2022年挑战中考数学压轴题全套 .pdf

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1、第一部分函数图象中点的存在性问题11 因动点产生的相似三角形问题12 因动点产生的等腰三角形问题13 因动点产生的直角三角形问题14 因动点产生的平行四边形问题 15 因动点产生的面积问题16 因动点产生的相切问题17因动点产生的线段和差问题第二部分图形运动中的函数关系问题21 由比例线段产生的函数关系问题第三部分图形运动中的计算说理问题31 代数计算及通过代数计算进行说理问题32 几何证明及通过几何计算进行说理问题第四部分图形的平移、翻折与旋转41 图形的平移 42 图形的翻折 43 图形的旋转 44三角形 45 四边形 46 圆47 函数的图象及性质11 因动点产生的相似三角形问题课前导学

2、 相似三角形的判定定理有3 个， 其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件， 因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据， 一般分三步： 寻找一组等角， 分两种情况列比例方程， 解方程并检验 如果已知AD，探求ABC与DEF相似，只要把夹A和D的两边表示出来，按照对应边成比例，分ABDEACDF和ABDFACDE两种情况列方程应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角， 再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理 3 解题不多见， 根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况， 讨论两个直角三角形相似， 如果一组锐角

3、相等， 其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的， 那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长， 要用到两点间的距离公式， 而这个公式容易记错 理解记忆比较好如图 1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页于A、B两点的纵坐标相减图 1 图 1 图 2 例

4、 1 湖南省衡阳市中考第28 题二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于A( 3, 0) 、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0, 3m)（m0） ，顶点为D （1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图 1，当m2 时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC的面积为S， 试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图 2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相似？动感体验请打开几何画板文件名 “14 衡阳 28” ， 拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，APC的面积最大拖动y轴上表示实数m的点运动，抛

5、物线的形状会改变，可以体验到，ACD和ADC都可以成为直角思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结OP，APC可以割补为：AOP与COP的和，再减去AOC3讨论ACD与OBC相似，先确定ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形ACD存在两种情况图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(3, 0)、B(1, 0) 两点，设ya(x3)(x1)代入点C(0, 3m) ，得 3m3a解得am所以该二次函数的解析式为ym(x3)(x1)mx22mx3m（2）如图 3，连结OP当m2 时，C(0, 6)，y2x24x6，那么P(x, 2x24x6)由于SAOP1()2POAy

6、32(2x24x6)3x26x9，SCOP1()2POCx3x，SAOC9，所以SSAPCSAOPSCOPSAOC3x29x23273()24x所以当32x时，S取得最大值，最大值为274图 3 图 4 图 5 图 6 （3）如图 4，过点D作y轴的垂线，垂足为E过点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页A作x轴的垂线交DE于F由ym(x3)(x1) m(x 1)24m，得D( 1, 4m)在 RtOBC中，OBOC13m如果ADC与OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为 13m如图 4，当ACD90

7、时，OAOCECED所以331mm解得m1此时3CAOCCDED，3OCOB所以CAOCCDOB所以CDAOBC如图 5，当ADC90时，FAFDEDEC所以421mm解得22m此时22 2DAFDDCECm，而3 232OCmOB因此DCA与OBC不相似综上所述，当m1 时，CDAOBC考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图 6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H由直线AC：y2x6，可得H(x, 2x6)又因为P(x, 2x24x6)，所以HP2x26x因为PAH与PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离 3，所以SSAPCSAPHSCPH32(2x26x) 23273()24x

8、例 2 2014年湖南省益阳市中考第21 题如图 1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ADAB，B60，AB10，BC4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设APx （1）求AD的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以A、P、 D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；图1 （3）设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为S1、 S2，若 SS1S2，求 S的最小值 . 动感体验请打开几何画板文件名“14 益阳 21” ，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段观察S随点P运动的图象，可

9、以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已思路点拨 1第（2）题先确定PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（ 3）题理解PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式 图文解析（1）如图 2，作CHAB于H，那么ADCH在 RtBCH 中， B60 ，BC4，所以 BH2，CH23所以 AD2 3（2）因为 APD 是直角三角形，如

10、果APD 与 PCB 相似，那么 PCB 一定是直角三角形如图 3，当 CPB90时， AP1028所以APAD82 34 33，而PCPB3此时 APD 与 PCB 不相似图 2 图 3 图 4 如图 4，当 BCP90时， BP2BC8所以 AP2所以APAD22 333所以 APD60此时 APD CBP综上所述，当x2 时， APD CBP （3）如图 5，设 ADP 的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边 DP 的中点设 PCB 的外接圆的圆心为O，那么点O 在 BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点 E，与 AB 交于点 F设 AP2m作 OMBP 于 M，那么 BMPM5m

11、在 Rt BEF 中，BE2， B60，所以 BF4在 RtOFM 中，FM BF BM4(5m)m1，OFM 30，所以 OM3(1)3m所以OB2BM2OM2221(5)(1)3mm 在 RtADP中，DP2AD2AP2124m2 所以GP23m2于是SS1S2(GP2OB2)22213(5)(1)3mmm2(73285)3mm所以当167m时，S取得最小值，最小值为1137图 5 图 6 考点伸展 关于第（ 3）题，我们再讨论个问题问题 1，为什么设AP2m呢？这是因为线段ABAPPMBMAP2BM10这样BM5m ，后续可以减少一些分数运算这不影响求S的最小值问题 2，如果圆心O在线段

12、EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图 6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FMBMBF(5m)41m此时OB2BM2OM2221(5)(1)3mm这并不影响S关于m的解析式例 3 2015年湖南省湘西市中考第26 题如图 1，已知直线yx3 与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线yx2bxc经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒 （1）求抛物线的解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

13、- -第 4 页，共 41 页（2）问：当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PE/y轴，交AB于点 E，过点Q作QF/y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF/PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 15 湘西 26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ与BOP有一次机会相似思路点拨1在APQ中，A45，夹A的两

14、条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ2先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PEQF列方程就好了 3MBQ与BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由yx3，得A(3, 0)，B(0, 3)将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入yx2bxc， 得930,3.bcc解得2,3.bc所以抛物线的解析式为yx22x3（2）在APQ中，PAQ45，AP3t，AQ2t分两种情况讨论直角三角形APQ：当PQA90时，AP2AQ解方程 3t2t，得t1（如图 2） 当QPA90时，AQ2AP解方程2t2(3 t) ，得t1.5（

15、如图 3） 图 2 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4，因为PE/QF，当EF/PQ时，四边形EPQF是平行四边形所以EPFQ所以yEyPyFyQ因为xPt，xQ3t，所以yE3t，yQt，yF(3 t)22(3t)3t24t因为yEyPyFyQ，解方程 3t(t24t)t ，得t1，或t3（舍去） 所以点F的坐标为 (2, 3)（4）由yx22x3(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB32由B(0, 3) 、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM2所以MBQBOP90因此MBQ与BOP相似存在

16、两种可能：当BMOBBQOP时，23322tt解得94t（如图5） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页当BMOPBQOB时，23322tt整理，得t23t30此方程无实根考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0) ，E(t, 3 t) ，Q(3t, t) ，按照PE方向，将点Q向上平移，得F(3 t, 3) 再将F(3 t, 3)代入yx22x3，得t1，或t312 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1已知线段AB5 厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨

17、迹是什么？ 2已知线段AB6 厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC是等腰三角形， 那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况解等腰三角形的存在性问题， 有几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果ABC的A（的余弦值） 是确定的， 夹A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法如图1

18、，如果ABAC，直接列方程；如图 2，如果BABC，那么1cos2ACABA；如图 3，如果CACB，那么1cos2ABACA代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的， 而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来图 1 图 2 图 3 图 1 例 9 2014年长沙市中考第 26 题如图 1，抛物线yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过 (0,0) 和1(,)16a两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2)（1）求a、b、c的值； （2）求证：

19、在点P运动的过程中，P始终与x轴相交； （3）设P与x轴相交于M(x1, 0) 、N(x2, 0) 两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标动感体验请打开几何画板文件名 “14 长沙 26” ，拖动圆心P在抛物线上运动，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 41 页可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来P在x轴上截得的弦长MN4是定值2等腰三角形AMN存在五种情况， 点P的纵坐标有三个值， 根据对称性，MAMN和NANM时，点P的纵坐标是相等的图文解析 （1）

20、已知抛物线的顶点为 (0,0) ，所以yax2所以b0，c0将1(,)16a代入yax2，得2116a解得14a（舍去了负值）（2）抛物线的解析式为214yx，设点P的坐标为21( ,)4xx已知A(0, 2)，所以222411(2)4416PAxxx214x而圆心P到x轴的距离为214x，所以半径PA圆心P到x轴的距离所以在点P运动的过程中，P始终与x轴相交（3）如图 2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN在 RtPMH中，2241416PMPAx，22411()416PHxx，所以MH24所以MH2因此MN4，为定值等腰AMN存在三种情况：如图3，当AMAN时，点P为原点O重合，此时点

21、P的纵坐标为 0图 2 图 3 图 4 图 5 如图 4，当MAMN时，在 RtAOM中，OA2，AM4，所以OM23此时xOH232所以点P的纵坐标为22211(232)(31)42 344x如图 5，当NANM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为42 3如图 6，当NANM4 时，在 RtAON中，OA2，AN4，所以ON23此时xOH232所以点P的纵坐标为22211(2 32)(31)42 344x如图 7，当MNMA4 时，根据对称性，点P的纵坐标也为42 3图 6 图 7 考点伸展 如果点P在抛物线214yx上运动，以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1) ，那么在点P运动的过程中，

22、P始终与直线y1 相切这是因为：设点P的坐标为21( ,)4xx已知B(0, 1) ，所以222222111(1)(1)1444PBxxxx而圆心P到直线y1 的距离也为2114x， 所以半径PB圆心P到直线y1 的距离所以在点P运动的过程中，P始终与直线y1 相切例 10 2014年湖南省张家界市中考第25 题如图 1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yax2bxc（a0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为 (10, 0)和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 41 页1824(,)55，以OB为直径的A经过C点，直

23、线l垂直x轴于B点 （1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是A上一动点（不同于O、B） ，过点M作A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒 1 个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从 B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0t8）秒时恰好使BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 “14 张家界 25” ，拖动点M在圆上运动， 可以体验到，EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高拖动点Q在BC上运动，可以体验到，BPQ有三个时

24、刻可以成为等腰三角形思路点拨 1从直线BC的解析式可以得到OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫 2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（3）题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高 4 第（4）题的PBQ中，B是确定的，夹B的两条边可以用含t的式子表示分三种情况讨论等腰三角形图文解析 （1）直线BC的解析式为31542yx （2）因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设yax(x10)代入点C1824(,)55，得241832()555a解得524a所以2255255125(10)(5)2424122424yx xxxx抛物线的顶点为125(5,)24 （3）如

25、图 2，因为EF切A于M，所以AMEF由AEAE，AOAM，可得 RtAOERtAME所以 12同理 34于是可得EAF90所以 51由 tan 5tan1，得MAMEMFMA所以MEMFMA2，即mn25图 2 （4）在BPQ中，cosB45，BP10t，BQt分三种情况讨论等腰三角形BPQ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页如图 3，当BPBQ时，10tt解得t5如图 4，当PBPQ时，1cos2BQBPB解方程14(10)25tt，得8013t 如图 5，当QBQP时，1cos2BPBQB解方程14(10)2

26、5tt，得5013t图 3 图 4 图 5 图 6 考点伸展 在第（ 3）题条件下，以EF为直径的G与x轴相切于点A如图 6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G到x轴的距离等于圆的半径， 所以G与x轴相切于点A例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26 题在平面直角坐标系中，抛物线yx2(mn)xmn（mn）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C（1）若m2，n1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是 (0, 1) ，求ACB的大小；（3）若m2，ABC是等腰三角形，求n的值动感体验请打

