2022年八年级数学上册《菱形、菱形的性质定理菱形的判定定理》例题精讲与同步练习北师大版 .pdf

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1、菱形、菱形的性质定理菱形的判定定理例题精讲与同步练习【重点、难点】几何：重点：1菱形的概念。有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。2菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角；菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。3菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。难点：运用菱形的性质定理和判定定理解相关问题。【讲一讲】几何：例 1：已知：在菱形ABCD 中，E、F 分别为 BC 、CD的中点，求证： AE=AF 。分析：由菱形的性质可以知道AB=AD=BC=CD， 又 E、F 分别为中点，则 BE=DF 。另有 B=D，这

2、样通过全等三角形可以求证AE=AF 证明： ABCD 为菱形，AB=AD BC=CD B=D E、F分别为 BC 、CD的中点BE=DF 在 ABE与 ADF中DFBEDBADABABE ADF AE=AF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页例 2：已知：矩形 ABCD 的对角线 AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于 E、F。求证：四边形 AFCE 是菱形。分析：由 EF为 AC的垂直平分线有AE=EC ，AF=FC ，若证 AFCE 为菱形，只须证 AE=FC ， 通过已知 ABCD 为矩形，利用矩形的性质可以

3、证明AOE 与COF 全等。从而得到 AE=CF 。证明： ABCD 为矩形，AD BC 1=2。EF为 AC的垂直平分线AO=CO 在AOE 与COF中4321COAOAOE COF AE=FC ABCD 为矩形，AD BC 即 AE FC 四边形 AFCE 为平行四边形EF是 AC的垂直平分线EF AC AFCE 为菱形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页例 3：已知：如图在 RtABC中，BAC=90 ，ABC的角平分线交 AC于 D，AH BC于 H，交 BD于 E，DF BC于 F。求证： AEFD 为菱形

4、。分析：利用角平分线的性质可以证明AD=DF 。由角平分线可得 ADB= BEH ，从而得到 1=ADE ，即 AE=AD ，又可证明AE DF，所以由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以证明结论。证明：在 RtABC中， BAC=90 ，ADB+ ABD=90 AH BC于 H 2+DBF=90 1=2 1+DBF=90 BD平分 ABC ABD= DBF ，ADB= 1 AE=AD BD平分 ABC ，BAC=90 DF BC于 F AD=FD AE=FD AH BC于 H，DF BC于 F AH DF ，即 AEFD AEFD 为平行四边形AE=AD AEFD 为菱形精选学习资料 -

5、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页【同步达纲练习】几何：1已知：平行四边形ABCD 中，AC和 BD交于 O ，EF过 O点交 AD于 E，交BC于 F，HG过 O点交 AB于 H，交 CD于 G 。如果 EF平分 AOD ，HG平分 AOB 求证： EHFG 为菱形2已知菱形 ABCD 的对角线 AC长为 16，BD长为 12 求它的面积，边长AB及高。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页3已知菱形对角线BD=4 ，BAD ：ADC=1 ：2，求：菱形面积

6、及对角线AC的长。4如图，已知 O是矩形 ABCD 的对角线的交点， DE AC ，CE DB 。DE与 CE相交于 E 求证：四边形 OCED 为菱形。5求证：菱形四边中点连线组成的图形为矩形6求证：矩形四边中点连线组成的图形为菱形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页参考答案【同步达纲练习】1OE平分 AOD AODAOE21OH平分 AOB AOBAOH21AOD+ AOB=180 9018021AOHAOE即 HG EF。ABCD 为平行四边形OA=OC BO=OD AD BC AB CD DAO= BCO A

7、BO= ODC AOE OCF ，BHO ODG OE=OF OH=OG HFGE 为菱形。2ABCD 为菱形， AC BD OA=OC OD=OB 又AC=16 BD=12 OD=6 AO=8 10643622AOODADAB=10 9612162121BDACSABCDhABSABCD6.91096ABShABCD3ABCD 为菱形AB CD BAD+ ADC=180 BAD ：ADC=1 ：2 BAD=60 ADC=120 AC BD OA=OC OB=OD BD=4 OB=2 ，又 BAO= DAO=30 32OA AB=4 342OAAC384342121BDACSABCD4DE A

8、C DE OC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页同理 CE OD OCED 为平行四边形ABCD 为矩形 AC、BD相交于 O OA=OC OD=OB 且 AC=BD OD=OC OCED 为菱形。5证明：连结 AC 、BD相交于 O ACEH21/ACFG21/FGEH / EF BD 又ABCD 为菱形AC BD EF GF EFGH 为矩形。6证明：连结 AC 、BD ABCD 为矩形， AC=BD E、F、G 、H分别为 AD 、AB 、BC 、CD中点，BDEF21/BDGH21/AC21/FGACEH21/EF=FG=GH=EH EFGH 为菱形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页