2022年偏微分方程数值解 .pdf

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1、精品资料欢迎下载偏微分方程数值解试题1、考虑一维的抛物型方程：2200,0, 0tT( , ),( , )( ,0)( )xxuuxtxu x tuu x tuu xx（1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式；（2）讨论（ 1）中导出的格式的稳定性；（3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式，112nnnttuuutt空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？2、考虑 Poission 方程2( , )1, ( , )0, in AB and AD( ,)0, in BC and CDu x yx yunu x y其中 是图 1 中的梯形。使用差分

2、方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，图 2 从物理空间到计算区域的几何变换图 1 梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载为了求解本问题，采用如下方法： 将 的一半投影到正方形区域?，然后在?上使用差分方 法 来 离 散 该 方 程 。 在 计 算 区 域?上 用NN个 网 格 点 ， 空 间 步 长 为1 / (1 )N。（1）引入一个映射T将原区域（带有坐标,x y）变换到单位正方形?（带有坐标,） 。同时导出在新区域上的方程和边界条件。（2）在变换区域，使用泰勒展开导出

3、各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。3、对线性对流方程0 constant 0uuaatx，其一阶迎风有限体积法离散格式为1?nju=?njua tx（?nju1?nju）（1）写出0a时的一阶迎风有限体积法的离散格式；（2）写出a为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。（3）使用0 uuutx说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。4、对一维Poission 方程,(0,1)(0)(1)0 xxxuxexuu将01 ，分成(1)n等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问：（1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？（2）该差分格式稳定吗？为什么？（3）该差分格式是否收敛到

4、原微分方程的解？为什么？（4）取(1)6n，写出该差分格式的矩阵表示。5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题225,(0,1)(0)(1)0 xxuxxxuu（sin(5)+9sin(15)）给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h：7n，粗网格2h：3n为例）。6、对一阶波动方程01( ,0)sin(),(0,1)2(0, )(1, )uutxu xxxutut（1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎下载（2）使

5、用线方法，分析上述格式的稳定性。7、考虑散热片的设计问题。二维散热片如图3 所示，是由一个中心柱和4 个水平的子片构成；散热片从底部root的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。散热片可由一个 5 维参数向量来表示，125(,)，其中,1,4iiki， 和5Bi；可取给定设计集5D中的任意值。ik是第i个子片热传导系数（01k是中柱的热传导系数） ；Bi 是 Biot 数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的Bi 意味好的热传导） 。比如，假定我们选择散热片具有如下参数12340.4,0.6,0.8,1.2,0.1kkkkBi，此时(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)。

6、中心柱的宽度是1，高度是4；子片的厚度0.25t，长度2.5L。我们将输出温度rootT看作是125(,)的函数，其中输出温度rootT是散热片底部定常态温度的均值，输出温度rootT越低，散热效果越好。在散热片内定常态温度分布( )u，由椭圆型方程控制其中iu是u在i的限制，i是热传导系数为,0,4ik i的散热片的区域：0是中心柱，,1,4ii对应 4 个子片。整个散热片区域记为，的边界记为。为确保在传导系数间断界面0int,1,4iii上温度和热通量的连续性，我们有这里?in是i的外法线。在散热片的底部引入Neumann 边界条件来刻画热源；一个Robin 边界条件来刻画对流热损失，其中

7、iext是i暴露在流体流动中的边界部分，40iextrooti。在 底 部 的 平 均 温 度0()( ()r oo tTlu， 其 中0( )rootlvv。 在 这 个 问 题 中 ， 我们 取0( )( )l vlv。（1）证明1( )()uXH满足弱形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精品资料欢迎下载其中（2）证明()uX是()J w在X中取得极小值的变量（3）考虑线性有限元空间找( )hhuX，使得此时运用通常的节点基，我们得矩阵方程其中n 是有限元空间的维数。请推导出单元矩阵3 3khA，单元荷载向量3

8、khF，单元输出向量3khL；并且描述从单元量获得总矩阵,hhhAFL的程序。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精品资料欢迎下载8、考虑 Poisson方程2( , )1, ( , )( ,)0u x yx yu x y其中 是单位正方形，定义空间和泛函110()()0XHvHv( , )( )a u vuvdAl vvdA若2()uC，且u是上述 Poisson 方程的解，（1）证明u为()J w在空间X上的极小值点，其中1( )(, )( )2J wa w wl w（2）证明u满足弱形式( , )( ),a u

9、vl vvX（3）作图示均匀三角形剖分，步长13h，写出下列节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向量。(a)节点编号顺序为1 12 11 22 2( , ), (, ), ( ,), (,) 3 33 33 33 3(b) 节点编号顺序为1 22 11 12 2(,), (, ), (, ), (, ) 3 33 33 33 3(4)假定基函数和节点有同样的编号，写出节点为2 2(,) 3 3的节点基函数。9、考虑一维的poisson 方程2(3),(0,1)(0)(1)0 xxxuxxexuu将(0,1)区间分成1n等份，用中心差分离散二阶导数，完成下列各题：精选学习资料 - - - - - -

10、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精品资料欢迎下载（1）写出该问题的矩阵形式的离散格式：?Auf；（2）记11,iji j nA，证明非负性0 ,1,ijfori jn有界性110,18Nijjforin10、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划0utx其中( , )x t是汽车密度 （每公里汽车的辆数） ，( , )uu x t是速度。假定速度u是密度的函数：maxmax1uu其中maxu是最大速度，max0。maxmax()1fuu用如下的 Roe 格式11122nnnniiiitFFx其中11112211()()()22niiiiiiFffa

11、11maxmax2(1)iiiau求解下列绿灯亮了问题：此时初始条件为,0(0)0,0Lxx一些参数如下：maxmaxmax40.81,0.8,1,400Lxuxtu。（1）给出2t时问题的解；（2）Roe 格式满足熵条件吗？为什么？11、考虑 1D 常微分方程两点边值问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载1,(0)(1)0 xxuuxuu其中(0,1)，定义空间和泛函110()()0XHvHv( , )( )a u vuvdAuvdAl vvdA若2()uC，且u是上述 1D 常微分方程两点边值问题的解，（1）证明u为()J w在空间X上的极小值点，其中1()(,)()2J wa w wl w（2）证明u满足弱形式( , )( ),a u vl vvX（3）将(0,1)均匀剖分成1n等份（比如9n） ，,0,1,1ixih in，记第k个三角单元1(,),1,1khkkTxxkn，写出节点编号为3 所对应的节点基函数及第3个单元所对应的刚度矩阵和荷载向量。（4）写出9n时，该问题有限元离散所对应的线性方程组。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页