2022年函数的奇偶性、单调性、最值综合问题探究 .pdf

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1、精品资料欢迎下载函数的奇偶性、单调性、最值综合探究新泰一中闫辉知识梳理1.函数的奇偶性：（1）奇函数：如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x） 或 f（x）+ f（x）=0 ，则称 f（x）为奇函数。（2） 偶函 数： 如果对 于 函数 f（ x） 的定 义域 内任意 一个x， 都有f（x）= f（x） 或 f（x） f（x）=0 ，则称 f（x）为偶函数 . （3）奇、偶函数的性质具有奇偶性的函数， 其定义域关于原点对称 （也就是说， 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 . 若奇函数的定义

2、域包含数0，则 f（0）=0. 奇函数的反函数也为奇函数. 奇偶函数的运算性质： 设 y=f(x)(x D1)为奇函数， y=g(x)(x D2)为偶函数，21DDD,则在 D 上有：奇奇奇（函数）偶偶偶（函数）奇奇偶（函数）偶偶偶（函数）奇偶奇（函数）2.函数的单调性：（1）增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数y=f（x） ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2时，都有 f（x1）f（x2） 或都有 f（x1）f（x2） ，那么就说 f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）. 如果函数 y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数） ，就说 f（x）在

3、这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间 .如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. （2）函数单调性可以从三个方面理解图形刻画：对于给定区间上的函数f（x） ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减 . 定性刻画：对于给定区间上的函数f（x） ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减 . 定量刻画，即定义 . （3）关于函数单调性的几个重要结论和函数的单调性：若 y=f(x) 与 y=g(x) 在公共

4、区间 D内都是增 （减） 函数， 则函数 y=f(x)+g(x)在 D内是增（减）函数。若 y=f(x) 在区间 D 内是增（减）函数，则函数y=kf(x) k0 (k0)在 D内是增（减）函数。奇偶函数在对称区间上的单调性奇函数在 (a,b) 和(-b,-a) (ab)上单调性相同，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页精品资料欢迎下载偶函数在 (a,b) 和(-b,-a) (ab)上单调性相反。3.函数的最值：（1）函数的最值的定义：定义：一般地，函数 y=f(x) 在 x0处的函数值是 f(x0） ，如果对于定义域

5、内任意 x， 不等式 f(x) f(x0) （f(x) f(x0) ） 都成立， 那么 f(x0） 叫做函数 y=f(x)的最小值，（最大值）记做：ymin=f(x0) （ymax=f(x0)）（2）求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。（3）数形结合法：利用函数图象求出函数的最值. （4）函数的单调性法 . 一、函数奇偶性的判定问题。【例 1】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1） xx11；（3）f（x）=2

6、|2|12xx；（4）f（x）=).0()1(),0()1(xxxxxx剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断. 解： （1）函数的定义域 x（， +） ，对称于原点 . f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x） ，f（x）=|x+1|x1|是奇函数 . （2）先确定函数的定义域.由xx110，得 1x1，其定义域不对称于原点，所以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由, 02|2|,012xx得.40, 11xxx且故 f（x）的定义域为 1，0）（0，1 ，关于原点对称，且有 x+20.从而有 f（x）= 2212xx

7、=xx21，这时有 f（x）=xx2)(1=xx21=f（x） ，故 f（x）为奇函数 . （4）函数 f（x）的定义域是（， 0）（ 0，+） ，并且当 x0时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页精品资料欢迎下载x0，f（x）=（x） 1（ x） =x（1+x）=f（x） （x0）. 当 x0 时， x0， f（x）=x（1x）=f（x） （x0）. 故函数 f（x）为奇函数 . 评述： （1）分段函数的奇偶性应分段证明. （2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 二、奇偶函数的解析式问题。【例 2】已

8、知 f（x）是奇函数，当 x（0，1）时， f（x）=lgx11，那么当x（ 1，0）时， f（x）的表达式是 _. 解析：当 x（1，0）时，x（0，1） ，f（x）=f（x）=lgx11=lg（1x）. 答案： f(x)= lg（1x）三、奇偶函数的图象问题。【例 3】下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与y 轴相交奇函数的图象一定通过原点偶函数的图象关于 y 轴对称既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR）( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0 x（ a，

9、a） . 答案： A 四、函数单调性的判定问题。【例 4】证明：函数xxxf3)(是增函数【例 5】讨论函数 f（x）=12xax（a0）在 x（ 1，1）上的单调性 . 解：设 1x1x21，则 f（x1）f（x2）=1211xax1222xax=) 1)(1(222122121221xxaxxaxaxxax=) 1)(1()1)(22212112xxxxxxa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页精品资料欢迎下载1x1x21，x2x10，x1x2+10， （x121） （x221）0.又 a0，f（x1）f（x2

10、）0，函数 f（x）在（ 1，1）上为减函数 . 五、函数单调区间的求法问题。【例 6】 求函数 y=x+x1的单调区间 .（对号函数）【增减减增】剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法； （2）定义法； （3）利用已知函数的单调性 .但本题图象不易作，利用 y=x 与 y=x1的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断 f（x2）f（x1）的正负 . 解：首先确定定义域： x|x0，在（， 0）和（ 0，+）两个区间上分别讨论 . 任取 x1、x2（0，+）且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=x1+11xx221x=（x1x2）

11、+2112xxxx=（x1-2x） （1211xx）=（x1-2x）21211xxxx（1）当 x1、x2（0，1）时，f（x1）f（x2）0，为减函数 . （2）当 x1、x2（1，+）时，f（x1）f（x2）0，为增函数 . 同理可求（ 3）当 x1、x2（ 1，0）时，为减函数；（4）当 x1、x2（， 1）时，为增函数 . 评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（ 1，0）（ 0，1）上是减函数，在（， 1）（ 1，+）上是增函数，或说f（x）在（， 0）（0，+）上是单调函数 .排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相

12、交区间的并. 深化拓展求函数 y=x+xa（a0）的单调区间 . 提示：函数定义域x0，可先考虑在（ 0，+）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（，0）上的单调性 . 答案：在（，a ， （a，+）上是增函数，在（ 0，a ， （a，0）上是减函数 . 【例 7】求下列函数的单调区间：)0(1)1(2xxxy122)2(xxy3|2)3(2xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页精品资料欢迎下载六、函数奇偶性与单调性的应用。【例 8】 （1）已知函数,3)2(,5)(3fbxaxxf求)2(f。（2）已

13、知)( xf是偶函数，)(xg为奇函数，xxxgxf2)()(2求 f（x） 。（3）求函数45)(22xxxf的值域。七、二次函数在区间上的最值问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页精品资料欢迎下载【例 9】求函数1322xxy在区间2 ,1上的最大值和最小值。【例 10】求函数322xxy在区间1,aa上的最大值。【例 11】求函数122axxy在区间2 ,0上的最大值和最小值。闯关训练1.已知函数 f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）=ax3bx2cx 是A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D

14、.非奇非偶函数解析：由 f（x）为偶函数，知 b=0，有 g（x）=ax3cx（a0）为奇函数 . 答案： A 2.已知 f（x） ax2bx3ab 是偶函数，且其定义域为a1，2a ，则a_ ，b_. 解析：定义域应关于原点对称，故有 a12a，得 a31. 又对于所给解析式，要使f（x）f（x）恒成立，应 b0. 答案：310 3.给定函数 :y=x1（x0） ； y=x2+1； y=2x； y=log2x； y=log2（x+12x） .在这五个函数中，奇函数是_，偶函数是 _，非奇非偶函数是_. 答案：4.下列函数中，在区间（ 0，2）上为增函数的是A.y=x+1 B.y=xC.y=x

15、24x+5 D.y=x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页精品资料欢迎下载答案： B 5.函数 y=loga（x22x3） ，当 x=2 时，y0，则此函数的单调递减区间是A.（， 3）B.（1，）C.（， 1）D.（1，）解析：当 x=2 时，y=loga50，a1.由 x22x30 x 3 或 x1，易见函数 tx22x3 在（，3）上递减，故函数 y=loga（x22x3） （其中 a1）也在（， 3）上递减 . 答案： A 6.（2003 年北京朝阳区模拟题）函数y=log21|x3|的单调递减区间是_. 解

16、析：令 u=|x3|，则在（， 3）上 u 为 x 的减函数，在（ 3，+）上 u为 x 的增函数 .又0211，在区间（ 3，）上， y为 x 的减函数 . 答案： （3，+）7.有下列几个命题：函数 y=2x2+x+1 在（0，）上不是增函数；函数y=11x在（，1）（ 1，）上是减函数；函数y=245xx的单调区间是 2，+） ；已知 f（x）在 R 上是增函数，若 a+b0，则有 f（a）+f（b）f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是 _. 解析：函数y=2x2+x+1 在（0，+）上是增函数，错；虽然（， 1） 、 （ 1，）都是 y=11x的单调减区间，但求并集以后就不再符合减

