2022年函数的周期性与对称性 .pdf

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1、精品资料欢迎下载函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数y f(x) 定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且2|a| 是它的一个周期。f(x a) f(x a) f(x a) f(x) f(x a)1/f(x) f(x a) 1/f(x) 2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x) 同时关于直线xa 与 xb 轴对称， 则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|a b| 性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（ b，0）中心对称，则函数f(x) 必为周期函数，且T2|a b| 性质 7、若函数 yf(x)既关

2、于点（ a，0）中心对称，又关于直线xb 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T4|a b| 3. 函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()f xafxb，则( )fx具有周期性；若()()f axf bx，则( )f x具有对称性： “内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论 1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点

3、),2(cba对称推论 1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称例题分析：1设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10 x时，xxf)(，则)5.47(f等于( ) （A）0.5 （ B）5. 0（C）1.5 （D）5. 12、 （山东）已知定义在R上的奇函数)(xf满足(2)( )f xf x，则(6)f的值为（）A 1 B0 C 1 D2 3设)(xf是定义在R上的奇函数，(1)2,(1)(6),ff xf x求(

4、10).f4函数)(xf对于任意实数x满足条件1(2)( )f xf x，若(1)5f，则(5)ff_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页精品资料欢迎下载5已知)(xf是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线1x对称。（1）求(0)f的值； （2）证明)(xf是周期函数；（3） 若( )( 01 )f xxx， 求xR时， 函数)(xf的解析式，并画出满足条件的函数)(xf至少一个周期的图象。6.设 f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 f(x2) f(x)当 x0,2时， f(x)2xx2.(1)

5、求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 2,4时，求 f(x)的解析式巩固练习：1函数f(x)是周期为4 的偶函数，当x0,2时， f(x)x1，则不等式xf(x)0 在1,3上的解集为 () A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1) 2设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的xR 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x0,1时， f(x)121x，则： 2 是函数 f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在 (2,3)上递增；函数 f(x)的最大值是1，最小值是0；当 x(3,4)时， f(x)12x3. 其中所有正确命题的序号是_3设定

6、义在R 上的奇函数yf(x)，满足对任意tR，都有 f(t)f(1t)，且 x 0，12时，f(x) x2，则 f(3)f 32的值等于 ()A12B13C14D154若偶函数y f(x)为 R 上的周期为6 的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则 f( 6)等于 _5、 （ 1）_)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（; （2）_)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（3）若),2()(xafxf设个不同的实数根，则有nxf0)(_21nxxx. 6设 f(x)是(， )上的奇函数， f(x2) f(x)，当 0 x1 时， f

7、(x) x. (1)求 f(3)的值； (2)当 4x 4时，求 f(x)的图像与x 轴所围成图形的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页精品资料欢迎下载7 设)(xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函数， 且)(xf是偶函数， 在区间3, 2上，.4)3(2)(2xxf求2, 1x时，)(xf的解析式 . 8. 设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf, 0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点. 9. 已知函数( )yf x是定义在R上的周期函

8、数， 周期5T，函数( )yf x ( 11)x是奇函数 . 又知( )yf x在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在2x时函数取得最小值5. （1）证明：(1)(4)0ff； （ 2）求( ),1,4yf xx的解析式；（3）求( )yf x在4,9上的解析式 .10.已知)21121()(xxxf， （1）判断)(xf的奇偶性；（2）证明：0)(xf11 、 定 义 在 11，上 的 函 数)(xfy是 减 函 数 ， 且 是 奇 函数 ， 若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围。12 （重庆文）已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数。（）求,a b的值；

9、（）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围。复习题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页精品资料欢迎下载1已知数列na，其前n项和为nS，点( ,)nn S在抛物线23122yxx上；各项都为正数的等比数列nb满足13511,1632b bb. （）求数列na，nb的通项公式；（）记nnnCa b,求数列nC的前n项和nT2在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且222823ABCbcaS（其中ABCS为ABC的面积）（）求2sincos22BCA； （）若2b，A

10、BC的面积为3，求a3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（ 1）若所抽取的20 件日用品中，等级系数为4 的恰有 3 件，等级系数为5 的恰有 2 件，求a，b，c的值；（）在（ 1）的条件下，将等级系数为4 的 3 件日用品记为1x，2x，3x，等级系数为5的 2 件日用品记为1y，2y，现从1x，2x，3x，1y，2y这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图，在三棱锥ABCP中，

