2022年透视投影的原理和实现 .pdf

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1、透视投影的原理和实现by Goncely摘要 ：透视投影是3D 渲染的基本概念，也是3D 程序设计的基础。掌握透视投影的原理对于深入理解其他3D 渲染管线具有重要作用。本文详细介绍了透视投影的原理和算法实现，包括透视投影的标准模型、一般模型和屏幕坐标变换等，并通过VC 实现了一个演示程序。1 概述在计算机三维图像中，投影可以看作是一种将三维坐标变换为二维坐标的方法，常用到的有正交投影和透视投影。正交投影多用于三维健模，透视投影则由于和人的视觉系统相似，多用于在二维平面中对三维世界的呈现。透视投影（PerspectiveProjection ）是为了获得接近真实三维物体的视觉效果而在二维的纸或者

2、画布平面上绘图或者渲染的一种方法，也称为透视图1。它具有消失感、距离感、相同大小的形体呈现出有规律的变化等一系列的透视特性，能逼真地反映形体的空间形象。透视投影通常用于动画、视觉仿真以及其它许多具有真实性反映的方面。2 透视投影的原理基本的透视投影模型由视点E和视平面P两部分构成（要求E不在平面P上）。视点可以认为是观察者的位置，也是观察三维世界的角度。视平面就是渲染三维对象透视图的二维平面。如图1所示。对于世界中的任一点X，构造一条起点为E并经过X点的射线R ，R 与平面P的交点Xp 即是X点的透视投影结果。三维世界的物体可以看作是由点集合 Xi 构成的，这样依次构造起点为E，并经过点Xi的

3、射线Ri，这些射线与视平面P的交点集合便是三维世界在当前视点的透视图，如图2所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 图1透视投影的基本模型2图2透视图成像原理6基本透视投影模型对视点E的位置和视平面P的大小都没有限制，只要视点不在视平面上即可。P无限大只适用于理论分析，实际情况总是限定 P为一定大小的矩形平面，透视结果位于P之外的透视结果将被裁减。可以想象视平面为透明的玻璃窗，视点为玻璃窗前的观察者，观察者透过玻

4、璃窗看到的外部世界，便等同于外部世界在玻璃窗上的透视投影（总感觉不是很恰当，但想不出更好的比喻了）。当限定P的大小后，视点E的可视区间（或叫视景体）退化为一棱椎体，如图3所示。该棱椎体仍然是一个无限区域，其中视点 E为棱椎体的顶点，视平面P为棱椎体的横截面。实际应用中，往往取位于两个横截面中间的棱台为可视区域（如图4所示），完全位于棱台之外的物体将被剔除，位于棱台边界的物体将被裁减。该棱台也被称为视椎体，它是计算机图形学中经常用到的一个投影模型。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

5、 - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 图3有限视平面的可视区间3图4透视投影的视椎体模型33 透视投影的标准模型设视点E位于原点，视平面P垂直于Z轴，且四边分别平行于x轴和y轴，如图5所示，我们将该模型称为透视投影的标准模型，其中视椎体的近截面离视点的距离为n，远截面离视点的距离为f ，且一般取近截面为视平面。下面推导透视投影标准模型的变换方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 图5

6、透视投影的标准模型4设位于视椎体内的任意一点X (x, y, z) 在视平面的透视投影为Xp (xp, yp, zp)，从点X和Xp 做z轴的垂线，并分别在X-Z平面和Y-Z平面投影，图6是在X-Z平面上的投影结果。图6透视投影的相似三角形6根据三角形相似原理， 可得 ：xp/n = x/z, yp/n = y/z名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 解上式得：xp = x*n/z, yp = y*n/z, zp =

