2022年全等三角形难题 2.pdf

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1、22题PBACEM1. 如图，已知等边ABC ， P在 AC延长线上一点，以PA 为边作等边 APE,EC延长线交BP于 M ，连接 AM,求证： （1） BP=CE ；（ 2）试证明： EM-PM=AM. 2、 点 C 为线段 AB 上一点， ACM, CBN 都是等边三角形， 线段 AN,MC 交于点 E， BM,CN交于点 F。求证：（1）AN=MB. （2）将 ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变， （1）中的结论是否依然成立？（3）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化。3.已知， 如图所示，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点B

2、AD， ，在一条直线上，连接BECDMN，分别为BECD，的中点（ 1）求证：BECD；ANAM；（ 2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图， C为线段 AE上一动点（不与点A，E重合），在 AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形 CDE ，AD与 BE交于点 O ， AD与 BC交于点 P，BE与 CD交于点 Q，连结 PQ 以下五个结论： AD=BE ； PQAE ； AP=BQ ； DE=DP ； AOB=60 CP=CQ CPQ 为等边三角形共有 2 对全等三角形CO平分 AOP C

3、O平分 BCD 恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）OOFEABABNCMMCNFEA B C E D O P Q C E N D A B M 图C A E M B D N 图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5.已知：如图，ABC是等边三角形， 过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你

4、连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论6、如图，以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由7、如图所示，已知ABC 和 BDE 都是等边三角形，且A、B、D 三点共线下列结论：AE=CD ； BF=BG ； HB 平分 AHD ； AHC=60 ， BFG 是等边三角形；FGAD 其中正确的有（）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个8 、 在ABC中 ，2120ABBCABC， ，将ABC绕 点B顺 时 针 旋 转 角(090 ) 得A BCA B111，交AC于点E，11AC分别交ACBC、于D

5、F、两点如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；9. 如图所示， ABC 是等腰直角三角形，ACB 90， AD 是 BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证： ADC BDE10. 如图 1，四边形ABCD 是正方形， M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点E在 AB 边上滑动（点E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F .A D B E C F 1A1CA D B E C F 1A1CA G F C B D E （图）C G A E

6、D B F A B C D E F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 如图 141 ，当点 E在 AB 边的中点位置时： 通过测量DE，EF 的长度，猜想DE 与 EF 满足的数量关系是； 连接点 E 与 AD 边的中点N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E在 AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得 NE=BF ，进而猜想此时DE 与 EF

7、有怎样的数量关系并证明11、已知RtABC中，90ACBCCD，为AB边的中点，90EDF ，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图 1） ，易证12DEFCEFABCSSS当EDF绕D点旋转到DEAC和不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEFS、CEFS、ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明12.等边 ABC，D 为ABC 外一点， BDC=120 ，BD=DC MDN=60 射线 DM 与直线 AB 相交于点 M，射线 DN 与直线 AC 相交于点

8、N，当点 M 、N在边 AB 、AC上，且 DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN之间的数量关系当点 M 、N在边 AB 、AC上，且 DM DN时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点 M 、N在边 AB 、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM 、NC 、MN之间的数量关系A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D B C E 图 2 F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - -

9、- DCBA13.如图 1，BD 是等腰ABCRt的角平分线，90=BAC. （1）求证 BC=AB+AD；（2）如图 2，BDAF于 F，BDCE交延长线于E，求证： BD=2CE；14、已知，如图1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求证：BAD+BCD=180。15、如图，四边形ABCD 中， AC 平分 BAD ，CEAB 于 E，AD+AB=2AE ，则 B 与ADC 互补 .为什么？16、如图 4，在 ABC中， BD=CD ， ABD= ACD,求证 AD平分 BAC. 17.如图，在 ABC 中 ABC,ACB 的外角平分线交P.求证 :AP 是 BAC

10、 的角平分线A B C D D B E A C A B C D F E 图 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 图十一4321PABCOEDCBA18、如图在四边形ABCD 中， AC 平分 BAD ， ADC ABC 180 度， CEAD 于 E，猜想 AD 、AE、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，19、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD 2

11、0如图所示，已知在AEC 中， E=90， AD平分 EAC ，DFAC ，垂足为F，DB=DC ，求证： BE=CF 21、如图， OP 是 MON 的平分线， 请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图， 在 ABC 中，ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

12、由。O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图E B A C 图 2 D AECDFB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - P21DCBA22已知： 如图，BFAC于点 F，CE AB于点 E，且 BD=CD ，求证： （1） BDE CDF （2）点 D在 A的平分线上23、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P 为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 24、 （2007

13、 年成都）已知：如图，ABC 中， ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分 ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点F，H 是 BC 边的中点，连结DH 与 BE 相交于点G。(!)求证： BF=AC；(2)求证： CE=12BF；(3)CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论。25、如图， 在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 是 ABC 的平分线， AFDC，连接 AC 、CF，求证： CA 是 DCF 的平分线。26、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边 BC 的中点90AEFo，且 EF 交正方形外角DCG的平分线CF 于点 F

14、，求证： AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMEECF，所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边 BC 的中点”改为“点E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点 E 是 BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不DACBFEFDACB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

15、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 图3MNKEDCBA图2MNKDCBA图1MKNCBA变，结论“ AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由27.ABC中， BAC=60 ， C=40 ，AP平分 BAC交 BC于 P，BQ平分ABC交 AC于 Q ，求证： AB+BP=BQ+AQ。28.问题背景，如下命题： 如图 1,在正三角形ABC 中,N 为 BC 边上任一点 ,CM 为正三角形外角ACK 的平分线 ,若 ANM=60 ,则 AN=NM

16、 如图 2,在正方形 ABCD 中,N 为 BC 边上任一点， CM 为正方形外角DCK 的平分线，若 ANM=90 ，则 AN=NM 如图 3,在正五边形ABCDE 中,N 为 BC 边上任一点 ,CM 为正五边形外角DCK 的平分线,若 ANM=108 ,则 AN=NM 任务要求： 请你证明以上三个命题； 请你继续完成下面的探索： 如图 4,在正n（n3 ）边形ABCD EF 中,N 为 BC 边上任一点 ,CM 为正n边形外角DCK 的平分线 ,问当 ANM 等于多少度时,结论 AN=NM成立（不要求证明）. 如图 5,在梯形 ABCD 中 ,AD BC,AB=BC=CD,N为 BC 延

17、长线上一点,CM 为 DCN 的平分线 ,若 ANM= ABC, 请问AN=NM是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由 . A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 图5MNDCBA图4NKFEDCBA29.（1）如图，已知在正方形ABCD 中， M 是 AB 的中点， E 是 AB 延长线上一点，M

18、N DM 且交 CBE 的平分线于N试判定线段MD 与 MN 的大小关系；（2）若将上述条件中的“M 是 AB 的中点”改为“M 是 AB 上或 AB 延长线上任意一点” ，其余条件不变试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由30.如图，在 ABC 中， A=90 ， D 是 AC 上的一点， BD=DC ，P 是 BC 上的任一点， PEBD ，PF AC，E、F 为垂足求证：PE+PF=AB 31. .如图，已知ABC 中， AB=AC=6cm ， B=C，BC=4cm ，点 D 为 AB 的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点B 向

19、点 C 运动，同时，点Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使 BPD与 CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，则经过后，点P 与点 Q 第一次在ABC 的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

20、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 32.已知：在 ABC 中， ACB 为锐角，点D 为射线 BC 上一动点，连接AD ，以 AD 为一边且在 AD 的左侧作等腰直角ADE ，解答下列各题：如果AB=AC ， BAC=90 （i）当点 D 在线段 BC 上时（与点B 不重合），如图甲，线段BD ，CE 之间的位置关系为（ii ）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？33.（2012?内江）已知 ABC 为等边三角形，点D 为直线 BC 上的一动点（点D 不与 B、C重合） ，以 A

21、D 为边作菱形ADEF（ A、D、E、F 按逆时针排列） ，使 DAF=60 ，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF ； AC=CF+CD ；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数量关系34. 在ABC 中，AD BC, BEAC, D、E为垂足， AD与 BE交与点 H ，BD=AD 求证： BH=AC BE AD3

22、5.如图 14-1，在 ABC 中，BC 边在直线 l 上，ACBC，且 AC = BCEFP的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP （1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP 沿直线 l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交 AC 于点 Q， 连结 AP， BQ 猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 14-3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，D C B A E H 名师资料总结 - - -精品

23、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 连结 AP，BQ你认为（ 2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由36. 如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F分别为边 BC 、CD的中点， AF 、DE相交于点 G ，则可得结论： AF=DE ；AF DE.(不需要证明 ) (1) 如图 2，若点 E、F不是正方形 ABCD 的边 BC 、CD的中点，但满足 CE=DF.则上面的结论、是

24、否仍然成立？( 请直接回答“成立”或“不成立”)(2) 如图 3，若点 E、F分别在正方形 ABCD 的边 CB的延长线和 DC的延长线上，且 CE=DF ，此时上面的结论、 是否仍然成立？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请说明理由 . 37. 如图 1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF ，过 E、F 分别作 DE AC ，BFAC ，若 AB=CD ，试说明 BD平分 EF；若将 DEC的边 EC沿 AC方向移动变为图2 时，其余条件不变，BD是否还平分 EF ，请说明理由。38.如图， ABC 中， ACB 90 ，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过C 作 CFAE，垂足

25、为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于D图 14-1（E）（F）B CP A l l P A E B C Q F 图 14-2l B P A 图 14-3 E F Q C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 求证：（ 1）AECD；（ 2）若 AC12 cm，求 BD 的长39如图，两个全等的含30、 60角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，DEA= ACB=90 ， DAE= ABC=30 ，

26、E、A、C 三点在一条直线上，连接BD ，取 BD中点 M ，连接ME 、 MC ，试判断 EMC 的形状，并说明理由40. 已知 BE ，CF是 ABC的高，且 BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP与 AQ的数量关系和位置关系41. 在 RtABC 中， AC BC， ACB 90 ，D 是 AC 的中点， DGAC 交 AB 于点 G. （1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FHFC，交直线AB 于点 H求证： DG=DC 判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（ 2）若 E 为线段 DC 的延长线上

27、任意一点，点F 在射线 DG 上， (1)中的其他条件不变，借助图2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变 （本小题直接写出结论，不必证明）42、如图， AD/BC，AD=BC ，AE AD ，AF AB ，且 AE=AD ，AF=AB ，求证： AC=EF BACEFQPDADBCGEGHFEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 43. 直 线CD经 过BC

28、A的 顶 点C ， CA=CB E、F分 别 是 直 线CD上 两 点 ， 且BECCFA（1）若直线CD 经过BCA的内部，且E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若90 ,90BCAoo，则EFBEAF（填“” ， “”或“”号） ；如图2，若0180BCAoo，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过BCA的外部，BCA，请探究EF、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明44.已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，CE AB 于 E，且B+D=180 ，求证：AE=AD+BE ABDCE1245如图，已知E是正

29、方形 ABCD 的边 CD的中点，点F 在 BC上，且 DAE= FAE 求证： AF=AD-CF FEDCABA B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 ABCDEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 46如图所示，已知ABC中，AB=AC ，D是 CB延长线上一点，ADB=60 ，E是 AD上一点，且 DE=DB ，求证： AC=BE+BC 47、在 ABC

30、中， BD=DC ，ED DF求证： BE CF EF旋转已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，ACB=90 ， F 是 AB的中点，直线l 经过点C，分别过点A、B作 l 的垂线，即AD CE ，BECE ，（1）如图 1，当 CE位于点 F 的右侧时，求证：ADC CEB ；（2）如图 2，当 CE位于点 F 的左侧时，求证：ED=BE-AD ；（3）如图3，当 CE在 ABC的外部时，试猜想ED 、AD 、BE之间的数量关系，并证明你的猜想复习“全等三角形” 的知识时， 老师布置了一道作业题： “如图， 已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，

31、使QAP=BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP ”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析， 证明了ABQACP， 从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明DABCE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF 且ABCDEF。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O当DEF旋转至如图位置，点()B E，CD，在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是当DEF继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与 DO存在怎样的数量关系？请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -