2022年初中八年级等腰直角三角形中的常用模型教学文案 .pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流等腰直角三角形中的常用模型【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45o）边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-1：如图： RtABC 中， BAC

2、=90o，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过B 作 BEAD于点 E，过 C 作 CFAD 于点 F。（1）求证： BE-CF=EF ；（2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2） ） ， （1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式 1：等腰 RtABC 中， AB=CB ， ABC=90o，点 P 在线段 BC 上（不与B、C 重合），以 AP 为腰长作等腰直角PAQ，QEAB 于E，连 CQ 交 AB 于 M。（1）求证： M 为 BE 的中点（2）若 PC=2PB，求MBPC的值(2)(3)(1)DDEECCECABBAAB(2)FEDCBAABCDEF(1

3、)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-2：如图： RtABC 中， BAC=90o，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过B 作 BEAD于点 E，交 AC 于点 G，过 C 作 CFAC 交 AD 的延长线与于点F。（1）求证： BG=AF ；（2）若 D 在 BC

4、的延长线上（如图（2） ） ， （1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式 1： 如图，在 RtABC 中， ACB=45o， BAC=90o， AB=AC ， 点 D 是 AB 的中点，AFCD于 H 交 BC 于 F，BEAC 交 AF 的延长线于E，求证： BC 垂直且平分DE. 变式 2：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，点 D 是 AC 的中点， AFBD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 DF，求证： 1= 2。变式 3：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，点 D、E 是 AC 上两点且AD=CE ，AFBD 于点 G，交 BC 于点 F

5、连接 DF，求证： 1= 2。DEFFED(2)(1)CCABBAGGBACDEF(2)(1)FEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形2-1：连接 AD，求证： ADB45。变式 1：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90

6、，E是 AC 上一点，点 D 为 BE 延长线上一点，且 ADC135求证： BD DC。变式 2：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，BE 平分 ABC 交 AC 于 E，过 C 作 CDBE 于 D，DMAB 交 BA 的延长线于点M，（1）求BCABBM的值；（2）求ABBCAM的值。ABCDEF(2)(1)FEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只

7、供学习与交流模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点（1）两个等腰直角三角形共直角顶点 ，必定含一对全等三角形：3-1：如图 1， ABC、BEF 都是等腰直角三角形，ABC=BEF=90o，连接 AF、CF，M 是 AF 的中点，连ME，将 BEF 绕点 B 旋转。猜想CF 与 EM 的数量关系并证明；（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：如图， ABC 和 EBD 都是等腰直角三角形，BAC=BED=90o。把 DE 平移到 CF，使 E与 C 重合，连接AE、AF，

8、则AEB 与AFC 全等（关键是利用平行证明ABE=ACF）ABCDEABCDEEDCBA(1)(2)(3)EDCBA(3)FEDCBA(2)FF(1)ABCDE图（ 1）MFEBCA(3)ABCDE(2)ABCDEEDCBA(1)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3-2：如图：两个直角三角形ABC、ADE 的顶点 A 重合， P 是线段 BD 的中点，连P

9、C、PE。（1）如图 1，若 BAC=DAE=45，当 A、C、D 在同一直线上时，线段PC、PE 的关系是；（2）如图 2、3，将 BAC 绕 A 旋转度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。【经典模型 】在 BAC中， AB=AC ，且BAC=90 有一点D满足BDC=90 ：（1）当点 D在边 BC下面时，试探究DB 、DA和 DC的大小关系？（2）当点 D在边 BC上面时，试探究DB 、DA和 DC的大小关系？推广：（1）ABC为等边三角形，D为 BC下面一点且 BDC=120 ，此时呢？（2）ABC为等腰三角形，D为 BC下面一点且 BDC=60 ，此时又如何？【猜

10、想】在运算中是否发现DB1，DC1，DA1有某种数量上的对应关系？图1PEDCBAABCDEP图2ABCDEP图3CBADCBADABCDADCB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流A F B D E C 【巩固练习】1如图，在ABCRt中，ACAB, 90BAC,D、E为BC上两点，45DAE，F为ABC外 一 点 ， 且FBBC,AEFA, 则 下 列 结

11、 论 ： BFCE; 222DECEBD; EFADSADE41; 2222AEBECE, 其中正确的是A、B、C、D、2已知： Rt ABC 中， AB=AC ，BAC=90 ，若 O 是 BC 的中点，以O 为顶点作 MON ，交 AB、AC 于点 M、N。（ 1）若 MON=90 （如图 1） ，求证： OM=ON ； BM2+CN2=MN2；（2）若 MON=45 （如图 2） ，求证： AM+MN =CN；3.如图，在平面直角坐标系中，AOB 为等腰直角三角形，A（4，4） 。（1）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角ACD ， ACD=90 ，连OD，求 A

12、OD 的度数；图1NMOCBA图2NMOCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（2）过 A 作 y 轴的垂线交y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以EG为直角边作等腰RtEGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM，等式1OFFMAM是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。4.在ABC 和DCE 中，AB

13、=AC，DC=DE,BAC=EDC=90 ，点 E 在 AB 上，连 AD，DFAC 于点 F。试探索 AE、AF、AC 的数量关系；并求出DAC 的度数。5如图：等腰RtABC 和等腰 RtEDB，AC=BC ，DE=BD ， ACBEDB90 ，E 为AB 是一点， P 为 AE 的中点。连接 PC，PD；则 PC，PD 的位置关系是；数量关系是；并证明你的结论。当 E 在线段 AB 上变化时，其它条件不变，作EFBC 于 F，连接 PF，试判断 PCF的形状；在点E 运动过程中，PCF 是否可为等边三角形？若可以，试求ACB 与EDB 的两直角边之比。FADBCE(2)名师资料总结 -

14、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流6.已知两个共一个顶点的等腰RtABC ，RtCEF， ABC= CEF=90 ，连接AF，M 是AF 的中点，连接MB 、ME （1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图 1，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长；（3）如图 2，当 BCE=45 时，求证： BM=ME 7.如图，在平面直角坐标

15、系中，A (4 ，0)，B (0，4)。点 N 为 OA 上一点， OM BN 于 M ，且 ONB=45 +MON 。（1）求证： BN 平分 OBA ；（2）求BNMNOM的值；（3）若点 P 为第四象限内一动点，且APO=135 ，问 AP 与 BP 是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流8.已知： PA=2，PB=4，以 AB 为直角边作等腰直角三角形ABD ，且 P、D 两点在直线AB的两侧 . (1)如图，当 APB=45 时，求 AB 及 PD 的长 ; (2)当 APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应APB 的大小 . DPBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -