2022年全初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结 .pdf

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1、整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a 与任意正整数m，有(m、n 都是正整数 )。即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。在应用法则运算时，要注意以下几点: 法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； 指数是 1 时，不要误以为没有指数； 不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； 当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中 m、n、p 均为正整数）； 公式还可以逆

2、用：（m、n 均为正整数）。2幂的乘方一般地，对任意底数a 与任意正整数m、 n，有(m、n 都是正整数 )。即幂的乘方，底数不变， 指数相乘。 该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。另有：（m、n 都是正整数）。当底数有负号时,运算时要注意 ,底数是 a 与(-a)时不是同底， 但可以利用乘方法则化成同底，如将 (-a)3化成 -a3。底数有时形式不同，但可以化成相同。要注意区别 (ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=an+bn（a、b 均不为零）。3.积的乘方法则一般地，对于任意底数a、b 与任意正整数n，有（n 为正整数）。即积的乘方，等于把积每一

3、个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。4.整式的乘法1）单项式乘法法则:单项式相乘 ,把它们的系数、 相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - -

4、- - 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。2）单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式。单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 在混合运算时，要注意运算顺序。3）多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项

5、式相乘时要注意以下几点： 多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 多项式相乘的结果应注意合并同类项； 对含有同一个字母的一次项系数是1 的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1 的两个一次二项式（mx+a）和（ nx+b）相乘可以得。第二节：乘法公式1.平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即。其结构特征是： 公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； 公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差

6、。2.完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2 倍，即。口决：首平方，尾平方，2 倍乘积在中央。结构特征： 公式左边是二项式的完全平方； 公式右边共有三项， 是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2 倍。在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现这样的错误。添括号法则：添括号是，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。即添正不变号，添负各项变号。去括号法则同样。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7、 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第三节：整式的除法1. 同底数幂的除法法则：一般地， 有(a 0， m、n 都是正整数， 且 mn)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减。在应用时需要注意以下几点:法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0 不能做除数，所以法则中a 0。任何不等于0 的数的 0 次幂等于 1， 即,如 100=1， (-2.5)0=1， 则 00无意义。任何不等于0 的数的 -p 次幂 (p 是正整数 )，等于这个数的p 的次幂的倒数，即( a 0，p 是正整数 ), 而 0-1，0-3都是无意义的；当a0

8、 时， a-p的值一定是正的；当 a0 时， a-p的值可能是正也可能是负的，如，；运算要注意运算顺序。2.整式的除法1）单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；2）多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。特点：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。第四节：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整

9、式乘法的区别和联系：（ 1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（ 2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。分解因式的一般方法：1. 提公共因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如：。概念内涵：（1）因式分解的最后结果应当是“积”；（2）公因式可能是单项式,也可能是多项式；（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3

10、页，共 5 页 - - - - - - - - - 易错点点评：（1）注意项的符号与幂指数是否搞错；（2）公因式是否提“干净”；（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉。2. 运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。主要公式：（1）平方差公式：（2）完全平方公式：易错点点评：因式分解要分解到底。如就没有分解到底。运用公式法：（1）平方差公式：应是二项式或视作二项式的多项式；二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方；二项是异号。（2）完全平方公式：应是三项式；其中两项同号,且各为一整式的平方；还有

11、一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2 倍。因式分解的思路与解题步骤：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的。（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。第五节：补充1.分组分解法 :利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。如：概念内涵：分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可继续分解，分组后是否可利用公式法继续分解因式。注意：分组时要注意符号的变化。2.十字相乘法

12、:对于二次三项式，将 a 和 c分别分解成两个因数的乘积，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - , ，且满足，往往写成的形式， 将二次三项式进行分解。如：二次三项式的分解：规律内涵：把分解因式时，如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p。易错点点评：（1）十字相乘法在对系数分解时易出错；（2）分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -