2022年初中几何辅助线大全最全说课讲解 .pdf

《2022年初中几何辅助线大全最全说课讲解 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初中几何辅助线大全最全说课讲解 .pdf（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1 ：已知 AC BD ，ADAC于 A ，BC BD于 B，求证： AD BC 分析：欲证 AD BC，先证分别含有AD，BC 的三角形全等 ，有几种方案 ： ADC 与 BCD ， AOD 与BOC ， ABD 与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E点，AD AC BC BD （已知） CAE DBE 90 （垂直的定义）在 DBE与 CAE中)()(

2、)(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE DBE CAE （AAS ）ED EC EBEA （全等三角形对应边相等）ED EA ECEB 即： AD BC 。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1 ：在 RtABC中， AB AC ，BAC 90， 1 2，CE BD的延长于E 。求证： BD 2CE 分析：要证BD 2CE，想到要构造线段2CE，同时 CE19图DCBAEF12ABCDE17图O名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

3、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流与ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA ，CE交于点 F。BE CF （已知） BEF BEC 90 （垂直的定义）在 BEF与BEC中，)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE BEF BEC （ASA ）CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） BAC=90 BE CF （已知） BAC CAF 901 BDA 90 1 BF

4、C 90 BDA BFC 在 ABD与 ACF中)()()(已知已证已证ACABBFCBDACAFBAC ABD ACF （AAS ） BD CF （全等三角形对应边相等）BD 2CE 四、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1 ：AB DC ， A D 求证： ABC DCB 。分析：由 ABDC，AD，想到如取AD 的中点 N，连接 NB ，NC，再由 SAS 公理有ABN DCN ，故 BN CN ， ABN DCN 。下面只需证 NBC NCB ，再取 BC 的中点M ，连接 MN ，则由 SSS公理有NBM NCM ，所以 NBC NCB 。问题得证。证明：取 AD，BC的中点

5、 N、M ，连接 NB ，NM ，NC 。则 AN=DN ，BM=CM ，在 ABN和 DCN中)()()(已知已知辅助线的作法DCABDADNAN111图DCBAMN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 ABN DCN （SAS ） ABN DCN NB NC （全等三角形对应边、角相等）在NBM 与NCM 中)()()(公共边辅助线的作法已证NMNMCM

6、BMNCNB NMB NCM ，(SSS) NBC NCB （全等三角形对应角相等）NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB。巧求三角形中线段的比值例 1. 如图 1，在 ABC中，BD ：DC 1：3，AE：ED2：3，求AF ： FC。解：过点 D作 DG/AC ，交 BF于点 G 所以 DG ：FC BD ：BC 因为 BD ：DC 1：3 所以 BD ：BC 1：4 即 DG ：FC 1：4，FC 4DG 因为 DG ：AF DE ：AE 又因为 AE ：ED 2：3 所以 DG ：AF 3：2 即所以 AF ：FC ：4DG 1：6 例 2. 如图 2，BC CD ，AFF

7、C ，求 EF：FD 解：过点 C作 CG/DE交 AB于点 G ，则有 EF ：GC AF：AC 因为 AFFC 所以 AF：AC 1：2 即 EF ：GC 1：2，因为 CG ：DE BC ：BD 又因为 BC CD 所以 BC ：BD 1：2 CG：DE 1：2 即 DE 2GC 因为 FD ED EF所以 EF ：FD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习

8、与交流小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处， 且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例 3. 如图 3，BD ：DC 1：3，AE ：EB 2：3，求 AF：FD。解：过点 B作 BG/AD，交 CE延长线于点 G 。所以 DF ：BG CD ：CB 因为 BD ：DC 1：3 所以 CD ：CB 3：4 即 DF ：BG 3：4，因为 AF：BG AE ：EB 又因为 AE ：EB 2：3 所以 AF：BG 2：3 即所以 AF：DF 例 4. 如图 4，BD ：DC 1：3，AFFD，求 EF ：FC。解：过点 D作 D

9、G/CE ，交 AB于点 G 所以 EF：DG AF：AD 因为 AFFD 所以 AF ：AD 1：2 图 4 即 EF ：DG 1：2 因为 DG ：CE BD ：BC ，又因为 BD ：CD 1：3，所以 BD ：BC 1：4 即 DG ：CE 1：4，CE 4DG 因为 FC CE EF所以 EF：FC 1：7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流练习

10、：1. 如图 5，BDDC ，AE ：ED 1：5，求 AF：FB。2. 如图 6，AD：DB 1：3，AE ：EC 3：1，求 BF：FC。答案： 1、1：10； 2. 9：1 二 由角平分线想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下， 出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；

11、 其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等例1如图 1-2，AB/CD，BE平分 BCD ，CE平分 BCD ，点 E在 AD上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。 但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长图1-2ADBCEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

12、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流后的线段与某条线段相等， 截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。例2已知：如图 1-3，AB=2AC ，BAD= CAD ，DA=DB ，求证 DC AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例3已知：如图 1-4，在 ABC 中， C=2 B,AD平分 BAC ，求证： AB-AC=CD 分析：此题

13、的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的和差倍分问题。 用到的是截取法来证明的， 在长的线段上截取短的线段， 来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图 2-1，已知 ABAD, BAC= FAC,CD=BC。求证： ADC+ B=180 分析：可由 C 向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B之和为平角。例2 如图 2-2，在 ABC中， A=90 ，AB=AC ，ABD= CBD 。求证： BC=AB+AD 图1-3ABCDE图1-

14、4ABCDE图 2-1ABCDEF图2-2ABCDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流分析：过 D作 DE BC于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图 2-3，ABC的角平分线 BM 、CN相交于点 P。求证： BAC的平分线也经过点P。分析：连接 AP ，证 A

15、P平分 BAC即可，也就是证 P到 AB 、AC的距离相等。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交， 则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1 已知：如图 3-1，BAD= DAC ，ABAC,CD AD于 D，H是 BC中点。求证： DH=21（AB-AC ）分析：延长 CD交 AB于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例2 已知：如图 3-2，AB=AC ，BAC=90 ，AD为AB

16、C的平分线， CE BE.求证： BD=2CE 。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3已知：如图 3-3 在ABC中，AD 、AE分别 BAC的内、外角平分线，过顶点 B作 BFAD ，交 AD的延长线于 F，连结 FC并延长交 AE于 M 。求证： AM=ME。图2-3PABCMNDF图示 3-1ABCDHE图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共

17、 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流分析：由 AD 、AE是BAC内外角平分线，可得EA AF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图 3-4，在ABC中，AD平分 BAC ，AD=AB ，CM AD交 AD延长线于 M 。求证： AM=21（AB+AC ）分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以 AD为轴作对称变换，作 ABD关于 AD的对称 AED ，然后只需证DM=21EC ，另外由求证的结果AM=21（AB+AC ） ，即 2AM=AB+AC，也可尝试作 ACM 关于 CM 的对称 FC

18、M ，然后只需证 DF=CF即可。三 由线段和差想到的辅助线线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式， 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。例 1如

19、图， AC平分 BAD ，CE AB ，且 B+D=180 ，求证： AE=AD+BE。例 3 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC ，A=108 ，BD平分ABC 。D A E C B 图3-4nEBADCMF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流求证： BC=AB+DC。例 4 如图，已知 RtABC中， ACB=90 ，AD是CAB的平分线， DM

20、 AB于 M ，且 AM=MB。求证： CD=21DB 。1如图， AB CD ，AE 、DE分别平分 BAD各ADE ，求证： AD=AB+CD。2. 如图， ABC中， BAC=90 ，AB=AC ，AE 是过 A 的一条直线，且B，C在 AE的异侧，BD AE于 D，CE AE于 E。求证： BD=DE+CE D C B A M B D C A E D C B A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅

21、供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流四 由中点想到的辅助线三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。（一）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=CD ，E、F分别是 BC 、AD的中点， BA 、CD的延长线分别交 EF的延长线 G 、H 。求证： BGE= CHE 。证明：连结 BD ，并取 BD的中点为 M ，连结 ME 、MF ，ME是 BCD 的中位线，MECD ， MEF= CHE ，MF是 ABD 的中位线，MFAB ， MFE= BGE ，AB=CD ，ME=MF， MEF= MFE ，从而 BGE= C

22、HE 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（二）、由中线应想到延长中线例 3图 4，已知 ABC中，AB=5 ，AC=3 ，连 BC上的中线 AD=2 ，求 BC的长。解：延长 AD到 E，使 DE=AD ，则 AE=2AD=2 2=4。在 ACD 和 EBD中，AD=ED ，ADC= EDB ，CD=BD ，ACD EBD ， AC=BE ，从而 BE

23、=AC=3 。在 ABE中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90 ，BD=，故 BC=2BD=2。例 4如图 5，已知 ABC中，AD是BAC的平分线， AD又是 BC边上的中线。求证： ABC是等腰三角形。证明：延长 AD到 E，使 DE=AD 。仿例 3 可证：BED CAD ，故 EB=AC ，E=2，又1=2，1=E，AB=EB ，从而 AB=AC ，即 ABC是等腰三角形。（三）、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，AC BC ，AD BD ，求证：AC=BD 。证明：取 AB的中点 E，连结 DE 、CE ，则 DE 、C

24、E分别为 RtABD ，RtABC斜边 AB上的中线，故 DE=CE= AB ，因此 CDE= DCE 。AB/DC，CDE= 1，DCE= 2，1=2，在 ADE和 BCE中，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流DE=CE ，1=2，AE=BE ，ADE BCE ， AD=BC ，从而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此AC=BD 。（四）、角平分线且垂直一

25、线段，应想到等腰三角形的中线例 6如图 7，ABC是等腰直角三角形， BAC=90 ， BD平分 ABC交 AC于点 D，CE垂直于 BD ，交 BD的延长线于点 E。求证： BD=2CE 。证明：延长 BA ，CE交于点 F，在 BEF和 BEC中，1=2，BE=BE ，BEF= BEC=90 ，BEF BEC ， EF=EC ，从而 CF=2CE 。又1+F=3+F=90，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC ，BAD= CAF=90，ABD ACF ， BD=CF ，BD=2CE 。注：此例中 BE是等腰 BCF的底边 CF的中线。（五）中线延长口诀：三角形中有中线，

26、延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段 ，再将端点连结， 便可得到全等三角形。1 如图， AB=CD ，E为 BC的中点， BAC= BCA ，求证： AD=2AE 。3 如图，AB=AC ，AD=AE ，M为 BE中点，BAC= DAE=90 。求证：AM DC 。D M CED AD BB E C D A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除

27、只供学习与交流DCBAEDFCBA5已知：如图 AD为ABC 的中线， AE=EF ，求证： BF=AC 五 全等三角形辅助线（一）、倍长中线（线段）造全等1： （ “希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3 ，则中线 AD的取值范围是 _. 2：如图， ABC 中，E、F 分别在 AB 、AC上，DE DF ，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小. 3：如图， ABC 中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证： AD平分 BAE. EDCBA中考应用A B D C E F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

28、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流EDCBA例题：以ABC的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰RtABD和等腰 RtACE，90 ,BADCAE连接 DE ，M 、N 分别是 BC 、DE的中点探究： AM与 DE的位置关系及数量关系（1） 如图 当ABC为直角三角形时， AM与 DE的位置关系是，线段 AM与 DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕点 A 沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明

29、理由（二）、截长补短1. 如图，ABC中，AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 2：如图，AC BD ，EA,EB分别平分 CAB,DBA ，CD过点 E，求证;ABAC+BD CDBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流DCBAPQCBAOEDCBA3：如图，已知在ABCV内，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC

30、，CA上，并且 AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形 ABCD 中，BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA5 （三）、借助角平分线造全等1：如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流FED

