2022年初中数学复习第四讲整式与分式 .pdf

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1、学习必备欢迎下载初中数学复习第四讲整式与分式一、知识结构说明：在本部分，代数式分为整式和分式讨论。在实数范围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。二、知识点梳理1.代数式 ：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做 代数式的值 。2.单项式 ：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独一个数也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（包括符号） ； 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 。3.多项式 ：由几个单项式的和组成的代数

2、式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的 项，不含字母的项叫做 常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的 次数。4.整式：单项式、多项式统称为整式。5.分式：两个整式 A、B 相除，即 AB 时，可以表示为AB.如果 B 中含有字母，那么AB叫做分式， A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母。6.同类项 ：所含的字母相同，且相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 ；一个多项式 合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变（合并同类项，法则不能忘，只求系数代数和，

3、字母指数不变样）。7.整式的加减 ：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项来完成整式的加减运算。去括号法则 ：括号前面是“ +”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号； 括号前面是 “”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号。（括号前面是“+”代数式分式整式分式的意义分式的基本性质分式的运算（加、减、乘、除）整数指数幂的运算整式的有关概念整式的运算（加、减、乘、除、乘方）因式分解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载号，去掉括号不变号；括号前面是“”号，去掉括号都变号。）

4、8.同底数幂的乘法 ：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。mnm+naa =a.（m、n都是正整数）9.幂的乘方 ：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nmm na= a.（m、n都是正整数）10.积的乘方 ：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即nnnab=a b.（n为正整数）11.整式的乘法 ： （1）单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。（2）单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。（3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一

5、个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得到的积相加。12.同底数幂的除法 ：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即mnmnaaa.（m、n是正整数且mn，a0）. 任何不等于零的数的零次幂为1，即010aa13.整式的除法 ： （1）单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式， 对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式。（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。14.分式的基本性质 ：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即AAMANBBMAN其中 M、N 为整式

6、，且 B0，M0，N0. 15.约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分；如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除外） ，那么这个分式叫做最简分式 ；化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数、相同因式的最低次幂。如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分。化简分式时要将分式化成最简分式或整式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载16.通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分。17.分式的运算 ： （1)分式

7、的乘除 ：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。用式子表示为：,.ACA CBDB DACADA DBDBCB C(2)分式的加减 ：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先将它们通分，然后进行加减。18.乘法公式 ： （1）平方差公式 ：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即22.ababab（2）完全平方公式 ：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即222222+2,2.a baabbabaabb19.因式分解 ：把一个多项式化为几个整式的积的形

8、式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 分解因式 。（1）提取公因式法 ： （一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式 。 ）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式后的式子放在括号里， 作为另一个因式， 这种分解因式的方法叫做提取公因式法。提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。（2）公式法 ：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。平方差公式 ： 如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差

9、的积。完全平方公式 ：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去） 这两个数的积的两倍， 那么就可以运用完全平方公式把它分解因式，它等于这两个数的和（或差）的平方。（3） 十字相乘法 ： 如果二次三项式2xpxq 中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载么2xpxq 就可以进行如下的因式分解，即22.xpxqxab xabxaxb一般的，上式可以用十字交叉线表示：x +a x +b （4）分组分解法 ：利用分组来分解因式的方法

10、叫做分组分解法。20.分式方程 ：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。一元方程的解也叫做方程的根，在分式方程变形时， 有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根。21.整数指数幂：为了使同底数幂相除的性质在m、n是正整数，且mn时仍成立，规定1ppaa（其中a0，p是自然数）。整数指数幂运算性质：mnm + naa = a（m、n为整数，a0）nmm na= a（m、n为整数，a0）nnnab=a b（ （n为整数，a0，b0）. 三、基本要求1.理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。2.通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想

11、；会求代数式的值。3.掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式。4.理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、二次项系数为1 时的十字相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法。5.理解分式的有关概念及其基本性质，掌握分式的加、减、乘、除运算。6.理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，掌握有关整数指数幂的乘（除） 、乘方等运算的法则。说明：在求代数式的值时，不涉及繁难的计算；不涉及繁难的整式运算，多项式除法中的除式限为单项式；在因式分解中， 被分解的多项式不超过四项， 不涉及添项、拆项等技巧；不涉及繁复的分式运算。精选学习资料 - - - -

12、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载四、重点和难点重点：整式与分式的运算，因式分解的基本方法，整数指数幂的运算。难点：选择适当的方法因式分解及代数式的混合运算。五、中考考点考点 1：代数式的有关概念考核要求：（1）掌握代数式的概念，会判别代数式与方程、不等式的区别；（2）知道代数式的分类及各组成部分的概念，如整式、单项式、多项式；（3）知道代数式的书写格式 . 注意单项式与多项式次数的区别.例 1 （1）下列选项中是代数式的是( ) A 38xyB 29xC 4xyD 5xy（2）31x2y 的系数是，次数是（3）221xx是次项

13、式。（4）将2233241xyx yxy按字母 x 的降幂排列分析： (1)用运算符号 和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式；(2)单项式的系数包括符号，次数是所有字母的指数的和；(3)次数最高项的次数就是这个多项式的次数； （4）按 x 的降幂排列，与 y 无关， y 相当于是常数。解： （1）A （2）133 （3）二三（4）3223241xx yxyy考点 2：列代数式和求代数式的值考核要求： （1）会用代数式表示常见的数量，会用代数式表示含有字母的简单应用题的结果；（2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子表述之间的转换；（3）在求代数式的值的过程中，进行有理数的运算. 例

14、 2 （1）用代数式表示：比 a 的 3 倍还多 2 的数；x 的立方根与 2 的和. （2）当 a=2，a=-3，a=12时，求代数式312a a的值。解： （1）3a+2 32x（2） 9 9 98精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载考点 3：整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则考核要求：（1）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则；（2）会用同底数幂的运算性质进行单项式的乘、除、乘方及简单混合运算；（3）会求多项式乘以或除以单项式的积或商；（4）会求两个或三个多项式的积. 注意：要灵活理解同类

15、项的概念. 例 3 （1）若3223mnx yx y与是同类项，则m + n _ （2）先化简，再求值：22 ()()a abab，其中2008a，2007b(3) 先化简，再求值：223(2)()()a babbbab ab，其中112ab，（4）已知 代数式2346xx的值为 9，则2463xx的值为_ 分析： （1）知道同类项的概念； （2） （3）要求熟练掌握整式的运算性质；（4）巧算。解： （1）5 （2）1 （3）1 （4）7 考点 4：乘法公式（平方差、两数和、差的平方公式）及其简单运用考核要求：（1）掌握平方差、两数和（差）的平方公式；（2）会用乘法公式简化多项式的乘法运算；（

16、3） 能够运用整体思想将一些比较复杂的多项式运算转化为乘法公式的形式 . 注意： （1）熟记平方差与完全平方公式。 （2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式. 例 4 (1) )(dcba； （2） （ab）(ab) ； (3) (ab)2；(4)(a b)2 . （5）计算： 10298； 2525xx；2224aaa. （6）计算：223xy；2abc；22xyxy. 解： （1）ac+ad+bc+bd （2）22ab（3）222aabb（4）222aabb（5）9996 ；2425x；416a（6）224129xxyy；222222abcabbcac

17、；2244xyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载考点 5：因式分解的意义考核要求：（1）知道因式分解的意义和它与整式乘法的区别；（2）会鉴别一个式子的变形过程是因式分解还是整式乘法. 例 5 在下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）. （A）22)(bababa；（B）2222)(bababa；（C ）)2(242223abababa； （D）3)2(322aaaa. 分析：因式分解与整式的乘法的过程正好相反。因式分解是从多项式变为几个整式的积， 而整式的乘法， 是把整式的积化为一个多项式或单项

18、式。解：A 考点 6：因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为 1 的十字相乘法）考核要求：掌握提取公因式法、公式法、分组分解法和二次项系数为1 时的十字相乘法等因式分解的基本方法. 例 6 (1) 下列分解因式正确的是（） A )1(222yxxxxyx B)32(322xxyyyxyxy C 2)()()(yxyxyyxx D 3)1(32xxxx（2）分解因式32aab= (3)分解因式221218xx（4）分解因式33222ax yaxyax y（5）将3214xxx 分解因式的结果是（6）分解因式 amanbmbn=_ _；解： （1）C （2） a aba

19、b（3）223x（4）2axy xy（5）212x x（6） abmn考点 7：分式的有关概念及其基本性质考核要求：（1）会求分式有无意义或分式为0 的条件；（2）理解分式的有关概念及其基本性质；（3）能熟练地进行通分、约分. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 7 （1）若分式2242xxx的值为零 , 则 x 的值是 ( ) A.2 或-2 B.2 C.-2 D.4 （2）当 a时，分式321aa有意义（3）分式1111x有意义的条件是分析： （1）分子为零，而分母不为零； （2） （3）分母

20、不为零。解： （1）C （2）32a（3）1x且2x说明： （1）若要分式有意义，则分母不为零（每一个分母）；（2）若要分式的值为零，则分子为零，且分母不能为零。考点 8：分式的加、减、乘、除运算法则考核要求：（1）掌握分式的运算法则；（2）能熟练进行分式的运算、分式的化简.例 8 （1）计算23651xxxxx2424422xyx yxxyxyxyxy（2）abababa2332222解： （1）8x；xyxy（2）3b 考点 9：正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂的概念考核要求：（1）理解正整数指数、零指数、负整数指数的幂的概念；（2）知道分数指数幂的意义；（3）能够运用零指

21、数的条件进行式子取值范围的讨论. 例 9 使021a有意义，则 a 的取值范围是分析：010aa解：12a考点 10：整数指数幂，分数指数幂的运算考核要求：（1）掌握幂的运算法则；（2）会用整数指数幂及负整数指数幂进行运算；（3）掌握负整数指数式与分式的互化；（4）知道分数指数式与根式的互化。例 10 （1）计算：223) 1()2()624(xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载（2）先化简，再求值：baabbabababa222222422, 其中 a=1,b=-1 解： （1）2334x

22、x（2）12说明： （1）熟记整数指数幂的运算法则；（2）记住：1ppaa（其中a0，p是自然数） ；（3）知道分数指数幂：mmmnnm-nna =a（a0），1=a （a0）a其中m 、n为正整数， n1.六、真题再现一、选择题1、 （2007湖北宜宾）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b a的结果是（）A2a+b B2aCaDb2、 （2007重庆）计算)3(623mm的结果是（）（A）m3（B）m2（C） m2（D） m33、 （2007广州）下列计算中，正确的是（）A33xxxB3xxxC32xxxD336xxx4、 （2007四川成都）下列运算正确的是（） 32

23、1xx22122xx236()aaa236()aa4、 （2007浙江嘉兴）化简： ( a1)2( a1)2（）（A）2（B）4（C）4a（D）2a22 5、 （2007哈尔滨）下列计算中，正确的是（）A 325ababB44aaaC623aaaD3262()a ba b(第 1 题图 ) b0a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载6 （2007福建晋江）对于非零实数m，下列式子运算正确的是（）A923)(mm；B623mmm；C532mmm；D426mmm。7 （2007福建晋江）下列因式分解正确的

24、是（）Axxxxx3)2)(2(342；B) 1)(4(432xxxx；C22)21(41xxx；D)(232yxyxyxyxxyyx。8、 （2007湖北恩施）下列计算正确的是（） A 、623aaa B 、4442bbb C、1055xxx D、87yyy9、 （2007山东淮坊） 代数式2346xx的值为 9，则2463xx的值为（）A7B18C12D910、 （2007江西南昌） 下列各式中，与2(1)a相等的是（）B A21aB221aaC221aaD21a二、填空题1、 （200浙江义乌）当 x=2，代数式 21x的值为 _2、 （2007湖北宜宾）因式分解： xy2 2xy+x

25、= .3、 （2007浙江金华）分解因式：2218x4、 （2007江苏盐城）分解因式：2x9。5、 （2007哈尔滨）分解因式：2233axay6、 （2007湖北恩施）分解因式a3ab27、 （2007 山东烟台）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果8、 （2007湖南株州）若3223mnx yx y与是同类项，则 m+n_. 9、 （2007浙江温州）计算：11mnmnm . 10、 （2007四川内江）化简：23224xxxx11、 （2007山东淮坊） 在实数范围内分解因式：2484mm三、解答题1、 （2007浙江温州）给出三个多项式：2221

26、111,31,222xxxxxx请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载2、（2007福建晋江）先化简，再求值：)1()1(2aaa，其中12a。3、（2007重庆）先化简，再求值：11211222xxxxxx，其中21x。4、（2007江西）化简：24214aaa5、 （2007 山东烟台）有意道题： “先化简，再求值：22361()399xxxxx，其中“x=一2007” 小亮同学做题时把“ x= 一2007”错抄成了“ x=2007” ，但他的计算结

27、果也是正确的，请你解释这是怎么,回事6、（2007江苏常州）24142xx7、（ 2007 哈 尔滨 ）先化 简 ，再求 代数 式22ababbaaa的 值， 其 中3 tan 301a，2 cos45b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载8、 （2007湖北恩施） 求代数式的值 : (12xxxx12)1xx, 其中 x31. 9、（2007 辽宁旅顺口）先化简代数式22221244abababaabb，然后选择一个使原式有意义的a、b 值代入求值 . 答案：一： D、B、C、D、C、D、D、C、

28、D、A、B 二： （1）3 （2）21x y（3） 233xx（4）33xx（5）3a xyxy（6）a abab（7）答案不唯一（8）5 （9）1m（10）1 （11）42121mm三：1.解：如选择多项式：22111,3122xxxx则：22211(1)(31)4(4)22xxxxxxx x2.解：13a，423；3.解：原式11x，当21x时，原式 2 4.解：原式aaaa244422aaaaa2)2)(2(22aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载5.解：原式)9(9696222xxxxx

29、2x9，x= 一2007或 x=2007，x29 都是 2016。6.解： 原式42(2)(2)(2)(2)xxxxx42(2)(2)xxx(2)(2)(2)xxx12x7.解：原式2222()abaabbabaaaaab1ab当33tan 30131313a，22 cos45212b原式1113331 13ab8.解：原式（1212xxxx）xx11)2(xxxxx1x+2 把 x31 代入原式33 9.解：22221244abababaabb=2(2 )12()()ababababab=2abababab=2ababab=bab当1ab时，原式11112精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页