2022年全等三角形模型 .pdf

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1、学习必备欢迎下载全等三角形模型适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域江苏课时时长（分钟）60 知识点全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定教学目标熟练掌握三角形全等的判定定理，能够灵活运用这些定理进行推理和证明；能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理。教学重点熟练掌握三角形全等的判定定理教学难点能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页学习必备欢迎下载教学过程一、课堂导入【问题】 如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？【思考】 ABD ACE精选学习资料

2、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页学习必备欢迎下载二、复习预习【问题】 工人师傅常用角尺平分一个任意角， 作法如下：如图， AOB 是一个任意角，在边 OA， OB 上分别取 OM=ON 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N 重合则过角尺顶点P 的射线 OP 便是AOB 的角平分线，为什么？请你说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页学习必备欢迎下载【解答】 OP 平分AOB 理由如下： OM=ON ，PM=PN ，OP=OP MOP NOP

3、 （SSS） MOP= NOP OP 平分MON （即 OP 是 AOB 的角平分线）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页学习必备欢迎下载三、知识讲解考点 1 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页学习必备欢迎下载考点 2 全等三角形的判定：所有三角形 SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形 HL 精选学习资料 - - - - - - - -

4、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页学习必备欢迎下载四、例题精析【例题 1】【题干】如图，正方形ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 AEBF，垂足为点 G求证：AE=BF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页学习必备欢迎下载【答案】证明：正方形 ABCD ， ABC= C=90 ， AB=BC AEBF， AGB= BAG+ ABG=90 ， ABG+ CBF=90 ，BAG= CBF在 ABE 和 BCF中，BAECBFABCBABEBCF， ABE BCF（ASA

5、），AE=BF【解析】根据正方形的性质，可得ABC 与C 的关系， AB 与 BC 的关系，根据两直线垂直，可得AGB 的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得 ABG 与 BAG 的关系，根据同角的余角相等，可得BAG 与CBF 的关系，根据 ASA，可得 ABE BCF，根据全等三角形的性质，可得答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页学习必备欢迎下载【例题 2】【题干】如图，四边形ABCD 是正方形， BEBF，BE=BF，EF与 BC 交于点 G（1）求证： AE=CF；（2）求证： AECF精选学习资料 -

6、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页学习必备欢迎下载【答案】（ 1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABC=90 ，AB=BC ， BEBF，FBE=90 ， ABE+ EBC=90 ，CBF+ EBC=90 ，ABE= CBF，在 AEB 和 CFB 中，ABBCABECBFBEBF AEB CFB（SAS），AE=CF（2）延长 AE 交 BC 于 O，交 CF 于 H， AEB CFB， BAE= BCF， ABC=90 ，BAE+ AOB=90 ， AOB= COH， BCF+ COH=90 ， CHO=90 ， AECF

7、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页学习必备欢迎下载【解析】 （1）利用AEB CFB 来求证 AE=CF（2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页学习必备欢迎下载【例题 3】【题干】（2014? 顺义区一模）已知：如图 1， MNQ 中， MQ NQ（1）请你以 MN 为一边，在 MN 的同侧构造一个与 MNQ 全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（ 1）中构造

8、全等三角形的方法解决下面问题：如图 2，在四边形 ABCD 中，ACB+ CAD=18 0， B= D求证： CD=AB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页学习必备欢迎下载【答案】：（ 1）如图 1，以 N 为圆心，以 MQ 为半径画圆弧；以M 为圆心，以 NQ 为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求主要根据“SSS”判定三角形的全等（2）如图 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页学习必备欢迎下载延长 DA 至 E，使得 AE=CB

9、，连结 CE ACB + CAD =180 ， DACDAC + EAC =180 BACBCA = EAC 在 EAC 和 BAC 中，AECEACCAEACBCN AECEAC BCA （SAS）， B= E，AB=CE B= D， D= E，CD=CE ， CD=AB 【解析】 （1）以点 N 为圆心，以 MQ 长度为半径画弧，以点M 为圆心，以 NQ 长度为半径画弧，两弧交于一点F，则 MNF 为所画三角形（2）延长 DA 至 E，使得 AE=CB ，连结 CE证明 EAC BCA，得： B = E，AB=CE ，根据等量代换可以求得答案精选学习资料 - - - - - - - - -

