2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习16：整数的一种分类 .pdf

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1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（16）整数的一种分类一、内容提要1余数的定义：在等式AmB r 中，如果 A、B是整数， m是正整数，r 为小于 m的非负整数，那么我们称r 是 A 除以 m的余数。即：在整数集合中被除数除数商余数 (0 余数 除数) 例如： 13，0，1，9 除以 5 的余数分别是 3，0，4，1 （ 15（1）4。95（2）1。 ）2显然，整数除以正整数m , 它的余数只有 m种。例如 整数除以 2，余数只有 0 和 1 两种，除以 3 则余数有 0、1、2 三种。3整数的一种分类：按整数除以正整数m的余

2、数，分为 m类，称为按模 m分类。例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作2k, 2k1（k 为整数）m=3时，分为三类，记作 3k, 3k+1, 3k+2. 或3k, 3k+1 ， 3k1其中 3k1表示除以 3 余 2。m=5时，分为五类，5k. 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4或5k, 5k1, 5k2 ，其中 5k2 表示除以 5 余 3。4余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数 112）（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数 133）（

3、5k2）225k220k+4=5(5k24k)+4 （余数 224）以上等式可叙述为： 两个整数除以 3 都余 1，则它们的和除以3 必余 2。 两个整数除以 4，分别余 1 和 3，则它们的积除以4 必余 3。 如果整数除以 5，余数是 2 或 3，那么它的平方数除以5，余数必是4 或 9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如： 17除以 5 余 2 176除以 5 的余数是 4 （2664）5运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页二、例题例 1. 今天是星期日， 99天后是

4、星期几？分析：一星期是 7 天，选用模 m=7, 求 99除以 7 的余数解：99（72）9，它的余数与 29的余数相同，29（23）383（71）3它的余数与 13相同，99天后是星期一。又解：设 A表示 A除以 7 的余数，99 （72）9 2983 （71）3 131 例 2. 设 n 为正整数，求 43 n+1 除以 9 的余数。分析：设法把幂的底数化为9kr 形式解：43 n+1443n=4(43)n=4（64）n4(9 71)n (971)n除以 9 的余数是 1n=1 43 n+1 除以 9 的余数是 4。例 3. 求证三个连续整数的立方和是9 的倍数解：设三个连续整数为n1,n

5、,n+1 M=(n1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数 n 按模 3，分为三类讨论。当 n=3k （k 为整数，下同）时， M 33k(3k)2+2=9k(9k2+2)当 n=3k+1时，M 3（3k+1） (3k+1)2+23（3k+1）(9k2+6k+3) =9(3k+1)(3k2+2k+1) 当 n=3k+2时，M 3（3k+2） (3k+2)2+23（3k+2）(9k2+12k+6) 9(3k+2)(3k2+4k+2) 对任意整数 n，M都是 9 的倍数。例 4. 求证：方程 x23y2=17没有整数解证明：设整数 x 按模 3 分类讨论，当 x3k 时，（3k）23y

6、2=17, 3(3k2y2)=17 当 x=3k1 时，（3k1）23y2=17 3(3k22ky2)=16 由左边的整数是3 的倍数，而右边的 17 和 16 都不是 3 的倍数，上述等式都不能成立，因此，方程x23y2=17没有整数解例 5. 求证：不论 n 取什么整数值， n2+n+1都不能被 5 整除精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页证明：把 n 按模 5 分类讨论，当 n=5k 时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1 当 n=5k1 时，n2+n+1（5k1）25k11 25k210k

7、+1+5k115（5k22kk）21 当 n=5k2 时，n2+n+1（5k2）25k21 25k220k+4+5k215（5k24k+k+1）2 综上所述，不论 n 取什么整数值， n2+n+1都不能被 5 整除又证：n2+n+1n(n+1)+1 n(n+1) 是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6 n2+n+1的个位数只能是 1，3，7，故都不能被 5 整除。三、练习 16 1. 已知 a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数 ) 填写表中各数除以3 的余数。2. 3767 的余数是3今天是星期日，第2 天是星期一，那么第2111天是星期几？4已知 m,n

8、都是正整数，求证： 3nm(n2+2) 5. 已知 a 是奇数但不是 3 的倍数，求证： 24（a21）（提示 a 可表示为除以 6 余 1 或 5，即 a=6k1）a+b a+c ab ac 2a 2b a2 b2 b3 b5 a+b)5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页6把正整数按表中的规律排下去，问100 将排在哪一列？答：7已知正整数 n 不是 4 的倍数求证： 1n2n3n4n是 10 的倍数8. 任给 5 个整数，必能从中找到3 个，其和能被 10 整除，这是为什么？9对任意两个整数，它们的和、差、积中至

9、少有一个是 3 的倍数，试说明理由。10任意 10 个整数中，必有两个 , 它们的差是 9 的倍数。这是为什么？如果改为任意 n1 个，则必有两个 , 它们的差是 n 的倍数，试说明理由。11.证明x2+y2-8z=6 没有整数解12.从 1 开始的正整数依次写下去，直到第198 位为止即位1981234那么这个数用 9 除之，余数是练习 16 参考答案：2. 1 3. 日4. 设 n=3k, 3k+1, 3k-1讨论6.100除以 8 余数为 4，故在第五列7.可列表说明 n=4k+3, 4k+2, 4k+1, 4k 时，其和均为 0 8. 整数除以 3，余数只有 0，1，2 三种，按 5 个整数除以 3 的余数各种情况讨论10. 整数除以 9 余数只有 9 类，而 10 个11. x2+y2=8z+6, 右边除以 8，余数 是 6，左边整数 x,y 按除以 4 的余数，分为 4 类，4k,4k+1,4k+2,4k 1, 则 x2+y2除以 8 的余数12. 6 一二三四五1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页