11、PA底面ABC，ACBC，H为PC的中点，2PAAC，1BC. （）求证：AH平面PBC；（）求经过点PABC的球的表面积。5.已知抛物线28(8)xy与y轴交点为M，动点,P Q在抛物线上滑动，且0MP MQ（1）求PQ中点R的轨迹方程W；（2）点, , ,A B C D在W上，,A D关于y轴对称， 过点D作切线l，且BC与l平行，点D到,AB AC的距离为12,dd，且122 |ddAD，证明：ABC为直角三角形6. 设函数2ln( )xf xx. （1）求( )f x的极大值；（2）求证：2*12 ln(1) (2)2 1()(21)()ennnnnnnN（3）当方程( )0()2af

12、 xaRe有唯一解时， 方程222( )( )0axtxtg xtxfxx也有唯一解，求正实数t的值；函数的周期性与对称性X1 2 3 4 5 频率a0 2 0 45 bcA B C P H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页精品资料欢迎下载1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数y f(x) 定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且2|a| 是它的一个周期。f(x a) f(x a) f(x a) f(x) f(x a)1/f(x) f(x a) 1/f(x) 2、函数的

13、对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x) 同时关于直线xa 与 xb 轴对称， 则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|a b| 性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（ b，0）中心对称，则函数f(x) 必为周期函数，且T2|a b| 性质 7、若函数 yf(x)既关于点（ a，0）中心对称，又关于直线xb 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T4|a b| 3. 函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()f xafxb，则( )fx具有周期性；若()()f axf bx，则( )f x具有对称性： “内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、)()(xbfxaf)

14、(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论 1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论 1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称例题分析：1设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10 x时，xxf)(

15、，则)5.47(f等于( ) （A）0.5 （ B）5. 0（C）1.5 （D）5. 12、 （山东）已知定义在R上的奇函数)(xf满足(2)( )f xf x，则(6)f的值为（）A 1 B0 C 1 D2 3设)(xf是定义在R上的奇函数，(1)2,(1)(6),ff xf x求(10).f4函数)(xf对于任意实数x满足条件1(2)( )f xf x，若(1)5f，则(5)ff_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页精品资料欢迎下载5已知)(xf是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线1x对称。（1）求(0)f

16、的值； （2）证明)(xf是周期函数；（3） 若( )( 01 )f xxx， 求xR时， 函数)(xf的解析式，并画出满足条件的函数)(xf至少一个周期的图象。6.设 f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 f(x2) f(x)当 x0,2时， f(x)2xx2.(1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 2,4时，求 f(x)的解析式解： (1)证明： f(x2) f(x)， f(x4) f(x2)f(x)f(x)是周期为4 的周期函数(2)x2,4， x4， 2， 4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2 x2 6x8. 又 f(4x)f(x) f(x)， f(x)

17、 x26x8，即 f(x)x26x8，x2,4巩固练习：1函数f(x)是周期为4 的偶函数，当x0,2时， f(x)x1，则不等式xf(x)0 在1,3上的解集为 () A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1) 解析： 选 Cf(x)的图像如图当 x(1,0)时，由 xf(x)0 得 x(1,0)；当 x(0,1)时，由 xf(x)0 得 x(1,3)故 x(1,0)(1,3)2设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的xR 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x0,1时， f(x)121x，则： 2 是函数 f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递

18、减，在 (2,3)上递增；函数 f(x)的最大值是1，最小值是0；当 x(3,4)时， f(x)12x3. 其中所有正确命题的序号是_解析： 由已知条件：f(x2)f(x)，则 yf(x)是以 2 为周期的周期函数，正确；当 1 x0 时 0 x1，f(x) f(x)121x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页精品资料欢迎下载函数 yf(x)的图像如图所示：当 3x4 时， 1x 40，f(x)f(x4)12x3，因此正确，不正确答案： 3设定义在R 上的奇函数yf(x)，满足对任意tR，都有 f(t)f(1t)，

19、且 x 0，12时，f(x) x2，则 f(3)f 32的值等于 () A12B13C14D15解析： 选 C由 f(t)f(1t)得 f(1t)f(t) f(t)，所以 f(2 t) f(1t)f(t)，所以 f(x)的周期为 2. 又 f(1)f(11)f(0)0，所以 f(3)f32f(1)f12012214. 4若偶函数y f(x)为 R 上的周期为6 的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则 f( 6)等于 _解析： yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(x a)(3x3)，f(x)x2 (1a)xa,1a 0. a1.f(x)(x1)(x1)( 3x3)f(6)f

20、(6 6)f(0) 1. 5、 （ 1）1)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（; （2）2)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（3）若),2()(xafxf设个不同的实数根，则有nxf0)(naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121. ),212(111axxaxkn时，必有当6设 f(x)是(， )上的奇函数， f(x2) f(x)，当 0 x1 时， f(x) x. (1)求 f(3)的值； (2)当 4x 4时，求 f(x)的图像与x 轴所围成图形的面积解： (1)由 f(x2) f(x)得， f(x4)f(x2

21、)2 f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以f(3)f(34) f(1) 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页精品资料欢迎下载(2)由 f(x)是奇函数与f(x2) f(x)，得 f(x1)2 f(x1)f(x 1)，即 f(1x)f(1 x)故知函数yf(x)的图像关于直线x1 对称又 0 x 1 时， f(x) x，且 f(x)的图像关于原点成中心对称，则1x0 时， f(x) x，则 f(x)的图像如图所示当 4x4 时，设 f(x)的图像与x 轴围成的图形面积为S，则 S 4

22、SOAB41221 4. 7 设)(xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函数， 且)(xf是偶函数， 在区间3, 2上，.4)3(2)(2xxf求2, 1x时，)(xf的解析式 . 解：当2,3x，即3 ,2x，4)3(24)3(2)()(22xxxfxf又)(xf是以 2 为周期的周期函数，于是当2, 1x，即243x时，).21(4)1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有).21(4)1(2)(2xxxf8. 设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf, 0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点. 解：由题

23、设知函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得)(xf是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间10,0上，,)(0)0()22()22()4(, 0)0(不能恒为零且xffffff故)(xf图象与x轴至少有2 个交点 . 而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30上)(xf图象与x轴至少有13 个交点 . 9. 已知函数( )yf x是定义在R上的周期函数， 周期5T，函数( )yf x ( 11)x是奇函数 . 又知( )yf x在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在2x时函数取得最小值5. （1）证明：(1)(4)0ff； （ 2）求( ),1,4yf

24、 xx的解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页精品资料欢迎下载（3）求( )yf x在4,9上的解析式 .解 ： ( )f x是 以5为 周 期 的 周 期 函 数 ， 且 在 1,1上 是 奇 函 数 ，(1)( 1)(51)(4)ffff，(1)(4)0ff. 当1,4x时，由题意可设2( )(2)5 (0)f xa xa，由(1)(4)0ff得22(12)5(42)50aa，2a，2( )2(2)5(14)f xxx.( )( 11)yfxx是奇函数，(0)0f，又知( )yfx在0,1上是一次函数，可设

25、( )(01)f xkxx而2(1)2(12)53f，3k，当01x时，( )3fxx，从而10 x时，( )()3f xfxx，故11x时，( )3f xx. 当46x时，有151x，( )(5)3(5)315f xf xxx. 当69x时，154x，22( )(5)2(5)252(7)5f xf xxx2315,46( )2(7)5,69xxf xxx. 10.已知)21121()(xxxf， （1）判断)(xf的奇偶性；（2）证明：0)(xf11 、 定 义 在 11，上 的 函 数)(xfy是 减 函 数 ， 且 是 奇 函数 ， 若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围。12

26、（重庆文）已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数。（）求,a b的值；（）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页精品资料欢迎下载 10(1) 偶函数 (2)奇函数 11(1)偶函数 12、3331,2复习题：2已知数列na，其前n项和为nS，点( ,)nn S在抛物线23122yxx上；各项都为正数的等比数列nb满足13511,1632b bb. （）求数列na，nb的通项公式；（）记nnnCa b,求数列nC的前n项和nT

27、2在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且222823ABCbcaS（其中ABCS为ABC的面积）（）求2sincos22BCA； （）若2b，ABC的面积为3，求a3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（ 1）若所抽取的20 件日用品中，等级系数为4 的恰有 3 件，等级系数为5 的恰有 2 件，求a，b，c的值；（）在（ 1）的条件下，将等级系数为4 的 3 件日用品记为1x，2x，3x，等级系数为5的 2 件日用品记为1y，2y，现从1x，2x，3x，1y，2

28、y这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图，在三棱锥ABCP中，PA底面ABC，ACBC，H为PC的中点，2PAAC，1BC. （）求证：AH平面PBC；（）求经过点PABC的球的表面积。5.已知抛物线28(8)xy与y轴交点为M，动点,P Q在抛物线上滑动，且0MP MQ（1）求PQ中点R的轨迹方程W；（2）点, , ,A B C D在W上，,A D关于y轴对称， 过点D作切线l，且BC与l平行，点D到,AB AC的距离为12,dd，且122 |ddAD，证明：ABC为直角三角形6. 设函数2ln(

29、 )xf xx. （1）求( )f x的极大值；（2）求证：2*12 ln(1) (2)2 1()(21)()ennnnnnnN（3）当方程( )0()2af xaRe有唯一解时， 方程222( )( )0axtxtg xtxfxx也有唯一解，求正实数t的值；X1 2 3 4 5 频率a0 2 0 45 bcA B C P H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页精品资料欢迎下载复习题答案： 1、解：（）23122nSnnQ，当1n时，112aS22131352(1)(1)12222nnSnnnn当时，131nnn

30、aSSn数列na是首项为2，公差为 3 的等差数列，31nan又各项都为正数的等比数列nb满足1 3511,432bbb421111,432bb qb q，解得111,22bq，1( )2nnb()由题得1(31)( )2nncn21111125( ).(34)()(31)( )2222nnnTnn231111112 ()5 ().(34)( )(31)( )22222nnnTnn-得2311111113 ()( )()(31)( )22222nnnTnL11111()14213(31)()1212nnn15113( )(31)( )222nnn3552nnnT12 分2、解析：（）由已知得A

31、bcAbcsin21382cos2即0sin4cos3AA53sin A54cosA212coscos22cos2cos12cos2sin22AAAAACB505921524251626 分（）由（）知53sin A2,3s i n21bAbcSABC, Abcaccos265222又13545222542a13a12 分3、.解： （1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 1 分因为抽取的20 件日用品中，等级系数为4 的恰有 3 件，所以b=320=0.15 3 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

32、第 11 页，共 13 页精品资料欢迎下载等级系数为5 的恰有 2 件，所以c=220=0.1 4 分从而 a=0.35-b-c=0.1 所以 a=0.1 b=0.15 c=0.1 6 分（ 2 ） 从 日 用 品1X,2X,3X,1Y,2Y中 任 取 两 件 ， 所 有 可 能 结 果(1X,2X),(1X,3X),(1X,1Y),(1X,2Y),（2X,3X）,( 2X,1Y),(2X,2Y),(3X,1Y), (3X,2Y),(1Y,2Y) 共 10 种，9 分设事件 A表示“从日用品1X,2X,3X,1Y,2Y中任取两件，其等级系数相等”，则 A包含的基本事件为(1X,2X),(1X,

33、3X),(1X,2X),(1Y,2Y) 共 4 个， 11 分故所求的概率P(A)= 410=0.4 12 分4、 （） 证明 ：因为PA底面ABC，BC底面ABC，所以PABC，又因为ACBC，PAACA， 所以BC平面PAC，又因为AH平面PAC，所以BCAH. 因为，ACPAH是PC中点，所以AHPC，又因为PCBCC，所以AH平面PBC. 6 分（）9S12 分5、解：（1）显然直线MP的斜率存在且不为0，设为k，设PQ的中点R( , )x y直线:8MPykx与28(8)xy联立解得：2(8 ,88)Pkk同理：288(,8)QkkPQ的中点2244(4,48)Rkkkk2244,4

34、48xkkykk轨迹方程：24xy6 分（2）由24xy得：2xy，设222012012(,),(,),(,)444xxxD xC xB x则200(,)4xAx12011(),42BCkxxx1202xxx201011(2,(2) )4Bxxxx101()4ACkxx又011()4ABkxx则ACABkk则DACDAB12dd又122 |ddAD则045DACDABABC为直角三角形13 分6、解：（1）432 ln12ln( ).xxxxfxxx由( )0fx得,xex(0,)ee(,)e( )fx0 ( )f x递增极大值递减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

35、 - - - - - - -第 12 页，共 13 页精品资料欢迎下载从而( )f x在(0,)e单调递增 ,在(,)e单调递减 . 1( )().2f xfee极大4 分（2）证明：1( )().2f xfee极大1( )2f xe2l n12xxe21ln2xxe22l nexx分别令1,2,3,xn22l n 11e，22l n 22e，22l nenn22222 (ln1ln 2ln3ln)123enn(1)(21)2 ln(1) (2)2 16n nnennn2*12 ln(1) (2)2 1()(21)()ennnnnnnN9 分（3）由（ 1）的结论：方程( )0()2af xa

36、Re有唯一解1a方程222( )( )0axtxtg xtxfxx有唯一解即：22 ln20(0)xtxtxx有唯一解设( )G x22 ln20(0)xtxtxx22( )()G xxtxtx由( )0G x则20 xtxt设20 xtxt的两根为12,x x，不妨设12xx0t120 xx221244,22ttttttxx( )G x在2(0,)x递减，2(,)x递增要使( )G x22 ln20(0)xtxtxx有唯一解，则2()0G x即：22222 ln20 xtxtx又2220 xtxt 由得：222 ln0txtxt即：222ln10 xx21x，又2x是方程20 xtxt的根22412tttx12t14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页