10、 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页学习必备欢迎下载【例题 4】【题干】 问题背景：如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD ， BAD=120 ， B= ADC=90 E，F 分别是 BC，CD 上的点且 EAF=60 探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点 G使 DG=BE 连结 AG，先证明ABE ADG，再证明AEF AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD ，B+ D=180 E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF=12 BAD ，上述结论精选

11、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页学习必备欢迎下载是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30 的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70 的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等， 接到行动指令后， 舰艇甲向正东方向以60 海里/ 小时的速度前进， 舰艇乙沿北偏东 50 的方向以 80 海里/小时的速度前进 .1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70 ，试求此时两舰艇之间的距离精选学习资料 - - - - - -

12、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页学习必备欢迎下载【答案】 问题背景： EF=BE+DF ；探索延伸： EF=BE+DF 仍然成立证明如下：如图，延长FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG， B+ ADC=180 ，ADC+ ADG=180 ，B= ADG ，在 ABE 和 ADG 中，DGBEBADGABAD， ABE ADG（SAS）， AE=AG ，BAE= DAG， EAF=12 BAD， GAF= DAG+ DAF= BAE+ DAF= BAD- EAF= EAF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

13、- - - - -第 17 页，共 32 页学习必备欢迎下载 EAF= GAF，在 AEF和 GAF 中，AEAGEAFGAFAFAF， AEF GAF（SAS），EF=FG， FG=DG+DF=BE+DF， EF=BE+DF ；实际应用： 如图，连接 EF，延长 AE、BF相交于点 C， AOB=30 +90 +（ 90 -70 ） =140 ，EOF=70 ，EOF=12 AOB，又OA=OB ，OAC+ OBC= （ 90 -30 ） +（ 70 +50 ） =180 ，符合探索延伸中的条件，结论 EF=AE+BF 成立，即 EF=1.5（ 60+80 ）=210 海里答：此时两舰艇之间

14、的距离是210 海里【解析】 问题背景： 根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸： 延长 FD 到 G，使 DG=BE ，连接 AG，根据同角的补角相等求出 B= ADG ，然后利用“边角边”证明 ABE和 ADG 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG ， BAE= DAG，再求出EAF= GAF，然后利用“边角边”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页学习必备欢迎下载证明 AEF 和 GAF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；实际应用： 连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，

15、然后求出EAF=12 AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页学习必备欢迎下载五、课堂运用【基础】1.在平面内正方形 ABCD 与正方形 CEFH 如图放置，连 DE，BH，两线交于 M 求证：（1）BH=DE （2）BHDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页学习必备欢迎下载【答案】证明：（ 1）在正方形 ABCD 与正方形 CEFH 中，BC=CD ，CE=CH ，BCD=

16、ECH=90 ， BCD+ DCH= ECH+ DCH，即BCH= DCE，在 BCH 和 DCE 中，BCCDBCHDCECECH， BCH DCE（SAS），BH=DE ；（2） BCH DCE， CBH= CDE，又 CGB= MGD ， DMB= BCD=90 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页学习必备欢迎下载 BHDE【解析】 （1）根据正方形的性质可得BC=CD ，CE=CH ， BCD= ECH=90 ，然后求出BCH= DCE，再利用“边角边”证明BCH 和 DCE 全等，根据全等三角形对应边相

17、等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得CBH= CDE，然后根据三角形的内角和定理求出DMB= BCD=90 ，再根据垂直的定义证明即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页学习必备欢迎下载2.（1）操作发现如图 1，在等边ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点B，C） ，连接 AM ，以 AM 为边作等边AMN ，连接CN，猜想ABC 与 ACN 有何数量关系？并证明你的结论；（2）类比探究如图 2，在等边ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点 （不含端点 C） ， 其他条件不变，

18、（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页学习必备欢迎下载【答案】（ 1）在等边 ABC 中，AB=AC ， BAC= BAM+ MAC=60在等边AMN 中，AM=AN，MAN= NAC+ MAC=60BAM= NAC=60 - MAC ，在 ABM 和 ACN 中，ABACBAMNACAMAN， ABM ACN （SAS）， ABC= ACN （2）在等边 ABC 中，AB=AC ，BAM= BAC+ MAC=60 +MAC 在等边AMN 中，AM=AN，NAC= NAM+ MA

19、C=60 +MAC ， BAM= NAC=60 +MAC ，在 ABM 和 ACN 中，ABACBAMNACAMAN， ABM ACN （SAS）， ABC= ACN 【解析】 （1）由全等三角形可以判定AB=AC ，AM=AN ，即可求证ABM ACN ，即可求得ABC= ACN ；（2）和（ 1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC ，AM=AN ，即可求证ABM ACN ，即可求得ABC= CAN. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页学习必备欢迎下载【巩固】1.如图，ABC 和 ADE 都是等腰三角形，且B

20、AC=90 ，DAE=90 ，B，C，D 在同一条直线上求证： BD=CE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页学习必备欢迎下载【答案】 ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形， AD=AE ，AB=AC ，又EAC=90 +CAD， DAB=90 +CAD ， DAB= EAC，在 ADB 和 AEC 中ABACBADCAEADAE， ADB AEC（SAS），BD=CE 【解析】求出 AD=AE ，AB=AC ， DAB= EAC，根据 SAS 证出 ADB AEC 即可精选学习资料 - - - - - - -

21、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页学习必备欢迎下载2.如图，ABC 与 BEF都是等边三角形， D 是 BC 上一点，且 CD=BE ，求证：EDB= CAD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页学习必备欢迎下载【答案】如图，过点D 作 DG AB 交 AC 于 G， ABC 是等边三角形，GDC= ABC= C=60 ，AC=BC ， CDG 是等边三角形， DG=CD=CG ， AGD=120 ，BD=AG ， CD=BE，BE=DG ，又 BEF是等边三角形EBF=60

22、 ，EBD= DGA=120 ，在 EBD 和 DGA 中BDAGEBDAGDEBDG EBD DGA （SAS）， EDB= CAD 【解析】过点 D 作 DG AB 交 AC 于 G，求出EBD= AGD=120 ，BD=AG ，根据 SAS 证 EBD DGA，根据全等三角形的性质推出即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页学习必备欢迎下载【拔高】正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、AB 的中点，连接 EF（1）如图 1，若点 G 是边 BC 的中点，连接 FG，则 EF与 FG 关系为：；（2

23、）如图 2，若点 P 为 BC 延长线上一动点， 连接 FP，将线段 FP 以点 F 为旋转中心， 逆时针旋转 90 ， 得到线段 FQ，连接 EQ，请猜想 BF、EQ、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论（3）若点 P 为 CB 延长线上一动点，按照（ 2）中的作法，在图 3 中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP 三者之间的数量关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 32 页学习必备欢迎下载【答案】（ 1）点E、F 分别是边 AD、AB 的中点， G 是 BC 的中点，AE=AF=BF=BG ，在 AEF 和 B

24、FG 中，AEBGABAFBF， AEF BFG（SAS）， EF=FG，AFE= BFG=45 ，EFFG，EF=FG；（2）BF+EQ=BP 理由：如图 2，取 BC 的中点 G，连接 FG，则 EFFG，EF=FG， 1+ 2=90 ，又2+ 3=90 ，1= 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页学习必备欢迎下载在 FQE 和 FPG 中，13FQFPEFFG， FQE FPG（SAS）， QE=PG 且 BF=BG，BG+GP=BP ，BF+EQ=BP ；（3）如图 3 所示， BF+BP=EQ 【解析

25、】 （1）根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG ，然后利用“边角边”证明 AEF 和 BFG 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG，全等三角形对应角相等可得 AFE= BFG=45 ，再求出EFG=90 ，然后根据垂直的定义证明即可；（2）取 BC 的中点 G，连接 FG，根据同角的余角相等求出 1= 3，然后利用“边角边”证明 FQE 和 FPG 全等，根据全等三角形对应边相等可得QE=FG，BF=BG，再根据 BG+GP=BP 等量代换即可得证；（3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页学习必备欢迎下载课程小结1.全等三角形的性质2.全等三角形的判定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页