2022年函数解析式的七种求法 .pdf

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1、精品资料欢迎下载一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系， 是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是 yf（x） ，不能把它写成 f（x，y）0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数 fg（x） 的表达式，求 f（x）

2、的表达式时可以令 tg（x） ，以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出 f（x）和 f（x） ，或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以 x 代换x（或1/x） ，构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（x） （或 f（1/x） ）即可求出 f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自

3、变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外， 还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数 yfg（x） 的定义域的求解，应先由 yf（u）求出 u 的范围，即 g（x）的范围，再从中解出x 的范围 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域 I2，I1和 I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论， 若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，

4、但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集， 作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数 f：AB 中，集合 B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为 C，则 C 是 B 的子集；若 CB，那么该函数作为映射我们称为 “ 满射” ；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种

5、求 法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1设)(xf是一次函数，且34)(xxff，求)(xf解：设baxxf)()0(a，则babxabbaxabxafxff2)()()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载342baba3212baba或32)(12)(xxfxxf或二、配凑法：已知复合函数( )f g x的表达式，求( )f x的解析式， ( )f g x的表达式容易配成( )g x的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数( )f x的定义域不是原复合函数的定义域，而

6、是( )g x的值域。例 2已知221)1(xxxxf)0(x，求( )f x的解析式解：2)1()1(2xxxxf，21xx2)(2xxf)2(x三、换元法：已知复合函数( )f g x的表达式时，还可以用换元法求( )f x的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3已知xxxf2) 1(，求)1(xf解：令1xt，则1t，2)1(txxxxf2)1(, 1)1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(xxxxxf21)1()1(22)0(x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3 ,2

7、(对称，求)(xg的解析式解：设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3 ,2(的对称点则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(xgy上xxy2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载把yyxx64代入得：)4()4(62xxy整理得672xxy67)(2xxxg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf解xxfxf)1(2)(显然

8、,0 x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(解 联立的方程组，得：xxxf323)(例 6 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式解)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，)()(),()(xgxgxfxf又11)()(xxgxf ，用x替换x得：11)()(xxgxf即11)()(xxgxf解 联立的方程组，得11)(2xxf，xxxg21)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对

9、具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7已知：1)0(f，对于任意实数 x、y，等式) 12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf解对于任意实数 x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，不妨令0 x，则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf再令xy得函数解析式为：1)(2xxxf七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设)(xf是 定 义 在N上 的 函 数 ， 满 足1)1(f， 对 任 意 的 自 然 数ba,都 有abbafbfaf)()()(，求)(xf解Nbaabbafbfaf,)()()(，不妨令1,bxa，得：xxffxf)1() 1()(，又1)()1(, 1)1(xxfxff故分别令式中的1,21xn得：(2)(1)2,(3)(2)3,( )(1),fffff nf nn将上述各式相加得：nfnf32)1()(，2) 1(321)(nnnnfNxxxxf,2121)(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页