2022年逻辑斯蒂方程 .pdf

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1、逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）编辑 逻辑斯蒂方程的推导当一种 新产品 刚面世时， 厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数，这样厂家便于组织生产，商家便于安排进货。怎样建立 数学模型描述新产品推销速度呢？首先要考虑社会的需求量 社会对产品的需求状况一般依如下两个特性确定：1. 对产品的 需求 有一个饱和水平当产品需求量达到一定数量时，对这种产品的需求也饱和了，设饱和水平为a；2. 假设在时刻t，社会对产品的需求量为x=x(t) ，需求的 增长速度dx/dt 正比于需求量x(t)与需求接近饱和水平的程度a-x(t) 之乘积，记比例系数为k

2、 ；根据上述实际背景的两个特征，可建立如下微分方程：.(1) 分离变量，得 : 两边积分，得 : 其中 :从而，通解为 : .(2) 其中，B 和 b 为正常数，可由初始条件确定。式(1)称为逻辑斯蒂方程 (1ogistic equation)，式 (2) 称为逻辑斯蒂曲线。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 编辑 逻辑斯蒂方程的基本性质1.当 t=O 时， x(t) 的值为：；2.x(t) 的增长率,因此， x(t

3、) 是增函数；3.当 B 值较大而t 较小时，将很大，,于是x(t)近似于依指数函数增大，销售速度不断增大；4.当 t 增大以后，越来越接近于零，分母越来越接近于1，销售速度开始下降，x(t)的值接近于a（饱和值）。编辑 逻辑斯蒂方程的应用1人口限制增长问题人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。2. 信息传播问题所谓信息传播可以是一则新闻，一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期，知道这一信息的人很少，但是随时间的推移，知道的人越来越多，到一定时间，社会上大部分人都知道了这一信息这里的数量关

4、系可以用逻辑斯蒂方程来描述。若以t 表示从信息产生算起的时间， P 表示已知信息的人口比例，则逻辑斯蒂方程变为：.(3) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 例如 ,当某种商品调价的通知下达时，有10的市民听到这一通知，2 小时以后， 25的市民知道了这一信息，由逻辑斯蒂方程可算出有75 的市民了解这一情况所需要的时间。在方程 (3)中，由 t=0 时， P=10 可得B9;再由 t=2 时， P=25 可得 ,。当

5、 P=75 时，有 : 解得 t=6，即 6 小时后，全市有75的人了解这一通知。3.商品 销售预测 问题例如，某种商品的销售，开始时，知道的人很少，销售量 也很小。当这种商品信息传播出去后，销售量大量增加，到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如，这种商品饱和量估计a=500( 百万件 )，大约 5 年可达饱和，常数b 经测定为b=lnl0 ，B=100 。下面我们来预测 一下第 3 年末的销售量是多少。由,有: (百万件 ) 所以第三年末的市场销售量大约为454.5 百万件，这样可以做到有计划地生产。逻辑斯蒂方程的应用比较广泛。如果问题的基本数量特征是：在时间t 很小时，呈指数型增长，而当t 增大时，增长速度就下降，且越来越接近于一个确定的值，这类问题可以用逻辑斯蒂方程加以解决。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -