒定电场情况下，电子受的力Fe 2222cos()2SkaeJ aFam电子的加速度设电场方向与110方向相反，加速度曲线则如图177用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出(1) s态电子的能带为(

6、)8coscoscos;222yatxzssSsk ak ak aE kECJ(2) 画出第一布里渊区111方向的能带曲线； (3) 求出带底和带顶电子的有效质量.18(1)用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带的表示式为( ),natik RssSsnE kECJe nR 解答解答是最近邻格矢对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0, 0, 0）则个最近邻格点的坐标为,222aaa19将上述8组坐标代入能带的表示式，得22222222222( )2coscos22nxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyxyatik Rssssnaaaaaikkki

7、kkkikkkikkkikkkatsssaaaikkkikkkikkkaaikkikkatzzsssaiE kECJeECJ eeeeeeeek ak aECJ eee 222coscos224coscos228coscoscos222xyxyxxakkikkzzaaikikyatzsssyatxzsssk ak aek ak aECJeek ak ak aECJ20(2) 在111方向上3,3xyzkkkkxyzkkka 3038cos6skaEEJ其中0atsSEEC且第一布里渊区边界在于是能带化成第一布里渊区111方向的能带曲线21(3) 由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当kx=ky

8、=kz=0时，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能带底，电子有效质量为2222202ixxssxkmEJ ak同理可得2222,.22yyzzssmmJ aJ a其他交叉项的倒数全为零22而在布里渊区边界上的 222,0,0 ,0,0 ,0,0,aaa处是能带顶，电子的有效质量为其他交叉项的倒数也全为零222xxyyzzsmmmJ a 2313平面正三角形结构，相邻原子间距为a，试求(1) 正格矢和倒格矢；(2) 画出第一和第二布里渊区，求第一布里渊区内切圆半径24(1) 正格原胞的基矢如图所示取为123,.22aaai aia j 12,aak 23.2a 解答解答i和j是相互垂直的单位

9、矢量取单位矢量k垂直与i和j构成的体积则倒格原胞的基矢为21122223243akbijaakabja 25 (2) 选定一例格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们是：b1, b2, (b1+b2)22.23bka这6个倒格矢中垂线围成区间构成了两部分：以原点为对称心正六边形是第一布里渊区正六边形外的6个三角形部分是第二布里渊区。第一布里渊区内切圆半径2619证明迪阿哈斯范阿耳芬效应的周期为12,eBS其中是kz=0平面在费密球上所截出的面积27由热力学可知，当磁感应强度B增加dB时，磁场H所作的功,cdUV HdB,cUV HB01.BH解答解答即系统内能的微分其中Vc是晶体体积由电磁学

10、可知，磁感应强度、磁场和磁化率的关系是28由(1)，(2)两式可得01cV BUB1 23 222021( ).82lcccnVmN EEn其中0是真空中的磁导率由上式可以看出，磁化率随磁场的倒数作振荡，应是系统内能微商U/B随1/B作振荡的反映当不存在磁场时，能态在波矢空间分布是均匀的当由磁场存在时，能态重新分布，磁场的作用使电子的量子态高度简并，此时电子的状态密度为29令3 22221,.82cccnVmanb3 23 21 200003 2022( )3322.FFEllEFnnnnnlnFnnnaEdEUEN E dEa Eba bEbabEba b3 21 23 21 2003 21

11、 2222233332322lnnFnnnnnlnnnFnFnnnFnnnnbbUaaEba bba bBBBBBbbBabEbaEbabBBEbbaba bBB则电子系统的能量对上式求微分30可见，每当时，U/B将成为极大值，磁化率将变成极小值设B=Bi时，对应磁化率的一个极小值，相邻的一个极小值对应B=Bi+111,22nceBbnnm因为所以式中有一项12nbenBm012212nlnnnFnFabneabbBEbeBm Enm12FeBnEm111,2iFeBnEm 12FeBnEm31上式的(1/B)是一个固定的常量，这说明，每当两个1/B的间距(周期)等于这一常量时，磁化率曲线就多

12、一个极小也就是说，磁化率以磁场倒数（1/B）作振荡因为kz=0的平面在费密球上截得的圆面积费密能所以有其中我们假设Bi+1大于Bi，由以上两式可得1111,iiFeBBBmE2FSk222FFkEm12.eBSFemE3220从E=E0到E=EF能带都为22220,2yxzxyzkkkEEmmm03()2cFFV nN EEE其中mx, my, mz都是大于零常数求电子能态密度其中n为单位体积内的电子数33由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为2220002221.222yxzxyzkkkmEEmEEmEE2222221xyzabc3 203422.3xyzm m mEE解答解答将上式

13、与椭球公式比较可知在波矢空间内电子等能面是一椭面，与椭球的体积4abc/3比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积34能量区间E-E+dE内电子的状态数目由上式可得1 20342.xyzdm m mEEdE1 2032322,2ccxyzVVdzdm m mEEdE1 2023( )2cxyzVdzN Em m mEEdE03 20232( )2,3FEccxyzFEVV nN E dEm m mEEVc是晶体体积，电子的能态密度设电子浓度为n，则E0-EF区间电子总数为Vcn且35将上式与能态密度1 2023()2.cFxyzFVN Em m mEE03()2cFFV nN EEE比较，得