2022年函数的值域及其求法 .pdf

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1、精品资料欢迎下载必修 1 复习专题函数之二 (值域) 吴川三中文科数学出版一 相关概念1、值域：函数Axxfy，)(，我们把函数值的集合/)(Axxf称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小 (大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。二 确定函数值域的原则1、当函数)( xfy用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合；x 0 1 2 3 y=f(x) 1 2 3 4 则值域为 1，2，3，4 2、数)(xfy的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的

2、实数y 的集合；3、数)(xfy用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三 基本函数的值域1、一次函数）（0abkxy的值域为 R； 2、二次函数）（02acbxaxy；44(0);44022abac，a，abac，a值域是时值域是时3、反比例函数)0(kxky的值域为0/yy；4、数函数) 10(aaayx且的值域为0/yy；5、对数函数)10(logaaxya且的值域为R。6，函数 y=sinx 、y=cosx 的值域是1, 1四 求函数值域的方法1、观察法：“ 直线类，反比例函数类” 用此方法；2、配方法 .：“

3、 二次函数 ” 用配方法求值域；例 1. 53(232，求函数xxxy的值域；解：1223)61(32322xxxy求函数画出图像（图略）从图可知, .721223)615(35;1223612maxmin，yx，yx时时所以此函数的值域为721223，. 例 2. 求562xxy函数的值域；解：设;0562，则xx; 44)3(5622xxx.400，又.2,0,2,0值域为、换元法：形如常用换元法求值域的函数且为常数、)0(a，dcbadcxbaxy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载例 3. 求

4、函数xxy142的值域解：设2101txxt则,44) 1( 224222ttty, 4,值域为. 4、判别式法：形如域的函数用判别式法求值不同时为零，)(2122221121aacxbxacxbxay；例 4 求函数xxy1的值域；解：011122yxxxxxxy要上面的方程有实数根，04114)(22yy求出12yy或,所以函数的值域为).,22,(、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。形如)0(abaxdcxy的函数用反函数法求值域；例求函数 y=6543xx值域。、分离常数法：形如)0(abaxdcxy的函数也可用此法求值域；例 5 求函数2

5、13xxy的值域；解：方法一： （反函数法） 求出函数213xxy的反函数为312xxy，其定义域为 3/xRxx且，所以原函数的值域为3/yRyy且方法二：（分离常数法）,27327)2(3213xxxxxy.3273,027xx.3/213yRyyxxy且的值域为、函数有界性法 ( 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容) 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数 y=11xxee，2sin11siny，的值域、数形结合法。例6 求函数的值域|4|1|xxy（方法一可用到图象法）方法二：（单调性）为

6、减函数时32,4xyx;53)4(2y为增函数时当32,1xyx; 5312y;514，yx时当所以此函数的值域为，5注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。一回顾与应用1若函数 y=f(x)的值域是 - 2，3，则函数y= f(x)的值域是（）A- 2，3 B2，3 C0，2 D0，3 2函数 y=log0.3(x2+4x+5) 的值域是. 3函数844)(2xxxf的值域为4定义域为R 的函数 y = f(x)的值域为 a，b，则 f(x+a)的值域为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎

7、下载A2a，a+b B0，b- a Ca，b D- a，a+b 5若函数 f(x)=x21log2的值域是 -1，1，则函数f 1(x) 的值域是（）A 2,22B -1,1 C 2 ,21D ),222,(6函数 y=x+2x- 1的值域是（）A y|y12 B y|y12 C y|y0 Dy|y0 二题型举例1求下列函数的值域：（1）122xxxxy（ 2）xxy212已知 x1、x2是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实根，求x12+x22的最大值。3已知函数862mmxmxy的定义域为R. (1) 求实数 m 的取值范围。（2）当 m 变化时，若y 的最小值为f

8、(m) ，求 f(m) 的值域。三课后练习1函数523xxy的值域是； 函数523xxy)0(x的值域是。2函数 y=-x(x+2)(x0)的反函数的定义域是。3若函数)2(log221kkxxy的值域为R，则 k 的取值范围是（）A 0k1 B 0k1) ，求 b 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精品资料欢迎下载7已知函数f(x)=1-2ax-a2x(a1)。（1）求 f(x) 的值域。（2）若 x-2,1时，函数的最小值为-7，求 a及 f(x) 的最大值。答案参考1 D 2.0 ,(3. 0，3 4.

9、C 5. A 提示：反函数的值域是原函数的定义域；令1log2121x，求 x。6A 二 1求下列函数的值域：解： （1）43)21(112xy，而4343)21(2x，所以3443)21(102x143)21(11312x；所以函数的值域是)1 ,31（ 2）11212)21(212121)21(21xxxxy=211211)121(212x，所以函数的值域是21,(。2 解：令=（k-2）2-4(k2+3k+5)= -3k2-16k-160，得344k。x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3x+5)= -k2-10k-6= -(k+5)2+19因 为344

10、k， 所 以9121)5(12k；-(k+5)2+1919-1=18。故 x12+x22的最大值是18。3 解： （1） m=0 满足条件。当m0 时，令0)8(43602mmmm解得0m1，所以 m 的取值范围是0，1。（2）mxmmxxmy88)3(88)96(22所以f(m)=)10(88mm；22)(0mf。故 f(m) 的值域为 0，22。三课后练习1. 21,|yRyy53,21(2. 0 ,(3. C 4 C 解：f(0)= -4 ， f(23)=425， f(3)=f(0) ，所以m3 ,235. 解： （1）2120 ,121xxeey；所以 -1y0；从而解得。（2）2)2

11、2(6224)2(2xxxy；函数的值域是2,(。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精品资料欢迎下载法二：xy2210，所以函数y 是2,(上的增函数，当x=2 时， y 有最大值2，从而得结论。6解：1) 1(212xy，y 在1，b上为增函数，f(1)=1 ，f(b)=b ；所以bb1) 1(212；解得： b=1(舍去 )、b=3。所以b=3 7解： （ 1）f(x)= -(ax+1)2+21；所以 f(x)的值域是)1 ,(。（2） f /(x)0 ，所以 f(x) 为 R 上的减函数，所以f(1)= -7

12、；即-（a+1）2+2= -7；a=2. f(-2)= -(2 2+1)2+2=167。所以 a=2，f(x) 的最大值是167。必修 1 复习专题之函数(定义域解析式分段函数 ) - 答案【你会做哪些】1+1 2D 3 -4 4 B 5D 6B 7. 解析： 本题路程S与时间t的关系有3 种情况，应分3 个时间段处理答案：.5 .105. 65 .6550)5.6(6526026052,tttttS8. 184 或69. 3a10. V2)2(xaxx0 xa/2【训练反馈】1B 2A 3 C 4D 5B 6D 7 x|- 1x 8 8 （0， 5 9 y= .43,4, 32,106,21

13、 ,22, 10,22xxxxxxxxxx10提示 ：若 k=0，则函数的定义域为R；若 k0，则对任意xR，kx2+4kx+30，从而， 0，解得 0k34从而所求k 的取值范围为k|0k3412 （1）f(1) =0，f(4)=2；（2）增函数；（3）3x4补充专题 1-如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )()0义 域 是 _ 。（答：，）aa复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,， 求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log

14、2xf的定义域为。分析： 由函数)(xfy的定义域为2,21可知：221x；所以)(log2xfy中有2log212x。解： 依题意知：2log212x解之，得42x)(log2xf的定义域为42|xx补充专题二- 映射的扩展【知识在线】1对于映射f：AB，下列说法正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精品资料欢迎下载AA 中某一元素的象可以不止一个BB 中某一元素的原象可以不止一个CA 中两个不同元素的象必不相同DB 中两个不同元素的原象可能相同2设集合 A= a，b，c，B= m，n，p，那么从集合A 到

15、 B 可以建立个一一映射3已知 A=B=R，x A，yB，且 f：x y=ax+b，若 5 和 20 的原象分别是5 和 10，则 7 在 f 下的象为4下列函数中，表示同一函数的是（）Af(x)=1，g(x)=xBf(x)=x+1，g(x)= x2- 1x- 1Cf(x)= x2，g(x)=| x| Df(x)=x，g(x)=(x)2【讲练平台 】例 1在对应法则“ f”下，给出下列从集合A 到集合 B 的对应：（1）A=N，B=R，f：x y=x1； （2）A=N，B=Z，f：xy=x) 1(；（3）A= xx 是平面内的三角形，B= y y 是平面内的圆，f：xy 是 x 的外接圆其中能

16、构成映射的是（）A （1） 、 （2）B （1） 、 （3）C （2） 、 （3）D （2）分析判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下，对于集合A 中的任一元素在 B 中是否都有唯一的象解在（ 1）中，元素“ 0”在 B 中没有象，不满足“任意性”，故不能构成映射在（2）中，当 x 为偶数时，其象为1；当 x 为奇数时，其象为- 1，而 1，- 1B，即 A 中任一元素在B 中都有唯一的象在（ 3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（2） 、 （3）能构成映射答案选C点评判断一个对应是否能构成映射，应紧扣映射定义在课本中，已规定0 是自然数，忽视了这一点，将误认为对

17、应（1）是映射在映射f：AB 中， A、B 的地位是不对等的，它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一一般地，若A 中元素的象的集合为C，则 CB如（2）中除 1，- 1 以外的任何元素均无原象，（3）中任一圆的内接三角形都有无数个映射中的集合元素的对象是任意的，可以是数集、点集或其他任意对象，如（3）中的集合对象是几何图形变题设集合 A= xx 是平面内的圆，B= yy 是平面内的矩形， f：xy 是 x 的内接矩形试问它能否构成映射？答案 ：不能例 2（1999 年全国高考）已知映射f：AB，其中集合A= - 3，- 2， - 1，1， 2，3，4 ，集合 B 中的元素都是A 中元素

18、在映射f 下的象，且对任意aA，在 B 中和它们对应的元素是|a|，则集合B 中元素的个数是（）A4 B5 C6 D7 分析本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解解本题应抓住：对应法则f 是什么？集合B 中的具体元素是什么？而的解决由来决定解依题意，由AB 的对应法则为f：a|a|于是，将集合A 中的 7 个不同元素分别取绝对值后依次得 3，2，1，1，2，3，4由集合元素的互异性可知，B=1 ，2，3，4，它有 4 个元素，答案选A点评准确理解题目本身所给的信息，捕捉对解题有用的成份，是解决问题的关键不能忽视集合元素的三大特性在解题中的应用本能中如果忽视集合元素的互异性，将导致错选D精选学

19、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载例 3设 A=( x，y)xR，y R 如果由 A 到 A 的一一映射，使象集合中的元素(y- 1，x+2)和原象集合中的元素 (x，y)对应，那么象(3，- 4)的原象是（）A （- 5，5）B （4，- 6）C （2， -2）D （- 6，4）分析由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是f：(x，y)(y- 1，x+2)，问题即：当点 (y- 1，x+2)是（ 3，- 4）时，对应的x，y 的值分别是多少？于是由4231xy46yx，即象（ - 3， 4）的原象是（-

20、6，4） ，选 D点评已知原象要求象，只需根据对应法则直接代入计算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通过解方程组来解决在映射f：AB 中， A 是原象集合，B 是象的集合，对应法则是f：原象象，二者顺序不能颠倒，否则将误选A；点(x，y)是有序数对， x，y 的顺序不能搞错，否则将误选B例 4 设 A= x0 x2 ，B= y1y2 ，图 1 中表示 A 到 B 的函数是分析可根据映射观点下的函数定义直接求解首先C 图中， A 中同一个元素x（除 x=2)与 B 中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B 两图中， A 所对应的“象”的集合均为y0y2 ，而y

21、0y2B= y1y2 ，故它们均不能构成函数从而答案选D点评函数首先必须是映射，是当集合A 与 B 均为非空数集时的映射因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：集合A 与 B 是否为非空数集；f： AB 能否为一个映射另外，函数f：AB 中，象的集合M 叫函数的值域，且MB【知能集成】 1理解映射的概念，应紧紧抓住映射的两个特性：任意性；唯一性2判断一个对应是不是映射或一一映射，应“回到定义去”；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例 3深化对函数概念的理解，能从函数三要素（定义域、值域与对应法则）的整体上去把握函数概念在函数三要素中，定义域和对应法则是函数的核心，两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件【知识在线】1 B 26 3 11 4 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页