2022年选择性必修第一册模块综合试卷 .pdf

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1、模块综合试卷(时间： 120 分钟满分： 150 分) 一、单项选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分) 1直线 l 过点 (3,0)，且与直线y2x3 垂直，则直线l 的方程为 () Ay12(x3) B y12(x3) Cy12(x3) D y12(x3) 答案B 解析因为直线y2x3 的斜率为2，所以直线 l 的斜率为12.又直线 l 过点(3,0)，故所求直线的方程为y12(x 3)2双曲线x2m212y24 m21 的焦距是 () A2 2 B8 C4 D42 答案B 解析依题意知， a2m212，b24m2，所以 ca2b216 4.所以焦距 2c8. 3过点 P(

2、2,4)作圆 C：(x2)2(y1)225 的切线 l，直线 m：ax3y 0与切线 l 平行，则切线 l 与直线 m 间的距离为 () A4 B 2 C.85D.125答案A 解析根据题意，知点P 在圆 C 上， 切线 l 的斜率 k1kCP1142243，切线 l 的方程为 y443(x2)，即 4x3y20 0. 又直线 m 与切线 l 平行， 直线 m 的方程为 4x3y0. 故切线 l 与直线 m 间的距离 d|020|42 324. 4若 a(1， ， 2)，b(2， 1，1)，a 与 b 的夹角为 120 ，则 的值为 () A17 或 1 B 17 C 1 或 17 D1 答案

3、A 解析由已知 a b 2 2 4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - | |a12452，| |b4116，cos 120 a b| |a| |b 452612，解得 17 或 1. 5若点 P 为圆 x2y21 上的一个动点，点A(1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|PB|的最大值是 () A2 B 2 2 C4 D42 答案B 解析 点 P 为圆 x2y21 上的一个动点，且点 A(1,0)，B(1,

4、0) 为两个定点，|PA|2|PB|24，(|PA|PB|)22(|PA|2|PB|2)8，|PA|PB|2 2，当且仅当 |PA|PB|2时“”成立，故|PA|PB|的最大值是22. 6已知 F 是抛物线 y24x 的焦点， 过点 F 且斜率为3的直线交抛物线于A，B 两点， 则|FA|FB|的值为 () A.83B.163C.833D.8 23答案A 解析直线 AB 的方程为 y3(x1)，由y2 4x，y3 x1 ，得 3x210 x30，故 x1 3，x213，所以 |FA|FB| |x1x2|83，故选 A. 7直三棱柱ABCA1B1C1中， BCA90 ，M，N 分别是 A1B1，

5、A1C1的中点， BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为() A.110B.25C.3010D.22答案C 解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设 BC2，则 B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 所以 BM(1， 1,2)，AN(1,0,2)，故 BM 与 AN 所成角 的余弦值 cos |BM AN|BM| |AN|365

6、3010. 8已知点P 是双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)右支上一点， F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是() A.2 B.3 C2 D.5 答案D 解析如图所示，由双曲线的渐近线方程为y bax，得直线 PF1：yab(xc)，原点 O 到直线 PF1的距离 daca2b2a，因此 |OM|a，又|OF1|c，得 |F1M|b，则根据几何图形的性质可得|F1P|2b，|F2P|2a，根据双曲线的定义得|F1P|F2P|2a2b2a，因此可得b 2a，即 b24a2c2a2，所以 e2c2a25，即 e5，故选 D. 二、多项选择题

7、(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分全部选对的得5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分) 9关于空间直角坐标系Oxyz 中的一点 P(1,2,3)，下列说法正确的是() AOP 的中点坐标为12，1，32B点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为( 1， 2， 3) C点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2， 3) D点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标为(1,2， 3) 答案AD 解析A 显然正确；点P 关于 x 轴对称的点的坐标为(1，2，3)，故 B 错；点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1， 2， 3)，故 C 错； D 显然正确10在正方体ABCD A1B

8、1C1D1中，下列命题中真命题的是() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - A(AA1ADAB)23AB2B.A1C (A1B1 A1A )0 C.AD1 与A1B 的夹角为 60D正方体的体积为|AB AA1 AD| 答案AB 解析(AA1 AD AB)2(AA1 A1D1 D1C1 )2AC1 23AB2，故 A 为真命题；A1C (A1B1 A1A )A1C AB1 0，故 B 为真命题；AD1 与 A1B