31、CBA2： （06 郑州市中考题）如图， ABC中，AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF 的理由； （2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长. 3. 如图， OP是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC 中，ACB是直角， B=60，AD 、CE分别是 BAC 、BCA 的平分线，AD 、CE相交于点 F。请你判断并写出 FE与 FD之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)

32、 中的其它条件不变，请问，你在 (1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（四）、旋转1：正方形 ABCD中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 2： D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页

33、，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流NMEFACBA（1）当MDN绕点 D转动时，求证 DE=DF 。（2）若 AB=2 ，求四边形 DECF 的面积。3. 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；BCDNMA4已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到

34、AECF时（如图 1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流5. 已知:PA=2,PB

35、=4,以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线 AB的两侧 . (1) 如图, 当APB=45 时, 求 AB及 PD的长; (2) 当APB变化, 且其它条件不变时 , 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 6. 在等边ABC的两边 AB 、AC所在直线上分别有两点M 、N，D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M 、N分别在直线 AB 、AC上移动时， BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q与等边ABC的周长 L的关系图 1 图 2 图 3 （I ）如图 1，当点 M 、N边 AB 、AC上，且 DM=DN 时，

36、BM 、NC 、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II ）如图 2，点 M 、N边 AB 、AC上，且当 DM DN时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M 、N分别在边 AB 、CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流梯形中的辅助线1、平移

37、一腰：例 1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，A90，AB DC ，AD 15，AB 16，BC 17. 求 CD的长. 解：过点 D作 DE BC交 AB于点 E. 又 AB CD ，所以四边形 BCDE 是平行四边形 . 所以 DE BC 17，CD BE. 在 R t DAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即 AE217215264. 所以 AE 8. 所以 BE AB AE 1688. 即 CD 8. 例 2 如图，梯形 ABCD 的上底 AB=3 ，下底 CD=8 ，腰 AD=4 ，求另一腰 BC的取值范围。解：过点 B作 BM/AD交 CD于点 M ，在BCM 中，BM=

38、AD=4，ABCDABCDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流CM=CDDM=CDAB=8 3=5，所以 BC的取值范围是：54BC5 4，即 1BC9 。2、平移两腰：例 3 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90 ，AD=1 ，BC=3 ，E、F分别是 AD 、BC的中点，连接 EF ，求 EF的长。解：过点 E分别作 AB 、CD的平行线，

39、交 BC于点 G 、H ，可得EGH EHG= BC=90 则EGH 是直角三角形因为 E、F 分别是 AD 、BC的中点，容易证得F 是 GH的中点所以)(2121CHBGBCGHEF1)13(21)(21)(21)(21ADBCDEAEBCDEAEBC3、平移对角线：例 4、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=1 ，BC=4 ，BD=3 ，AC=4 ，求梯形 ABCD的面积解：如图，作 DE AC ，交 BC的延长线于 E点AD BC 四边形 ACED 是平行四边形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 在 DBE 中， BD=3，DE=4 ，BE=5 BDE=9

40、0 作 DH BC于 H，则512BEEDBDDH6251252DHBC)(ADABCD梯形SA B D C E H 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 5 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD/BC，AD=3 ，BC=7 ，BD=25，求证： ACBD 。解：过点 C作 BD的平行线交 AD的延长线于点 E，易得四边形 BCED 是平行四边形，则 DE

41、=BC ，CE=BD=25，所以 AE=AD DE=AD BC=3 7=10。在等腰梯形 ABCD 中，AC=BD=25，所以在 ACE 中，22222100)25()25(AECEAC，从而 AC CE ，于是 AC BD 。例 6 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AC=15cm ，BD=20cm ，高 DH=12cm ，求梯形 ABCD 的面积。解：过点 D作 DE/AC，交 BC的延长线于点 E，则四边形 ACED 是平行四边形，即DCEACDABDSSS。所以DBEABCDSS梯形由勾股定理得2222DHACDHDEEH9121522（cm ）1612202222DHBDBH（

42、cm ）所以)(15012)169(21212cmDHBESDBE，即梯形 ABCD 的面积是150cm2。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例 7 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，B=50， C=80 ，AD=2 ，BC=5 ，求 CD的长。解：延长 BA 、CD交于点 E。在BCE 中，

43、 B=50 ， C=80 。所以 E=50，从而 BC=EC=5 同理可得 AD=ED=2 所以 CD=EC ED=5 2=3 例 8. 如图所示，四边形 ABCD 中，AD不平行于 BC ，AC BD ，AD BC. 判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结论 . 解：四边形 ABCD 是等腰梯形 . 证明：延长 AD 、BC相交于点 E，如图所示 . AC BD ，AD BC ，AB BA ，DAB CBA. DAB CBA. EA EB. 又 AD BC ，DE CE ，EDC ECD. 而EEAB EBA EEDC ECD 180，EDC EAB ，DC AB. 又 AD不平行于 B

44、C ，四边形 ABCD 是等腰梯形 . （三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。ABCDABCDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 9 如图 6，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，AB AD ，BC=CD ，BE CD于点 E，求证： AD=DE 。解：连结 BD ，由 AD/BC，得 ADB= DBE ；由 BC=CD ，得 DBC

45、= BDC 。所以 ADB= BDE 。又BAD= DEB=90 ，BD=BD ，所以 RtBAD RtBED ，得 AD=DE 。（四）、作梯形的高1、作一条高例 10 如图，在直角梯形ABCD 中，AB/DC，ABC=90 ，AB=2DC ，对角线 ACBD ，垂足为 F，过点 F 作 EF/AB，交 AD于点 E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。证：过点 D作 DG AB于点 G ，则易知四边形 DGBC 是矩形，所以 DC=BG 。因为 AB=2DC ，所以 AG=GB。从而 DA=DB ，于是 DAB= DBA 。又 EF/AB，所以四边形 ABFE 是等腰梯形。2、作两条高名师资料

46、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 11、在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD ，ABC=60 ，AD=3cm ，BC=5cm ，求：(1) 腰 AB的长； (2) 梯形 ABCD 的面积解：作 AE BC于 E，DF BC于 F，又 AD BC ，四边形 AEFD 是矩形， EF=AD=3cm AB=DC cmEFBCFCBE1)(21在 RtA

47、BE中， B=60 ，BE=1cm AB=2BE=2cm，cmBEAE332342)(cmAEBCADSABCD梯形（五）、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例 13 如图，在梯形 ABCD 中，AB/DC，O是 BC的中点， AOD=90 ，求证：AB CD=AD 。证：取 AD的中点 E，连接 OE ，则易知 OE是梯形 ABCD 的中位线，从而 OE=21（AB CD ）在AOD 中， AOD=90 ，AE=DE 所以ADOE21由、得 AB CD=AD 。2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。A B C D

48、EF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 14 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分别是 BD 、AC的中点，求证：（1）EF/AD； （2）)(21ADBCEF。证：连接 DF ，并延长交 BC于点 G ，易证 AFD CFG 则 AD=CG，DF=GF 由于 DE=BE ，所以 EF是BDG 的中位线从而 EF/BG，且BGEF21因为

49、 AD/BG，ADBCCGBCBG所以 EF/AD，EF)(21ADBC3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例 15、在梯形 ABCD 中，AD BC ， BAD=900，E 是 DC上的中点，连接AE和 BE ，求 AEB=2 CBE 。解：分别延长 AE与 BC ，并交于 F点BAD=900且 AD BC FBA=1800BAD=900 又AD BC DAE= F(两直线平行内错角相等 ) AED= FEC （对顶角相等）DE=EC （E点是 CD的中点）ADE FCE （AAS ） AE=FE 在ABF中FBA=900且 AE=FE BE=FE （

50、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）在FEB中 EBF= FEB AEB= EBF+ FEB=2 CBE 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 29 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 16、已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB BC ，E是 CD中点，试问：线段 AE和 BE之间有怎样的大小关系？解：AE=BE ，理由如下：延长 AE ，与 BC延长线交于点 FDE=CE ，A