27、开几何画板文件名“ 14 邵阳 26” ，点击屏幕左下方的按钮（ 2） ，拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，ABC保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（ 3） ，拖动点B在x轴上运动，观察ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有 4 种情况 思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标2第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析 （1）由yx2(mn)xmn(xm)(xn)，且mn，点A位于点B的右侧，可知A(m

28、, 0) ，B(n, 0)若m2，n1，那么A(2, 0)，B(1, 0)（2）如图 1，由于C(0, mn) ，当点C的坐标是 (0, 1) ，mn1，OC1若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OAOBm( n) mn1所以OC2OAOB所以OCOBOAOC所以 tan 1tan2所以12又因为 1 与3 互余，所以 2 与3互余所以 ACB 90（3）在ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0) ，C(0, 2n) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 41 页讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便： 由两点间的距离公

29、式， 得AB2(n2)2，BC25n2，AC244n2当ABAC时，解方程 (n2)244n2，得43n（如图 2）当CACB时，解方程 44n25n2，得n2（如图 3），或n2（A、B重合，舍去）当BABC时，解方程 (n2)25n2，得512n（如图 4），或512n（如图 5）图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 考点伸展 第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于C(0, mn)，当点C的坐标是 (0, 1)，mn1由A(m, 0) ，B(n, 0) ，C(0, 1)，得AB2(mn)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21 所以AB2BC2AC2于是得到 RtAB

30、C， ACB90第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CACB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B( 2, 0) ，n2例 12 2014年湖南省娄底市中考第27 题如图 1，在 ABC 中， ACB90 ，AC4cm，BC3cm如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s连结 PQ，设运动时间为 t（s） （ 0t4） ，解答下列问题： （ 1）设 APQ 的面积为S，当 t 为何值时， S取得最大值？ S的最大值是多少？（2）如图 2，连结 PC，将 PQC 沿 QC 翻折，得

31、到四边形PQPC，当四边形PQPC为菱形时，求t 的值； （3）当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？图 1 图 2 图 3 图 4 动感体验请打开几何画板文件名“14 娄底 27” ，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况还可以体验到，当QC2HC时，四边形PQPC是菱形思路点拨 1在APQ中，A是确定的， 夹A的两条边可以用含t的式子表示2四边形PQPC的对角线保持垂直， 当对角线互相平分时， 它是菱形，图文解析 （1）在 RtABC中，AC4，BC3，所以AB5，sinA35，cosA45作 QDAB 于 D， 那么

32、 QD AQ sinA35t 所以 SSAPQ12AP QD13(5)25tt23(5 )10tt23515() +1028t当52t时， S取得最大值，最大值为158精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页（2）设 PP与 AC 交于点 H，那么 PP QC，AHAPcosA4(5)5t如果四边形PQPC 为菱形，那么PQPC所以 QC2HC解方程4424(5)5tt，得2013t （3）等腰三角形APQ 存在三种情况：如图 5，当 APAQ 时， 5tt解得52t如图6，当 PAPQ 时，1cos2AQAPA解方程

33、14(5)25tt， 得4013t 如图 7， 当 QAQP 时，1cos2APAQA 解方程14(5)25tt得2513t图 5 图 6 图 7 图 8 考点伸展 在本题情境下，如果点Q是PPC的重心，求t的值如图 8，如果点Q是PPC的重心，那么QC23HC解方程2444(5)35tt，得6023t例 13 2015年湖南省怀化市中考第22 题如图 1，已知 RtABC中，C90，AC8，BC6，点P以每秒 1 个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒 2 个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒 （1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；（2

34、）经过 t 秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中， 是否存在时间 t ，使得PQC为等腰三角形 若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由 （24.25，结果保留一位小数）动感体验请打开几何画板文件名“ 15 怀化 22” ，拖动点P在AC上运动，可以体验到，PQ与BD保持平行，等腰三角形PQC存在三种情况思路点拨1过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值2线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上3等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长图文解析（1）在 RtABC中，AC8，BC6，所以AB1

35、0如图 2，当点Q在AB上时，作BD/PQ交AC于点D，那么22ABAQtADAPt所以AD5所以CD3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页如图 3，当点Q在BC上时，16228CQtCPt又因为623CBCD，所以CQCBCPCD因此PQ/BD所以PQ的最大值就是BD在 RtBCD中，BC6，CD3，所以BD35所以PQ的最大值是35图 1 图 2 图 3 图 4 （2）如图 2，当点Q在AB上时，0t5，SABD15由AQPABD，得2()AQPABDSAPSAD所以SSAQP215( )5t235t如图 3，

36、当点Q在BC上时， 5t8，SABC24因为SCQP12CQ CP1(162 )(8)2tt2(8)t，所以SSABCSCQP24(t8)2t216t40（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ2CP，C90，所以PQC不可能成为等腰三角形当点Q在AB上时，我们先用t表示PQC的三边长：易知CP8t如图2，由QP/BD，得QPAPBDAD，即53 5QPt所以3 55QPt如图4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sin A65t，AH85t在RtCQH中，由勾股定理，得CQ22QHCH2268()(8)55tt分三种情况讨论等腰三角形PQC： （1）当PCPQ时，解方程3585tt，得6

37、510t3.4（如图5所示） 当QCQP时，22683 5()(8)555ttt整理，得2111283200tt所以(11t40)(t8) 0解得4011t3.6（如图 6所示），或t8（舍去）当CPCQ时，22688()(8)55ttt整理，得25160tt解得165t3.2 （如图7所示），或t0（舍去）综上所述，当 t 的值约为 3.4 ，3.6 ，或等于 3.2时，PQC 是等腰三角形图 5 图 6 图 7图 8 图 9 考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：如图 8，当点Q在AB上时，PQ22QHPH2268()()55ttt3 55t当Q与B重合时

38、，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为3 5如图 9，当点Q在BC上时，PQ22CQCP22(2)CPCP5(8) t当Q与B重合时，PQ最大，此时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页t5，PQ的最大值为35综上所述，PQ的最大值为3 513 因动点产生的直角三角形问题课前导学 我们先看三个问题： 1已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 2已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3已知点A(4,0) ，如果OAB是等腰直角三角形， 求符

39、合条件的点B的坐标图 1 图 2 图 3 图4 如图 1，点C在垂线上，垂足除外如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外如图 3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共 6 个解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下， 按照直角顶点或者斜边分类， 然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行， 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相

40、似直角三角形， 这样列比例方程比较简便 如图 4， 已知A(3, 0) ，B(1, 4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C如果作BDy轴于D，那么AOCCDB设OCm，那么341mm这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点例 19 2015年湖南省益阳市中考第21 题如图 1，已知抛物线E1：yx2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2) ，点A、B关于y轴的对称点分别为点A、B （1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线E1上是否存

41、在点Q，使得以点Q、B、B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线E1上与点 A 不重合的一点，连结OP 并延长与抛物线E2相交于点 P，求 PAA 与PBB的面积之比图 1 图 2 图 3 图 4 动感体验请打开几何画板文件名“ 15 益阳 21” ，拖动点P在抛物线E1上运动，可以体验到， 点P始终是线段OP的中点还可以体验到， 直角三角形QBB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页有两个思路点拨1判断点P是线段OP的中点是解决问题的突破口

42、，这样就可以用一个字母表示点P、P的坐标 2分别求线段AABB，点P到AA的距离点P到BB的距离，就可以比较PAA与PBB的面积之比图文解析（1）当x1 时，yx21，所以A(1, 1)，m1设抛物线 E2的表达式为y ax2，代入点B(2,2)，可得 a12所以 y12x2（2）点 Q 在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB存在两种情况：如图 3，过点 B 作 BB的垂线交抛物线E1于 Q，那么 Q(2, 4)如图 4，以 BB为直径的圆D 与抛物线E1交于点 Q，那么 QD12BB2设 Q(x, x2)，因为 D(0, 2)，根据 QD24 列方程 x2(x22)24解得 x3此时

43、Q( 3,3)（3）如图 5，因为点 P、P 分别在抛物线E1、E2上，设 P(b, b2)，P(c, 212c)因为 O、P、P 三点在同一条直线上，所以PPMNOMON，即2212cbbc所以 c2b所以 P (2b, 2b2)如图 6，由 A(1, 1)、B(2,2)，可得 AA 2，BB 4由 A(1, 1)、P(b, b2)，可得点P 到直线 AA的距离 PM b21由 B(2,2)、P(2b, 2b2)，可得点P到直线 BB的距离 PN2b22所以 PAA 与PBB的面积比 2(b2 1)4(2b22)14考点延伸第（2）中当BQB90时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法

44、：方法二，由勾股定理，得BQ2BQ2BB2所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242方法三，作QHBB 于 H，那么 QH2BHBH所以 (x2 2)2(x2) (2x)图5 图6图1 图2 例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26 题如图 1，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A( 1, 0) 、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC动点P以每秒 1 个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动设运动的时间为t秒 （1）求二次函数的解析式；（2）如图 1，当BPQ为

45、直角三角形时，求t的值；（3）如图 2，当t2 时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由动感体验请打开几何画板文件名“ 15 湘潭 26” ，拖动点P在AB上运动，可以体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页验到，BPQ有两次机会可以成为直角三角形还可以体验到，点N有一次机会可以落在抛物线上思路点拨1分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ2如果PQ的中点恰为MN的中点，那么MQNP，以MQ、NP为直角边可以构造全等的直角三角形，

46、从而根据直角边对应相等可以列方程图文解析（1）因为抛物线yx2bxc与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0) 两点，所以y(x1)(x3) x22x3 （2）由A(1, 0) 、B(3, 0)、C(0, 3) ，可得AB4，ABC45在BPQ中，B45，BP4t，BQ2t 直角三角形BPQ存在两种情况：当BPQ90时，BQ2BP解方程2t2(4 t) ，得t2（如图3） 当BQP90时，BP2BQ解方程 4t2t，得t43（如图 4） 图 3 图 4 图 5 （3）如图 5，设PQ的中点为G，当点G恰为MN的中点时，MQNP作QEy轴于E，作NFx轴于F，作QHx轴于H，那么MQENPF由已知

47、条件，可得P(t1, 0) ，Q(3t, t)由QEPF，可得xQxNxP，即 3txN(t1)解得xN2将x2 代入y(x1)(x3)，得y3所以N(2, 3) 由QH/NF，得QHPHNFPF，即(3)(1)32(1)tttt整理，得t29t120解得9332t因为t2，所以取9332t考点伸展第（3）题也可以应用中点坐标公式，得(1)(3)122PQGxxttx所以xN2xG214 因动点产生的平行四边形问题课前导学 我们先思考三个问题： 1已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？ 3在坐

48、标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？图 1 图 2 图 3图 4 如图 1，过ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 41 页如图 2，已知A(0, 3) ，B(2, 0) ，C(3, 1) ，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位与点 A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点D(5, 4)如图 3，如果平行四边形AB

49、CD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直） ，点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等关系式xAxCxBxD和yAyCyByD有时候用起来很方便 我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合如图4，点A是抛物线yx22x3 在x轴上方的一个动点，ABx轴于点B，线段AB交直线yx1 于点C，那么点A的坐标可以表示为 (x, x22x3) ，点C的坐标可以表示为 (x, x1) ，线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为AByAx22x3，线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标表示为ACyAyC(x22x3)(x1)x2x2通俗地说，数形结合就是： 点在图象上， 可

50、以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24 题如图 1，抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C10(0,)3三点设点E(x, y)是抛物线上一动点，且在x轴下方， 四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形 （1）求抛物线的解析式；（2）当点 E(x, y)运动时，试求平行四边形OEBF 的面积 S与 x 之间的函数关系式，并求出面积S的最大值（ 3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求点E、F 的坐标；若不存在，请说明理由动感体验 请打开几何画板文件名 “14 岳阳 24” ，拖动点E运动，可以体验到