2022年函数与不等式问题的解题技巧 .pdf

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1、学习必备欢迎下载函数与不等式问题的解题技巧一、重点解析1了解映射的概念，理解函数的概念2了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程3了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数4理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质5理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质6能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题7在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法通过不等式解法的

2、复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力8掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式 (组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式9 通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、 分析法、 综合法、 数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法 )证明不等式的有关问题10通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力11能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题12通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的

3、融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力 在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识二、例题解析1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例 1 （20XX 年广东 卷理）已知函数1( )1f xx的定义域为M，g(x)=ln(1)x的定义域为N，则 M N= （A）|1x x（B）|1 x x（C）| 11xx（D）命题意图 : 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法. 解 ： 函 数1( )1f xx的 定 义 域M=1 ,

4、x xg(x)=ln(1)x的 定 义 域N=1 ,x x MN=|11 xx故选 C 例 2. ( 20XX 年湖南卷）函数2log2yx的定义域是 ( ) （A）(3,+) （B）3, + ) （C）(4, +) （D） 4, +) 命题意图 : 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载解：由204.log20 xxx，故选 D. 2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解 . 例 3

5、（20XX 年安徽卷）函数22 ,0,0 x xyxx的反函数是（）（A）,02,0 xxyx x（B）2 ,0,0 x xyx x（C）,02,0 xxyx x（D）2 ,0,0 x xyx x命题意图 : 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法. 121:2 ,.( ),(0);22,0,( ),0 .,02,0.yxyxxfxxyxyfxxxxxyx x解又故选 C. 例 4（20XX 年湖北 卷理） 已知函数2yxa的反函数是3ybx，则a；b命题意图 : 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识. 解：11112,.2222yxaxyayxaxa与3ybx比较得a6，1.2b故填1

6、62；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、 新高考的重点 .此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域. 例 5（20XX 年北京 卷文）对于函数( )2f xx，2( )(2)f xx，( )cos(2)f xx，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x是偶函数；命题乙：( )f x在()，上是减函数，在(2)，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）命题意图 : 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解：22( )(2) ,(2)f xxf xx是偶函数，又函数2( )(2)fxx开口

7、向上且在()，上是减函数，在(2)，上是增函数故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2( )(2)f xx故选例 6 （20XX 年安徽卷）函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载命题意图 : 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由12fxfx,得14( )2fxf xfx，所以(5)(1)5ff，则115( 5)( 1)( 12)5fffff. 4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之

8、一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法， 正确认识单调函数与奇偶函数的图象 . 例 7 （20XX 年全国卷）已知函数1,1xfxaz， 若fx为奇函数， 则a_. 命题意图 : 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由f(x) 为奇函数 ,所以 f(x)+f(-x)=0, 即,0121121xxaa.2112212112112121xxxxa应填21. 巧妙解法：因为f(x)为奇函数 ,所以 f(0)=0, 即.21, 01210aa应填21. 点评：巧妙解法巧在利用了f(x) 为奇函数 ,所以 f(0)=0, 这

9、一重要结论 . 例 8（20XX 年全国卷理I）( )f x，( )g x是定义在R上的函数，( )( )( )h xf xg x，则“( )f x，( )g x均为偶函数”是“( )h x为偶函数”的（）A充要条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D既不充分也不必要的条件命题意图 :本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识. 解 先证充分性：因为( )f x，( )g x均为偶函数，所以()( ),fxf x()( )gxg x，有()()()( )( )( )hxfxgxf xg xh x，所以( )h x为偶函数反过来，若( )h x为偶函数，(

10、 )f x( )g x不一定是偶函数如2( )h xx，( ),f xx2( )g xxx，故选 B. 方法二：可以选取两个特殊函数进行验证故选 B 点评： 对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想. 例 9(20XX 年山东卷 )函数

11、y= 1+ax(0a1)的反函数的图象大致是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载（A）（B）（C）（D）命题意图 : 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识. 解 ： y= 1+ax(0a1), 1log (1), 01afxxa. 此 函 数 图 象 是 由 函 数log, 01afxxa向右平移一个单位得到的. 故选 A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大， 考查内容和形式灵活多样 . 这里主要帮助考生在掌握有关函数

12、知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例 10（20XX 年浙江卷 文）已知.|1|)(22kxxxxf（）若 k = 2，求方程0)(xf的解；（）若关于x 的方程0)(xf在（ 0，2）上有两个解x1，x2，求 k 的取值范围，并证明.41121xx命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。满分15 分。（I）解：当. 02|1|)(,222xxxxfk时分两种情况讨论：当时或即时11,112xxx， 方程化为, 01222xx131313.01,

13、.222xx解得因为舍去 所以当11,012xx即时， 方程化为 1+2x = 0， 解得21x，由得，.21,2310)(,2xxxfk或的解是方程时当（II）解：不妨设2021xx，因为, 1|, 1, 1|, 12)(2xkxxkxxxf所以1 , 0)(在xf是单调递函数，故1 ,00)(在xf上至多一个解，121212112221,(1,2),0,0,1 ,(1,2).21()0,1;17()0,2,1.271,( )0(0,2).2xxx xxxf xkkxf xkxkxkf x若则故不符合题意因此由得所以由得所以故当时在上有两个解方法一：精选学习资料 - - - - - - -

14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载2211222221222212180,1 ,210;48(1,2),41141(8),287778(, 1),8()88,222114.kkxxxkxkkkxxkkkxxkkykkkkxx因为所以而方程的两根是因为所以则而在上是减函数则因此方法二：因为01,1 ,011kxx所以；因为012),2, 1 (2222kxxx所以，由消去k，得21212221212111120 ,2.(1, 2 ) ,4.x xxxxxxxxx即又因为所以7.以集合为背景的不等式以集合为背景的不等式 ,以考查不等式的解法和集

15、合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题 .例 11. （20XX 年北京卷文 ）记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x的解集为Q（I）若3a，求P；（II ）若QP，求正数a的取值范围命题意图：本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法. 解： （I）由301xx，得13Pxx（II ）1102Qx xxx由0a，得1Pxxa，又QP，所以2a，即a的取值范围是(2)，8.以线性规划形式出现的不等式以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求

16、解 . 例 12.（2006 年辽宁卷） 双曲线224xy的两条渐近线与直线3x围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（A）0003xyxyx（B）0003xyxyx（C）0003xyxyx（D）0003xyxyx命题意图：本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力. 解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足0003xyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载故选 (A) 9.以简易逻辑为背景的不等式以简易逻辑为背景的不等式 ,解题时往往以不等式为工具,来确定命题 ,用简

17、易逻辑知识解决问题 .例 13.（2006 年山东卷 ）设221:200,:0|2xpxxqx，则p是q的（ A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（ C）充要条件（D）既不充分也不必要条件命题意图：本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力. 解：由题设可得 : 22:200,:5,4.1:0,1,2,2.|2p xxp xxxqxxxx即即1或故选 (A) 10.与函数知识结合的不等式与函数知识结合的不等式 ,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题. 例 14.（2006 年山东卷 ）设1232,2( )(2)log (1)2.xexf xffxx ，则的值为

18、，（A）0 （B）1 （C）2 （D） 3 命题意图：本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力.解：0(2)(3)(1)22.ffffe3=log故选 (C) 12.与平面向量知识结合的不等式与平面向量知识结合的不等式 ,解题时往往以不等式为工具, 结合平面向量知识和坐标运算,通过 和坐标运算和推理来 解决问题 .例 15.（ 2006 年辽宁卷） 设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B,点P是线段AB上的一个动点,APAB,若OP ABPAPB,则实数的取值范围是（A）112（B）2112（C）12122（D）221122命题意图：本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力

19、.解： 设 P(x,y),则由APAB得, ,(1, )( 1,1),1,1,.APABxyxxyy即解得2222,( , )( 1,1)(1,)(,1),0,(1)20,2211.22OP ABPA PBx yxyxyxyy又点P是线段AB上的一个动点 ,01.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载211.2故选 (B) 13.与函数的导数知识结合的不等式.与函数的导数知识结合的不等式 ,解题时往往以不等式和函数的导数 为工具 , 结合函数知识,通过推理来 解决问题 . 例 16. （2006 年江西

20、 卷）已知函数32( )f xxaxbxc在23x与1x时都取得极值. (1) 求a、b的值及函数( )f x的单调区间 ; (2) 若对1,2x,不等式2( )f xc恒成立 ,求c的取值范围 . 命题意图：本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查就数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.解：322(1) ( ),( )32,f xxaxbxc fxxaxb22124()0,(1)320,3931,2,2( )32(32)(1),( ):fabfababfxxxxxf x由得函数的单调区间如下表x2(,)3232(,1)31(1,)(

21、 )fx00( )f x极大值极小值所以函数( )f x的递增区间为2(,)3与(1,);递减区间为2(,1)3. 32221(2)( )222221,2 ,( ),327(2)2,(2)2.( )(1,2 ),(2)2,12.f xxxxcxxf xcfcfcf xcxcfccc当时为极大值而则为最大值要使恒成立 只须解得或14.与数列知识结合的不等式与数列知识结合的不等式 ,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具 , 结合函数知识,通过计算和推理来 解决问题 . 例 17.（2006 年湖北卷）设数列na的前n项和为nS，点*,()nSnnNn均在函数32yx的图像上 . （）求数列na的

22、通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载（） 设13nnnba a，nT是数列nb的前n项和， 求使得20nmT对所有*nN都成立的最小正整数m. 命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力. 解： （I）依题意得，32,nSnn即232nSnn. 当 n2 时，221(32 )312(1)65nnnaSSnnnnn; 当 n=1 时，113aS21-2 1-1-6 1-5. 所以65()nannN. （II ）由（ I）得1311

23、11(65) 6(1) 52 6561nnnba annnn，故1 11111111.277136561nnbnnT=111261n. 因此，使得111261n20mnN成立的 m 必须满足1220m，即 m10,故满足要求的最小整数 m 为 10. 15.不等式 的实际应用不等式 的实际应用题,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识和函数的导数的应用,通过建立不等式模型,利用计算和推理来解决问题 . 例 18 （ 20XX 年重庆卷 文） （本小题满分12 分）用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大

24、体积是多少？命题意图： 本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用不等式知识解决实际问题的能力解：设长方体的宽为x（m） ，则长为)(2mx，高为).230()(35.441218xmxxh故长方体的体积为).230()(69)35 .4(2)(3322xmxxxxxV从而)1(181818)(2xxxxxV令00)(xxV，解得（舍去）或x=1，因此 x=1. 当0)(231; 0)(10 xVxxVx时，当时，故在 x=1 处)(xV取得极大值，并且这个极大值就是)(xV的最大值 . 从而最大体积，)(31619) 1 (332mVV此时长方体的长为2m，高为 1.5m 答

25、：当长体的长为2m，宽为 1m，高为 1.5m 时，体积最大，最大体积为3m3. 三、专题训练与高考预测一.选择题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载1.y=322xx的单调递减区间为（）A.( ， 3) B.(， 1) C. 1，+D. 3， 12.下列函数中，在区间(0， 1)上是增函数的是（）A. y=xB.y= 11xC.y=32x D.y=x2+2x+1 3.设 f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)0，则下列函数：y=32f(x),y=1+)(2xf,y=f2(x),y=1)(xf，其

26、中增函数的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 4关于 x 的方程 9x+(a+4)3x+4=0 有解，则实数a 的取值范围是（）A （-， -80，+） B、 （-， -4） -8，4） D、 （-， -8 5若 a0，b0，且 2a+b=1，则 S=2ab-4a2-b2的最大值是（）A212B、12C、212D、126已知不等式m2(cos25)m4sin20 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.0 m4 B.1m4 Cm4 或 x0 D.m1 或 m0 二.填空题7.设 f(x)=x21(x 2),则 f1(4)=_. 8.已知 f(x)=3x2,则 f1(3x2)=_. 9.已知

27、 f（x）是奇函数，当x（ 0，1）时， f（x） lg11x，那么当x（ 1，0）时，f（x）的表达式是_10. 记 S=1212211212111101010，则 S 与 1 的大小关系是. 11.当0,2x时 ,函数21 cos28sinsin2xxyx的最小值是 _. 12.实数,x y满足xxyy,则x的取值范围是_. 三.解答题13. 设函数 f（x）=log2（x+1） ，当点（ x， y）在 y=f（ x）的反函数图象上运动时，对应的点（3,2yx）在 y=g（x）的图象上 . (1)求 g（x）的表达式 ; (2)当 g（x） f1（x）0 时，求 u（ x）=g（ x） f

28、1（x）的最小值 . 14. 在某产品的制造过程中，次品率p 依赖于日产量x，已知p1,101x当0 x100时;1, 当x100时.其中 x 为正整数，又该厂每生产一正品可赢利A 元， 但每生产出一件次品就要损失3A元. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载(1) 将该厂的日赢利额T（元）表示为日产量x（个）的函数，并指出这个函数的定义域; (2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？15已知).1(1)(xxxxf)()1(xf求的单调区间；（2）若.43)()(:,)(1,0cfafbbac

29、ba求证16某人上午7 时乘摩托艇以匀速V 千米 /小时（ 4V20）从 A 港出发前往50 千米处的B 港，然后乘汽车以匀速W 千米 /小时（ 30W 100）自 B 港向 300 千米处的C 市驶去，在同一天的16 时至 21 时到达 C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、 y小时，若所需经费)8(2)5(3100yxp元，那么 V、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费. 【参考答案】一.1.A 提示：2230,13xxxx则或, 又2223141xxxx可知当时 函数递减.2.D 提示： 函数 y=x2+2x+1 的图象开口向下,对称轴 x=1. 3.C 提示

30、：由于 f(x)是定义在A 上的减函数， 且 f(x)0，所以其 2f(x),)(2xf,和)(xf都是增函数 . 4.D 5.A 6.C 二.7.5.8.x.9. 提示： 当 x（ 1，0）时， x（ 0，1） ，f（x） f（ x） lg11xlg（1x） 10. 1s11. 4 ; 12. ,04,三.13. (1)易求12)(1xxf.)14(31)(xxg. (2)由 g（x） f1（x）0 得：2 , 12x.121)232(31)(2xxu. 故x2.121)(,2, 123xu即121)(,23logmin2xux. 14. （1）易知4(1)1,0,100 ,33(101)A

31、TAxpxpAxxxNx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载（ 2）求 T 的最大值是个难点.须变换：)101(3404)101(3410134)101(3404)101(34xxAxxAxxxAT易 知 当 且 仅 当3404101x89.4 时，T最大 .但是xN，)90(),89(ff两者的最大值一定是T的最大值吗？这是本题的第二个难点.因此，必须证明函数)(xT在（ 0，3404101）上是增函数，而在（3404101，100）上是减函数. 15. 解： （1） 对 已 知 函 数 进

32、行 降 次 分 项 变 形 , 得111)(xxf, .),1() 1,()(上分别单调递增和在区间xf（2）首先证明任意).()()(, 0yfxfyxfyx有事实上 , )(1111)()(yxxyfyxxyyxxyyxxyyxxyxyyyxxyfxf. 而),() 1(,yxfyxxyfyxyxxy知由)()()(yxfyfxf,04)2(1)(122abbabbac.34222aaaca43)3()()()(fcafcfaf16.解：题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于103,5.125. 2,100450 xyVVy同理及又149yx.23),23(131)8(2)5( 3100yxzyxyxP令则 z 最大时 P 最小 . 作出可行域，可知过点（10，4）时 , z 有最大值 38， P 有最小值 93，这时 V=12.5 ，W=30. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页