2022年全等三角形经典模型总结 .pdf

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1、1 全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G 作 GE 射线 ACA、例题1、如图，在 ABC中， C=90， AD 平分 CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点 D 到直线 AB的距离是cm.2、如图，已知，1 2， 3 4，求证： AP平分 BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中， BCAB，ADCD，BD 平分 ABC，求证： A C180.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 （二）角平分线垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线 OB于 F 辅

2、助线：过点E作 EF 射线 OB例 1、如图，在ABC中， ABC3 C，AD 是 BAC的平分线， BE AD于 F .求证：1()2BEACAB.例 2、如图，在 ABC中， BAC的角平分线AD 交 BC于点 D，且 ABAD，作 CMAD 交AD 的延长线于M. 求证：1()2AMABAC.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 （三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点 B，使 OBOA，从而使 OAC OBC .A、例题1、如图，在 ABC中， BAC=60， C=40， A

3、P平分 BAC交 BC于 P， BQ平分 ABC交 AC于 Q，求证： AB BP BQAQ .2、如图，在 ABC中， AD 是 BAC的外角平分线，P是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PBPC与 AB AC的大小，并说明理由.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 B、模型巩固1、在 ABC中， ABAC，AD 是 BAC的平分线， P是线段 AD 上任意一点（不与A 重合） .求证： ABACPBPC .2、如图， ABC中， ABAC， A100， B 的平分线交AC于 D，求证： ADBDBC .

4、3、如图， ABC中， BCAC， C90， A 的平分线交BC于 D，求证： ACCD AB .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将 ABD 逆时针旋转90，得 ACM ABD，从而推出 ADM 为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作 MCBC，使 CMBD，连结 AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使 BFAE（或 AFCE ） ，导出 BDF ADE.（2

5、）使 EDF BAC 180，导出 BDF ADE.A、例题1、 如图，在等腰直角ABC中，BAC90，点 M、 N 在斜边 BC上滑动，且 MAN45，试探究BM、MN、CN 之间的数量关系.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页6 2、两个全等的含有30， 60角的直角三角板ADE 和 ABC，按如图所示放置，E、A、 C三点在一条直线上，连接BD，取 BD 的中点 M，连接 ME、MC. 试判断 EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，RtABC中， ABAC， BAC90， O 为 BC中

6、点，若 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持ANCM.（1）试判断 OMN 的形状，并证明你的结论.（2）当 M、N 分别在线段AC、AB 上移动时，四边形AMON 的面积如何变化？2、在正方形ABCD中， BE 3，EF 5，DF4，求 BAE DCF为多少度 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 （三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如

7、图，在等腰直角ABC中， ACBC， ACB90， P为三角形ABC内部一点，满足 PBPC ， APAC，求证： BCP 15 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页8 三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在ABC中， ABAC， BAC90， D 为 AC中点， AFBD 于点 E，交BC于 F，连接 DF .求证： ADB CDF .变式 1、已知：如图所示，在ABC中， ABAC，AMCN，AFBM 于 E，交 BC于 F，连接 NF .求证： （1） AMB CNF； （2）BMAFFN .变

8、式 2、在变式1 的基础上，其他条件不变，只是将BM 和 FN 分别延长交于点P，求证： （1）PMPN； （2）PBPF AF .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页9 四、手拉手模型1、 ABE和 ACF均为等边三角形结论： （1） ABF AEC .（2） BOE BAE 60 .（3）OA 平分 EOF . （四点共圆证 ）拓展： ABC和 CDE均为等边三角形结论： （1）AD BE ；（2） ACB AOB；（3） PCQ为等边三角形；（4）PQ AE；（5）APBQ；（6）CO平分 AOE； （四点共圆

9、证 ）（7）OA OBOC；（8）OEOCOD .（ （7） ， （8）需构造等边三角形证明）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页1 0例、 如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM 、BM 、CM 以 AB为一边向外作等边三角形 ABE ，将 BM绕点 B逆时针旋转60得到 BN ，连接 EN （1）求证： AMB ENB ；（2）若 AM+BM+CM的值最小，则称点M为 ABC的费尔马点若点M为 ABC的费尔马点，试求此时 AMB 、 BMC 、 CMA 的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形

10、费尔马点的简便方法：如图，分别以ABC的 AB 、AC为一边向外作等边ABE和等边 ACF ，连接CE 、BF，设交点为M ，则点M即为 ABC的费尔马点试说明这种作法的依据精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页1 12、 ABD和 ACE均为等腰直角三角形结论： （1）BE CD； （2）BE CD .3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形结论： （1）BD CF ； （2）BD CF .变式 1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，AS BC交 FD于 T，求证： （1）T为 FD 中点； （2）AB

11、CADFSSVV.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页1 2变式 2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为 FD 中点， TA交 BC于 S ，求证： AS BC .4、如图，以 ABC的边 AB、AC为边构造正多边形时，总有：36012180n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页1 3五、半角模型条件：1,+ =1802且，两边相等.思路： 1、旋转辅助线：延长CD到 E，使 ED=BM ，连 AE或延长 CB到 F，使 F

12、B=DN ，连 AF 将 ADN绕点 A顺时针旋转90得 ABF ，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论： （1）MNBMDN；（2）=2CMNCABV；（3）AM、AN 分别平分 BMN、 MND .2、翻折（对称）辅助线：作APMN 交 MN 于点 P将 ADN 、 ABM分别沿 AN 、AM翻折，但一定要证明M 、P、N三点共线 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页1 4A、例题例 1、在正方形ABCD中，若 M、N 分别在边BC、CD上移动，且满足MNBMDN，求证： （1） MAN45；（2）=2CMN

13、CABV；（3）AM、AN 分别平分 BMN 和 DNM .变式： 在正方形 ABCD中，已知 MAN45，若 M、N 分别在边CB、DC的延长线上移动，AHMN，垂足为 H，（1）试探究线段MN、BM、DN 之间的数量关系；（2）求证： ABAH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页1 5例 2、在四边形ABCD中， B D180， ABAD，若 E、F分别为边BC、CD 上的点，且满足 EF BE DF，求证：12EAFBAD.变式：在四边形ABCD中， B90， D90， ABAD，若 E、F分别为边 BC、CD上的点，且12EAFBAD，求证： EF BEDF .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页