2022年初三数学直线形知识精讲 .pdf

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1、学习必备欢迎下载初三数学直线形知识精讲一. 本周教学内容：直线形直线形是初中平面几何的基础知识，其中三角形是构成多边形的基础图形，而全等三角形的知识更为重要。全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。例 1. 已知，如图，ABC中， AD是高， CE是中线， DC=BE ，DG CE，G是垂足，求证：（1）G是 CE的中点；（2） B=2BCE 。分析：（1）欲证 G是 CE中点，即EG=CG ，由条件 DG CE ，所以只须证DG所在直线为CE中垂线，想到要连结DE ，证出 DEC为等腰三角形。即 DE=CD 即可，由已知条件DC=BE=EA ， ABD为直

2、角三角形，DE=BE=DC，则此题得到解决。（2）由第（ 1）问知： DC=DE ， BDE= DEC+ DCE=2 DCE 由 BE=DE ， B=BDE=2 DCE 。证明：（1）连结 DE ， ADB=90 ， E是 AB中点， DE=AE=BE 又 DC=BE ， DC=DE 又 DG EC于 G ， G是 EC中点（2） DE=DC ， DCE= DEC EDB= DEC+ DCE=2 DCE ，又 DE=BE ， B=EDB B=2BCE 例 2. 如图， ABC中， AB=AC ，D、E、F 分别为 AB、BC 、CA上的点，且BD=CE ，DEF= B，求证： DEF是等腰三角

3、形。分析： 从已知条件入手，由AB=AC ，可得 B=C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载 DEF= B， DEF= B=C 又 BEF=C+ EFC （三角形外角等于不相邻的两内角和）又 BEF=BED+ DEF BED= EFC ，从而得到BDE CEF DE=EF ，即 DEF是等腰三角形。证明： DBE和 ECF中， BD=CE ，AB=AC ， B=C 又 BEF= BED+ DEF= C+EFC ， DEF= B BED= EFC BDE CEF ， DE=EF DEF是等腰三角形。例

4、3. 已知，如图，在 ABC中， （AB AC ） ，D、E在 BC中，且 DE=EC ，过 D作 DFBA交 AE于点 F，DF=AC ，求证： AE平分 BAC 。分析： DF=AC ，而 DF、AC不在同一三角形中，也不在全等的两个三角形中，所以想到通过证三角形全等把 DF与 AC移动到同一三角形中，由DE=EC ，即 E是 DC中点，延长FE到 G，使 EG=EF ，可得到 DEF CEG ，进而得到CG=DF=AC， G= GAC ，又可得到GC DF AB ， G= BAG ， BAG= GAC ，即 AG平分 BAC 证明： 延长 FE到 G ，使 EG=EF ，连结 CG 在

5、DEF和 CEG 中， ED=EC ， DEF= CEG ，FE=EG DEF CEG ， DF=GC ， DFE= G DFAB， DFE= BAE DF=AC ， GC=AC ， G= CAE BAE= CAE ，即 AE平分 BAC 。例 4. 如图，已知AD是 ABC的中线， BE交 AC于点 E，交 AD于点 F，且 AE=EF ，求证： AC=BF 。分析： 要证的两条线段AC 、BF不在两个能全等的三角形中，因此证 AC=BF较困难，于是想到通过添加辅助线，把AC 、BF转化到一个三角形中。由于AD是中线，所以常采用倍长中线的方法添加辅助线，再通精选学习资料 - - - - -

6、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载过全等三角形的证明得到结论，类似于上一题。证明： 延长 AD到 H，使 DH=AD ，连结 BH AD是 ABC的中线， BD=DC 又 BDH= CDA ，DH=AD BDH CDA BH=CA ， H= DAC AE=EF ， FAE= AFE 又 AFE=BFD ， H=BFD BH=BF ， BF=AC 例 5. 如图，在等腰RtABC中， C=90 ， D是斜边 AB上任一点， AECD于 E，BFCD交 CD的延长线于 F，CH AB于 H点，交 AE于 G ，求证： BD=CG 分析：

7、由于 BD与 CG分别在两个三角形中，欲证BD与 CG相等，设法证CGE BDF ，由于全等条件不足，所以考虑先证AEC CFB ，进而得到证CGE BDF的条件。证明： 在 RtAEC与 RtCFB中AC=CB ，AE CD于 E，BFCD交 CD的延长线于F， AEC= CFB=90 又 ACB=90 ， CAE=90 ACE= BCF RtAEC Rt CFB ， CE=BF 在 Rt BFD和 RtCEG 中， F=GEC=90 ， CE=BF FBD=90 FDB=90 CDH= ECG ，RtBFD Rt CEG BD=CG 例 6. 已知：如图，ABC中， BAC=120 ， A

8、B=3 ，AC=2 ， BAC的平分线交BC于 D，求 AD的长。分析：此题图形虽然简洁，但内涵很丰富。由已知条件，可由BAC=120 ，AD平分 BAC得到 BAD=CAD=60 。但没有特殊三角形，如直角三角形或等边三角形，所以要求AD的长，只能另想办法。这时我们想到要构造平行线，利用比例性质去求。常利用一个公式“角平分线平行线等腰三角形”。+解：法一： 过 D作 AC的平行线交AB于 E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载AD平分 BAC BAD= CAD=60 又 EDA= CAD=60 AE

9、D是等边设 AD=x 则 AE=DE=x ， BE=3 x 又，DEACBEABxx233，即xAD6565法二： 过 C作 AD的平行线交BA的延长线于F， BAD= CAD= F=ACF=60 ACF是等边三角形。AF=CF=2 ，BF=3+2=5 ADCFBABF即，ADAD23565法三： 过 B作 AC的平行线，交AD的延长线于P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载则 BAP= CAD= P=60 ABP为等边三角形设 AD=x 则 DP=3 x， BP=3 又 BPD CAD BPACPD

10、AD即323xx，即xAD6565例 7. 已知：中，求的长。ABCBC = 6AC = 6 3AAB30分析： 此题没有给出图形，自己画图时，便要考虑它的特点，题中给出了三角形的两边长及一条边的对角，因此需要分两种情况讨论，分别求解。解： 如下两图，作CD AB于 D，在 Rt ACD中，A = 30AC = 6 3CDACAACsin123 3又 BC=6 ， BCCD 点 D落在 AB边上，或点 D落在 AB的延长线上（1）当 D落在 AB边上时，在 Rt ACD中，AAC306 3CDAC123 3ADACCD229在 Rt BCD中DBBCCD223AB=AD+DB=9+3=12 精

11、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载（2）当点 D落在 AB的延长线上时， AD=9，BD=3 ABADBD936AB的长为 12 或 6。一、填空： 1. 等腰三角形的两条边长分别为2cm和 5cm ，则该等腰三角形的周长为_。 2. 一个三角形三边的长分别为8，10， x，则 x 的取值范围是_。 3. 如图， ABC中， AB=AC ，ADBC于 D，AE=AF ，则图中全等三角形共有_对。 4. 已知，在 ABC中， C=80， A B=20，则 B的度数是 _。二、解答题： 5. 已知：如图，A

12、BC中，点 E，F分别在 AB ，AC边上，点D是 BC边中点，且EF BC ， DE=DF ，求证：AB=AC 。 6. 如图，在 ABC中，已知AB=AC ， BAC=90 ， D是 BC上一点， ECBC ，EC=BD ，DF=FE ，求证： （1） ABD ACE ；（2）AF DE 。 7. 如图，在 Rt ABC中， C=90， M是 AB中点， AM=AN ，MN AC ，求证： MN=AC 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载 8. 如图， ABC中， ADBC于 D， B=60， C

13、=45 ， BC3，求SABC。 9. 已知：如图，在RtABC中， ACB=90 ， AC=BC ，D为 BC的中点， CEAD ，垂足为点E， BF AC交CE的延长线于点F，求证： AB垂直平分DF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载 参考答案 一、填空题 1. 12cm 2. 2x18 3. 4 4. 40二、解答题： 5. 证明： DE=DF ， 1=3 EFBC， 1=2， 3=4 2= 4 在 DBE和 DCF中，DBDCDEDF24 DBE DCF B= C， AB=AC 6. （1）

14、 AB=AC ， ABC= ACB 又 BAC=90 ， B= ACB=45 又 EC BC ， ECB=90 ， ECA=45 又 BD=CE ， ABD ACE （2） ABD ACE ， AD=AE 又 DF=FE ， AF DE 7. 连结 CM ， C=90， M是 AB的中点，AM=MB=MC， 1=2 MN AC， 2=3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载AM=AN ， 3=N， 1=2=3= N 又 4=180 3 N 在 ABC中， 1+2+5=180 5=180 1 2=180

15、3 N 5= 4， AMN MAC ， MN=AC 。 8. 设 AD=x ， AD=DC=x BD3x， B=60tan()BADBDxxx333231，SBCADABC12943 34。 9. 证明： （简证） CAD+ CDE=90 CDE+ DCE=90 ， CAD= BCF BFAC， CBF=180 ACB=90 ACD= CBF ， AC=BC ， ACD CBF CD=BF ， BD=BF ， BDF为等腰三角形， DBA= CAB=45 ， ABF= CAB= DBA=45 AB垂直平分DF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页