2022年常微分方程习题 .pdf

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1、常微分方程期中测试试卷(11) 班级 _姓名 _ 学号 _得分 _ 1 微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是 _ 2 若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(dyyxNdxyxM有只与y有关的积分因子的充要条件是_ 3 _ 称为齐次方程. 4 如果),(yxf_ ,则),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy,定义于区间hxx0上,连续且满足初始条件)(00 xy,其中h_ . 5 对 于 任 意 的),(1yx,),(2yxR(R为 某 一 矩 形 区 域 ),若 存 在 常 数)0(NN使_ , 则称),(yxf

2、在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程22yxdxdy定义在矩形区域R:22,22yx上 ,则经过点)0,0(的解的存在区间是_ 7 若),.2, 1)(nitxi是齐次线性方程的n个解 ,)(tw为其伏朗斯基行列式,则)(tw满足一阶线性方程_ 8若),.2, 1)(nitxi为齐次线性方程的一个基本解组,)(tx为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_ 9若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn_ 10_称 为 黎 卡 提 方 程 ， 若 它 有 一 个 特 解)(xy，则经过变换_，可化为伯努利方程二求下列方程的解3yxydxdy求方程2yxdxdy

3、经过)0,0(的第三次近似解讨论方程2ydxdy，1)1 (y的解的存在区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页4 求方程01)(22ydxdy的奇解5 0)1()1(cos2dyyxydxyx6 xxxyyy22sincossin27 0)37()32(232dyxydxyxy三 证明题1 试证 :若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程)()(xQyxPdxdy, 当)(xP, )(xQ在,上连续时 ,其解存在唯一参考答案一 填空题11 2 )(

4、)1)(yMxNyM3 形如)(xygdxdy的方程4 在R上连续且关于y满足利普希兹条件),min(mbah5 2121),(),(yyNyxfyxf6 4141x7 0)(1wtaw8 xxcxniii19 1)!1(nnhnML10 形如)()()(2xryxqyxpdxdy的方程yzy二 求下列方程的解1 解：23yyxyyxdydx，则)(121cdyeyexdyydyy所以cyyx23另外0y也是方程的解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页2 解：0)(0 x2020121)()(xdxxxxx520212

5、20121)()(xxdxxxxx81152022316014400120121)()(xxxxdxxxxx3 解：dxydy2两边积分cxy1所以方程的通解为cxy1故过1)1 (y的解为21xy通过点)1 ,1 (的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在区间为)2,(4 解: 利用p判别曲线得020122pyp消去p得12y即1y所以方程的通解为)sin(cxy, 所以1y是方程的奇解5 解: yM=2y, xN=2y, yM=xN, 所以方程是恰当方程. 211cosyxyyvyxxu得)(sinyyxxu)(2yxyyu所以yyln)(故原方程的解为cyyxxlnsin6 解

6、: xxxyyy22sincossin2故方程为黎卡提方程.它的一个特解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页xysin,令xzysin, 则方程可化为2zdxdz, cxz1即cxxy1sin, 故cxxy1sin7 解: 两边同除以2y得037322xdydyyydxxdx0732ydxyddx所以cyxyx732, 另外0y也是方程的解三证明题1 证明 : 设黎卡提方程的一个特解为yy令yzy, dxyddxdzdxdy又)()()(2xryxqyxpdxdydxydxryzxqyzxpdxdz)()()(2由假

7、设)()()(2xryxqyxpdxyd得zxqyxpzxpdxdz)()(2)(2此方程是一个2n的伯努利方程,可用初等积分法求解2 证明 : 令R: x, Ry)(xP, )(xQ在,上连续 , 则)()(),(xQyxPyxf显然在R上连续, 因为)(xP为,上的连续函数, 故)(xP在,上也连续且存在最大植, 记为L即)(xPL, x,1y,Ry22121)()(),(),(yxPyxPyxfyxf=)(xP21yy21yyL因此一阶线性方程当)(xP, )(xQ在,上连续时 ,其解存在唯一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页