17、函数定义，错；要研究函数y=245xx的单调区间，首先被开方数5+4xx20，解得 1x5，由于 2，+）不是上述区间的子区间，错；f（x）在 R 上是增函数，且 ab，ba，f（a）f（b） ，f（b）f（a） ，f（a）+f（b）f（a）+f（b） ，因此是正确的 . 答案：8.若 f（x）=1222xxaa为奇函数，求实数a 的值. 解： xR，要使 f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（x）=0，即a122x+a122x=0，得 a=1. 9.（文）如果函数 f（x）=x2+2（a1）x+2 在区间（， 4上是减函数，那么实数 a 的取值范围是 _. 解析：对称轴 x=1a，由 1

18、a4，得 a3. 答案： a3 巩固：如果函数 f（x）= x2+2（a1）x+2的单调减区间是（，4 ，那么实数 a的值是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页精品资料欢迎下载答案： a=3 （理） （2003 年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y=f（x）的图象与 y=2x的图象关于直线y=x 对称，则函数y=f（ 4xx2）的递增区间是_. 解析：先求y=2x的反函数，为y=log2x，f（x）=log2x，f（4xx2）=log2（4xx2）.令 u=4xx2，则 u0，即 4xx20.x（0，4）.

19、 又u=x2+4x 的对称轴为 x=2，且对数的底为 21，y=f（4xx2）的递增区间为（0，2）. 答案： （0，2）10.讨论函数 f（x）=21xax（a21）在（ 2，+）上的单调性 . 解：设 x1、x2为区间（ 2，+）上的任意两个值，且x1x2，则f（x1）f（x2）=21212211xaxxax=)2)(2()2)(1()2)(1(211221xxxaxxax=)2)(2()21)(2112xxaxx. x1（ 2，+） ，x2（ 2，+）且 x1x2，x2x10，x1+20，x2+20. 当 12a0，即 a21时，f（x1）f（x2） ，该函数为减函数；当 12a0，即

20、a21时，f（x1）f（x2） ，该函数为增函数 . 11.若奇函数 f（x）在a，b上是增函数，且最小值是1，则 f（x）在b，a上是A.增函数且最小值是 1 B.增函数且最大值是 1 C.减函数且最小值是 1 D.减函数且最大值是 1 解析： f（a）=1，f（a）=1. 答案： B 12.已知 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（1）=1，若 a、b1，1 ，a+b0 时，有babfaf)()(0. 判断函数 f（x）在 1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论. 解：任取 x1、x21，1 ，且 x1x2，则 x21，1.又 f（x）是奇函数，于是f（x1）f（x2）=f（x1

21、）+f（x2）=)()()(2121xxxfxf （x1x2）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页精品资料欢迎下载据已知)()()(2121xxxfxf0，x1x20，f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2）. f（x）在 1，1上是增函数 . 知识梳理考卷1、函数的定义：设A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有的值 f（x）和它对应，那么就称 f:：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y = ，xA，其中 x 叫做.。x 的取值范

22、围 A 叫做函数的；与 x 的值相对应的 y 的值叫做，函数值的集合 f（x）|xA 叫做. 2、常见函数定义域：xy1，定义域为 _；xy，定义域为 _；xyalog；定义域为 _。其中 a的取值范围是_。3、 函数单调性： 已知函数 yf (x)， 给定区间D， 对任意 x1， x2D， 设 x1x2， 如果_，就称函数f (x)在区间上为 _，如果 _，就称 _减函数。 反之：如果函数 f (x)在区间上为减函数，则对区间内任意x1， x2， x1x2_。如果函数f (x)在区间上为增函数，_ 。其中区间称为函数 f (x)_ 。4、函数奇偶性：对函数f (x)定义域内的任意一个x，如果

23、都有 _，那么函数f (x)就叫做奇函数。如果都有_,那么函数f (x)_ 。函数定义域关于原点对称是一个函数是奇函数或偶函数的_条件。也就是说：如果函数定义域关于原点非对称，则函数一定是_函数。5、f (x)为奇函数 f (x)图像关于 _对称；f (x) 为偶函数 f (x)图像关于 _对称。6、复合函数单调性：设y = f (x)的定义域为D，yg (x)定义域为，值域为，且，f (x)在上是单调的，g (x) 在上也是单调的，则函数y = f g (x) 在其定义域上也是单调的，填表：函数单调性y = f (x) y = g(x) y = f g(x) 单调性用、表示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页