2022年函数的单调性知识点总结与经典题型归纳 .pdf

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1、学习必备精品知识点函数的单调性知识梳理1. 单调性概念一般地，设函数( )f x的定义域为 I ：（1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就说函数( )f x在区间 D 上是增函数 ；（2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就说函数( )f x在区间 D 上是减函数 . 2. 单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（2）定义法步骤；取值：设12,xx是给定区间内的两个任意值，且12

2、xx ( 或12xx)；作差：作差12()()f xf x，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）；定号：判断12()()f xf x的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说： 同增异减 （类似于“负负得正”）3. 单调区间的定义如果函数( )yf x，在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间 D 叫做( )yf x的单调区间 例题精讲【例 1】下图为某地区 24 小时内的气温变化图(1) 从

3、左向右看，图形是如何变化的？(2) 在哪些区间上升 ?哪些区间下降？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备精品知识点解：（ 1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间0,4和14,24下降，在区间4,14下降。【例 2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x)=x; 从左至右图象上升还是下降? 在区间 (- ，+) 上，随着 x 的增大， f(x)的值随着怎么变化？（2）f(x)=x2在区间 (- ，0)上，随着 x 的增大， f(x)的值随着怎么变化？在区间 0 ，+) 上，随着 x 的

4、增大， f(x)的值随着怎么变化？解：（ 1）从左至右图象是上升的；在区间 (- ，+) 上，随着 x 的增大， f(x)的值随着增大（2）在区间 (- ，0)上，随着 x 的增大， f(x)的值随着减小；在区间 0 ，+) 上，随着 x 的增大， f(x)的值随着增大【例 3】函数( )yf x在定义域的某区间D 上存在12,xx，满足12xx且12()()f xf x，那么函数( )yf x在该区间上一定是增函数吗？解：不一定，例如下图：【例 4】下图是定义在闭区间 5,5上的函数( )yf x的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数解：函数( )yf

5、 x的单调区间有 5, 2), 2,1), 1,3), 3,5)；其中在区间 5, 2), 1,3)上是减函数，在区间 2,1), 3,5)上是增函数 . 【例 5】证明函数( )32f xx在 R上是增函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备精品知识点证明：设12,x x是 R上的任意两个实数，且12xx（取值）则1212()()(32)(32)f xf xxx（作差）123()xx由12xx，得120 xx于是12()()0f xf x（定号）所以12()()f xf x所以，函数( )32f xx在

6、 R上是增函数。（下结论）课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.若 函 数( )f x在区 间( , )a b上是 增函 数 ，在 区间( , )c d上 也是 增函 数 ， 则 函 数( )f x在 区间(,)( ,)a bc d上 ( ) A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2. 在区间(,0)上为增函数的是（）A1yB21xxyC 122xxyD21xy3函数, 在 上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.无单调性4如果函数 f(x)在a，b上是增函数， 对于任意的 x1，x2a，b(x1x2)，下列结论不正确的是 () A.f x1f x2x1x20 B

7、(x1x2) f(x1)f(x2)0 Cf(a)f(x1)f(x2)0 5函数11yx的减区间是 . 6证明：函数1( )fxx在(0,)上是减函数。7已知 f(x)在(0，)上是减函数，判断f(a2a1)与 f34的大小关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备精品知识点8若函数 f(x)4x2kx8 在5,8上是单调函数，求k 的取值范围 . 9已知函数( )1axf xx, 若. (l) 求的值. (2) 利用单调性定义证明函数在区间的单调性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页