9、的夹角是 D1C 与D1A 夹角的补角，而D1C 与D1A 的夹角为 60 ，故 AD1 与 A1B 的夹角为120 ，故 C 是假命题；正方体的体积为|AB|AA1 |AD|，故 D 为假命题11已知 ab0，O 为坐标原点，点P(a，b)是圆 x2y2r2外一点，过点P 作直线 lOP，直线 m 的方程是 axbyr2，则下列结论正确的是() AmlBm lCm 与圆相离Dm 与圆相交答案AD 解析直线 OP 的斜率为ba，直线 l 的斜率为ab，直线 l 的方程为 axbya2b2，又 P(a，b)在圆外， a2b2r2，故 ml，圆心 (0,0)到直线 ax byr2的距离 d| |r

10、2a2b20)的焦点 F，与抛物线C 交于点 A，B两点 (点 A 在第一象限 )，与抛物线的准线交于点D，若|AB 8，则以下结论正确的是() A.1|AF1|BF1 B.|AF 6 C.|BD2|BFDF 为 AD 中点答案BCD 解析根据题意作出其图象，过A，B 分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1如图直线 l 的倾斜角为3，即 xFA60 ，则 FDA1 30 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 设|B

11、D|x，则 Rt DBB1，Rt DAA1中，可得 |BB1|x2，|AA1|4x2. 所以 |BB1|BF|x2，|AA1|AF|4x2，|AB|AF|BF|4x2x24x8，解得 x4. 所以 |BF|2，|AF|6，所以 B 正确所以1|AF1|BF16121，所以 A 不正确所以 |BD|4，满足 |BD| 42|BF|，所以 C 正确而|DF |BD|BF|426 |AF|，所以 D 正确故选： BCD. 三、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分) 13已知 l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，1)的两条平行直线，则当 l1，l2间的距离最大时，直线 l1的

12、方程是 _答案x2y30 解析当直线 AB 与 l1，l2均垂直时， l1， l2间的距离最大A(1,1)，B(0， 1)，kAB1101 2，1lk12. 直线 l1的方程为 y112(x1)，即 x2y30. 14 若圆 C 的半径为 1， 其圆心与点 (1,0)关于直线 yx对称，则圆 C 的标准方程为 _答案x2(y1)21 解析由题意知圆C 的圆心为 (0,1)，半径为 1，所以圆 C 的标准方程为x2(y1)21. 15如图， P 为 ABC 所在平面外一点，P APBPC1， APB BPC60 ， APC90 ，若 G 为 ABC 的重心，则PG 长为 _，异面直线P A 与

13、BC 所成角的余弦值为_(本题第一空2 分，第二空3 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 答案5312解析由题意得 ABC 90 ，连接点P 和线段 AC 的中点 D，连接 BD，如图：易知 BDPD22，则 PDB90 ，又G 为ABC 的重心， GD13BD26，PGPD2DG253. AP BC AP()PCPBAP PCAP PB12，cosAP，BCAP BC|AP|BC|12，异面直线PA 与 B

14、C 所成角的余弦值为12. 16设 F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N 两点，且满足MAN120 ，则该双曲线的离心率为 _答案213解析不妨设 M 在第一象限， N 在第三象限，易知A(a，0)，由已知条件知圆的方程为x2y2c2，由ybax，x2y2c2，得 M(a，b)，N(a， b)，AM(2a， b)，AN(0， b)，又MAN120 ，cosAM，ANb24a2b2 b12，4a23b2， 4a23(c2a2)，7a23c2，ca213，即双曲线的离心率为213. 四、解答题 (

15、本大题共6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知直线 l1的方程为 x2y40，若 l2在 x 轴上的截距为32，且 l1l2. (1)求直线 l1与 l2的交点坐标；(2)已知直线l3经过 l1与 l2的交点，且在 y轴上的截距是在x 轴上的截距的2 倍，求 l3的方程解(1)设 l2的方程为 2xym0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 因为 l2在 x 轴上的截距为32，所以 30m0，m 3，即 l

16、2：2x y30. 联立x2y40，2xy30得x2，y1.直线 l1与 l2的交点坐标为 (2,1)(2)当 l3过原点时， l3的方程为 y12x. 当 l3不过原点时，设l3的方程为xay2a1(a0)，又直线 l3经过 l1与 l2的交点，所以2a12a1，得 a52，l3的方程为2xy50. 综上， l3的方程为 x2y0 或 2x y50. 18(12 分 )已知抛物线y22px(p0)有一内接 OAB，O 为坐标原点，若OA OB0，直线OA 的方程为y2x，且 |AB|4 13，求抛物线方程解由y 2x，y22px，解得 Ap2，p ，又OA OB0，所以 OAOB，故直线 O

17、B 的方程为 y12x. 由y12x，y22px，解得 B(8p， 4p)因为 |AB|413，所以p2 8p2(p4p)21613，所以 p85，所以抛物线方程为y2165x. 19(12 分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 DD1的中点求证：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - (1)BD1平面 AB1C；(2)平面 EAC平面 AB1C. 证明(1)以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐

18、标系Dxyz，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则 E(0， 0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，B(2，2， 0)，D1(0，0，2)，所以 AC(2，2，0)，AE (2，0， 1)， AB1 (0，2，2)，BD1(2， 2， 2)，设平面 AB1C 的法向量 m (x， y，z)，则m AC 2x2y0，m AB12y2z0，取 x1，得 m(1，1， 1). 因为 BD1 2m，所以 BD1 m，所以 BD1平面 AB1C. (2)设平面 AEC 的法向量 n(x，y，z)，则n AE 2xz 0，n AC 2x2y0，取 x1，得 n(1，

19、 1，2)，m n1120，平面 EAC平面 AB1C. 20(12 分)已知椭圆x2b2y2a21(ab0)的离心率为22，且 a22b. (1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m，使直线l：xym0 与椭圆交于A，B 两点，且线段AB 的中点在圆x2y25 上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由解(1)由题意得ca22，a22b，b2a2c2，解得a2，c1，b1，故椭圆的方程为x2y221. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

20、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 联立直线与椭圆的方程得x2y221，xy m 0，即 3x22mxm2 20，所以 (2m)243 (m22)0，即 m23，且 x0 x1 x22m3，y0 x0m2m3，即 M m3，2m3，又因为 M 点在圆 x2y25 上，所以 m322m325，解得 m 3，与 m20)，则有 D(0,2,0)，E(2,1,0)， C(2,4,0)，P(0,0， )，AC(2,4,0)，AP(0,0， )， DE(2， 1,0)，DE AC4400，DE AP0，DEAC，DEAP，又 A

21、CAPA，DE平面 PAC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 又 DE? 平面 PED，平面 PED平面 PAC. (2)解由(1)知，平面 PAC 的一个法向量是DE(2， 1,0)，PE(2,1， )，设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 ，sin |cosPE，DE | 415 5255，解得 2. 0， 2，即 P(0,0,2)，设平面 PCD 的一个法向量为n(x，y，z)，DC(2,2,0)，D

22、P(0，2,2)，由 nDC，nDP，2x2y0，2y2z0，不妨令 x1，则 n(1， 1， 1)cosn， DE2135155，平面 PCA 和平面 PCD 夹角的余弦值为155. 22(12 分)已知椭圆 C：9x2y2m2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；(2)若 l 过点m3，m ，延长线段OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率，若不能，说明理由(1)证明设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)

23、， B(x2，y2)，M(xM，yM)由ykx b，9x2y2m2，得(k29)x22kbx b2m20，xMx1x22kbk29，yMkxM b9bk29，直线 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOM k 9. 即直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值9. (2)解四边形 OAPB 能为平行四边形直线 l 过点m3，m ，l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k0，k3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - -

24、 - - - 由(1)得 OM 的方程为 y9kx. 设点 P 的横坐标为xP. 由y9kx，9x2 y2 m2，得 x2Pk2m29k281，xP mk3k29，将点m3，m 的坐标代入直线l 的方程得 bm 3k3，xMmk k33 k29. 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段 OP 互相平分，即xP2xM， km3k292mk k 33 k29，解得 k147，k247. ki0，ki3，i1,2，当 l 的斜率为 47或 47时，四边形OAPB 为平行四边形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -