2022年六年级奥数讲义第20讲面积计算 .pdf

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1、第二十周面积计算（三）专题简析：对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r 用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。例题 1。如图 201 所示，求图中阴影部分的面积。【思路导航】解法一 ：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图202） ，等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20210 厘米【3.14 1021410（ 102） 】 2107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107 平方厘米。

2、解法二 ：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90 度后，阴影部分的面积就变为从半径为10 厘米的半圆面积中， 减去两直角边为10 厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。（202）212（ 202）212107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107 平方厘米。练习 1 1、如图 204 所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）2、如图 205 所示，用一张斜边为29 厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49 厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝4510 201 454510 20 2 203 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

3、归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页两张三角形纸片面积之和是多少？例题 2。如图 206 所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。【思路导航】解法一 ：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图207 所示。3.146214（ 643.144214） 16.82（平方厘米）解法二 ：把阴影部分看作 （1）和（ 2）两部分如图208 所示。 把大、 小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。3.144214+3.1462144 616.28（平方厘米）答：阴影部分的面积是16.

4、82 平方厘米。练习 2 204 4545456 C B A D 205 49 29 49 29 49 206 6 4 减去a 207 208 （1）（ 2）加减2 A B C 209 A B C D 2010 602011 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页1、如图 209 所示， ABC 是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。2、如图 2010 所示，三角形ABC 是直角三角形， AC 长 4 厘米， BC 长 2 厘米。 以 AC 、BC 为直径画半圆，两个半圆的交点在AB 边上。求图中阴影部分的面

5、积。3、如图 2011 所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6 厘米和 8 厘米，高为5.2 厘米。求图中阴影部分的面积。例题 3。在图 2012 中，正方形的边长是10 厘米，求图中阴影部分的面积。【思路导航】解法一 ：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半 （如图 2013 所示） ，再用正方形的面积减去全部空白部分。空白部分的一半：1010（ 10 2）23.1421.5（平方厘米）阴影部分的面积：101021.5257（平方厘米）解法二 ：把图中 8 个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图 2014 所示） ，而8 个扇形的面积又正好等于两个整圆

6、的面积。（102）23.142101057（平方厘米）答：阴影部分的面积是57 平方厘米。练习 3 求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。例题 4。在正方形 ABCD 中， AC 6 厘米。求阴影部分的面积。【思路导航 】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出， AC 是等腰直角三角形ACD 的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图 2018 所示） ，我们可以求出等腰直2012 2013 2014 2015 10 2016 10 2017 4 3 5 2018 A B C D D C B A 精选学习资料 - - - -

7、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页角三角形ACD 的面积，进而求出正方形ABCD 的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。既是正方形的面积，又是半径的平方为：6（ 62） 2 18（平方厘米）阴影部分的面积为：1818 3.1443.87（平方厘米）答：阴影部分的面积是3.87 平方厘米。练习 4 1、如图 2019、2020 所示，图形中正方形的面积都是50 平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。2、如图 2021 所示，正方形中对角线长10 厘米，过正方形两个相对的

8、顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。例题 5。在图 2022 的扇形中，正方形的面积是30 平方厘米。求阴影部分的面积。【思路导航 】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出， 所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图2023 所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30260 平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。3.14（ 302）143017.1（平方厘米）答：阴影部分的面积是17.1

9、 平方厘米。练习 5 1、如图 2024 所示，平行四边形的面积是100 平方厘米，求阴影部分的面积。2、如图 2025 所示， O 是小圆的圆心，CO 垂直于 AB, 三角形 ABC 的面积是45 平方厘米，求阴影部分的面积。3、如图 2026 所示，半圆的面积是62.8 平方厘米，求阴影部分的面积。2019 2020 2021 20 22 B B A A 2024 O B C D A 2025 C B A O 2026 45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页答案：练 1 1、如图答 201 所示，因三角形BCD

10、中 BC 边上高等于BC 的一半，所以阴影部分的面积是： 623.14453606（ 62）125.13 平方厘米2、如图答202 所示，将红色直角三角形纸片旋转900，红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49 厘米和 29 厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：492912710.5 平方厘米练 2 1、如图答 203 所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得到阴影部分的面积。（22）23.1412222121.14 平方厘米2、思路与第一题相同（42）23.1412+（2 2）23.141242123.85 平方厘米3、如图答 204 所示，用大小两个扇

11、形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影部分的一半，因此阴影部分的面积是：【 （82+62） 3.14603608 5.2】 221715平方厘米练 3 1、如图答 205 所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即：（102）23.14124 101057 平方厘米2、如图答 206 所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面积，即： 1023.1445360+（102）23.141210101228.5 平方厘米3、如图答 207 所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面

12、积，即：（42）23.1412+（3 2）23.1412+4312（ 52）2 3.14126 平方厘米练 4 1、（1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的14，所以阴影部分的面积是（ 504） 3.1439.25 平方厘米（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是5050 3.14141075 平方厘米2、提示：仔细阅读例4，仿照例 4 先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。10（ 102） 3.1414210（ 102） 28.5 平方厘米练 5 1、如图答 208 所示，连结AC 可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所精选学习资料 - - - -

13、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页以，阴影部分的面积是1002 3.14141001414.25 平方厘米2、如图答 209 所示，（1） 因为三角形ABC 的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45 3.141270.65 平方厘米（2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC 面积的 2 倍，所以大圆的面积的14是 4523.141470.65 平方厘米（3）弓形 AB 的面积是 70.6545 25.65 平方厘米（4）阴影部分的面积是70.6525.6545 平方厘米3、如图答2010 所示，（1）半圆半径的平方是62.82+3.1440 平方厘米（2）三角形AOB 的面积是 40220 平方厘米（3）阴影部分所在圆的半径的平方是402 80 平方厘米（4）阴影部分的面积是803.14453602011.4 平方厘米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页