7、 n.上式便是透视投影的变换公式，非常简单，不是吗？需要说明的是，由于透视点始终位于视平面，所以zp恒等于n，实际计算的时候可以不考虑zp。另外还可以从照相机模型来考虑透视投影。将视点 E想象为一个虚拟的照相机，视平面想象为胶片，那么图5也是一个标准的照相机模型。PS ：上述讨论都是基于矩形视平面来考虑的，其实我们可以取视平面为任意形状，比如圆形，此时视景体变为一个圆锥体，当然现在好像还没有圆形的显示装置。另外，我还曾考虑将视平面取为凹面或凸面，此时的投影结果应该是哈哈镜效果吧（纯属想象，没有验证）。还可以想象将视平面放在 E的另外一面，这时的投影图像是倒置的，但是不是更接近人的视觉成像模型？

8、另外还可以考虑有两个甚至更多视点的透视投影，总之充分发挥你的相像，或许能得到意想不到的结果。4 透视投影的一般模型令世界坐标系的x轴指向屏幕的右方，y轴指向屏幕的上方，z轴指向屏幕外（右手坐标系）。我们在讨论标准模型的时候，曾假设 E的坐标为原点，其实视点E除了有位置属性外，还有姿态属性，通常用 L U D表示（D3D 中用的是R U D表示），其中L表示视点的左向（Left ），U 表示上方（Up ），D 表示朝向（Direction ）。在标准模型中，有L=-1,0,0T , U=0,1,0T , D=0,0,-1T。透视投影的一般模型研究视点E在任意位置，任意姿态下透视图的生成算法。思路

9、很简单，先将一般模型变换为标准模型，然后使用标准模型的透视投影公式便能计算透视结果。下面研究一般模型变换为标准模型的数学公式。设一般模型中的点X，其对应在标准模型中的点为Y，那么当视点位于E，姿态为R 时，X和Y有如下关系：X = E+RY反过来有：Y = R-1 (X-E)通常取R 为正交阵，即R-1 =RT，故有Y = RT (X-E)把上式改写成齐次矩阵（Homogeneous matrix ）的形式有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 -

10、- - - - - - - - 式中Hview便是透视投影从一般模型到标准模型的变换矩阵。5 转换为屏幕坐标对于透视投影的标准模型，视平面的坐标模型如图 7 所示，它的坐标原点位于视平面的中心， x 轴正向水平向右， y 轴正向垂直向上。要把透视投影的结果在计算机屏幕上显示的话，需要对透视图进行坐标变换，将其从视平面坐标系转换到屏幕坐标系。图7视平面坐标模型计算机屏幕的坐标模型如图 8 所示，它的原点位于屏幕的坐上角， y 轴正向垂直向下。设视平面的宽度为 Wp ，高度为 Hp ；屏幕的宽度为 Ws ，高度为 Hs 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

11、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 图8 屏幕坐标模型5令视平面坐标系中的点（ xp, yp ）对应于屏幕坐标系中的点（ xs, ys ），它们的变换关系如下：xs = a*xp + b; ys = c*yp + d由图 7 和图 8 可知，视平面中的（ 0, 0 ）点对应于屏幕坐标系中的中心点（ 0.5*Ws-0.5, 0.5*Hs-0.5 ）（ PS ：由于屏幕坐标系是离散坐标系，所有屏幕右下点的坐标为（ Ws-1, Hs-1 ），而不是（ Ws, Hs ）；另外，视平面的（ -0.5

12、*Wp, -0.5*Hp ）对应于屏幕的（ 0, 0 ）点。将上述两种取值代入变换方程可以得出：上式便为视平面坐标系到屏幕坐标系的变换方程。6 透视投影的实现名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 6.1 载入3D 模型使用MattFairfax 实现的Model_3DS 类支持3DS 模型文件的载入，该类的实现非常简单，而且很容易使用，具体可参考7 。由于本文的DEMO只需要其中的模型载入功能，所以对源代码进行了删减

13、，去掉了纹理加载（暂不需要）和渲染（我们自己实现）代码，在析构函数中添加了资源释放代码。6.2 视图变换为表示透视投影的一般模型，实现了KCamera 类，除保存视点的位置和姿态，还保存视图变换矩阵m_kmView，随着视点位置和姿态的变化，视图矩阵也不断更新，更新算法详见第4节。对于世界坐标系中的任何一点v(x, y, z)，通过v = m_kmView*v 将其变换到透视投影的标准模型坐标系，详见 KCamera:Transform函数。6.3 透视变换KFrustum 类用来对透视投影的标准模型进行建模，其成员包括视平面的尺寸大小，以及近截面和远截面的z轴坐标。KFrustum 通过Pr

14、oject 函数将视图变换的结果变换为透视坐标。算法的原理见第 3节，代码实现如下： void KFrustum:Project(KVector3& v) / xp = x*n/z, yp = y*n/z, zp = n. float fFactor = GetNear()/v.z; v.x *= fFactor; v.y *= fFactor; v.z = GetNear();名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - -

15、6.4 屏幕变换屏幕变换的算法通过宏实现，代码如下：#define ToScreen(v, Ws, Hs) / float x = (v.x/GetWidth()+0.5f)*(Ws-1);/ float y = (v.y/GetHeight()+0.5f)*(Hs-1);/ v.x = KMath:Round(x);/ v.y = KMath:Round(y);/ 6.5 渲染Demo 中的渲染使用软件实现，没有使用任何第三方图形库，主代码在 KCamera:Render 函数中，它接收两次参数：Model_3DS 和KSurface，对Model_3DS 中的顶点进行透视投影，然后将结果绘

16、制到Ksurface中。函数代码如下：bool KCamera:Render(Model_3DS& m3DS, KSurface& kSurface) kSurface.Fill(RGB(0,0,0); / 背景为黑色 COLORREF crPen = RGB(255,0,0); / 用红色绘制模型 KMatrix4 m = m_kmView; int Ws = kSurface.GetWidth(); int Hs = kSurface.GetHeight(); for(int i=0; im3DS.numObjects; i+) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

17、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - Model_3DS:Object& obj = m3DS.Objectsi; for(int n=0; nobj.numFaces; n+=3) int index = obj.Facesn*3; KVector4 v0(obj.Vertexesindex, obj.Vertexesindex+1, obj.Vertexesindex+2); index = obj.Facesn+1*3; KVector4 v1(obj.Vertexes

18、index, obj.Vertexesindex+1, obj.Vertexesindex+2); index = obj.Facesn+2*3; KVector4 v2(obj.Vertexesindex, obj.Vertexesindex+1, obj.Vertexesindex+2); Transform(v0, Ws, Hs); Transform(v1, Ws, Hs); Transform(v2, Ws, Hs); / 绘制网线 kSurface.MoveTo(v0.x, v0.y); kSurface.LineTo(v1.x, v1.y, crPen); kSurface.Li

19、neTo(v2.x, v2.y, crPen); kSurface.LineTo(v0.x, v0.y, crPen); 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - return true;6.6 Demo 和效果图Demo 程序使用VC6 实现，工程源代码可以在我的下载空间下载。工程代码中包含一个国际象棋的3ds模型文件chess.3ds，该模型在Demo 的渲染结果如图9所示。图9Demo 程序渲染结果7 小结本文详

20、细介绍了透视投影的基本理论，并通过程序对透视投影的相关算法进行了验证。但本文涉及的仅是透视投影的最基础方面，为了使文章简洁，还有很多知识没有讨论，包括视景体的规范化，视口（ Viewport ），以及更深入的深度信息、光栅化以及插值矫正等，代码实现中也没有考虑剔出和裁减，以后有机会将继续介绍相关内容。8 参考文献1 http:/zh.wikipedia.org/2 Donald Hearn, M. Pauline Baker, Computer Graphics C Version(2nd Edition), Prentice Hall, 19963 Eric Lengyel, Mathema

21、tics for 3D Game Programming and Computer Graphics(2nd Edition), Charles River Media, Inc., 20044 David H. Eberly, 3D Game Engine Design: A Practical Approach To Real-Time Computer Graphics, Morgan Kaufmann, 2000名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 1

22、2 页 - - - - - - - - - 5 Andr LaMothe, Tricks of the 3D Game Programming Gurus: Advanced 3D Graphics and Rasterization, Sams, 20036 View Transformation . CSC 830 Note 3. Course note credit to Prof. Seth Teller, MIT.7 http:/ - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -