2022年函数图像知识点梳理、经典例题及解析、高考练习题带答案 .pdf

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1、1 函数的图像【考纲说明】1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。【趣味链接】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！如图一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不到瓶中的水于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随着石子的增多而上升，乌鸦喝到了水但是还没解渴，瓶中的水面就下降到乌鸦够不着的高度乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，呱呱的飞走了【知识梳理】一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值

2、（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面二、函数图像的变化1、平移变换： （ 1）水平平移：函数()yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移|a个单位即可得到；（2）竖直平移：函数( )yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向上(0)a或向下(0)a平移|a个单位即可得到 y=f(x)h左移y=f(x+h); y=f(x) h右移y=f(xh); y=f(x) h上移y=f(x)+h; y=f(x) h下移y=f(x)h.2、对称变换：（ 1）函数()yfx的图像可以将函数(

3、 )yf x的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数( )yf x的图像可以将函数( )yf x的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1( )yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线yx对称得到y=f(x) 轴xy= f(x); y=f(x) 轴yy=f(x); y=f(x) ax直线y=f(2a x); y=f(x) xy直线y=f1(x); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 y=f(x) 原点y= f( x).提示： a.

4、 若f(ax) f(bx) ，x R恒成立，则yf(x) 的图象关于xab2成轴对称图形，若f(ax) f(bx) ，xR，则yf(x) 的图象关于点(ab2，0) 成中心对称图形b. 函数yf(ax) 与函数yf(bx) 的图象关于直线x12(ba) 对称 . 3、翻折变换： （1）函数|( ) |yf x的图像可以将函数( )yf x的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留( )yf x的x轴上方部分即可得到；（2）函数(|)yfx的图像可以将函数( )yfx的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留( )yf x在y轴右边部分即可得到y=f(x)c

5、baoyxy=|f(x)|cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx4、伸缩变换： （1）函数( )yafx (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的a倍得到；（2）函数()yf ax (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的1a倍得到y=f(x)xy=f(x); y=f(x)yy=f(x).【经典例题】【例 1】函数( )yf x与( )yg x的图像如下图：则函数( )( )yf xg x的图像可能是（）y=f(x)oyxy=g(x)oyx精选学习资料 - -

6、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 oyxoyxoyxoyxA. B. C. D. 【解析】函数( )( )yf xg x的定义域是函数( )yf x与( )yg x的定义域的交集(,0)(0,)，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当x 为很小的正数时( )0f x且( )0g x，故( )( )0f xg x。选 A. 【例 2】说明由函数2xy的图像经过怎样的图像变换得到函数321xy的图像【解析】方法一： （1）将函数2xy的图像向右平移3 个单位，得到函数32xy的图像；（2）作出函数32xy的图像关于y轴对称的图像，

7、得到函数32xy的图像；（3）把函数32xy的图像向上平移1 个单位，得到函数321xy的图像方法二：（1）作出函数2xy的图像关于y轴的对称图像，得到2xy的图像；（2）把函数2xy的图像向左平移3 个单位，得到32xy的图像；（3）把函数32xy的图像向上平移1 个单位，得到函数321xy的图像【例 3】设曲线C的方程是3yxx，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(0)t个单位长度后得到曲线1C，（1）写出曲线1C的方程；（2）证明曲线C与1C关于点(,)2 2tsA对称；（3）如果曲线C与1C有且仅有一个公共点，证明：24tst【解析】（1）曲线1C的方程为3()()yxtxts；（

8、2 ） 证 明 ： 在 曲 线C上 任 意 取 一 点111(,)Bxy， 设222(,)Bxy是1B关 于 点A的 对 称 点 ， 则 有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 1212,2222xxtyys，121,xtxysy代入 曲线C的方 程， 得22,xy的方 程 ：3222()()sytxtx即3222()()yxtxts可知点222(,)Bxy在曲线1C上反过来，同样证明，在曲线1C上的点A的对称点在曲线C上因此，曲线C与1C关于点A对称（3）证明：因为曲线C与1C有且仅有一个公共点，方程组33()(

9、)yxxyxtxts有且仅有一组解，消去y，整理得22333()0txt xtts，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根，43912 ()0tt tts，即得3(44 )0t tts，因为0t，所以34tst【例 4】 （1）试作出函数1yxx的图像；（2）对每一个实数x，三个数2, ,1x xx中最大者记为y，试判断y是否是x的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？【解析】 （ 1）1( )f xxx，( )f x为奇函数，从而可以作出0 x时( )fx的图像，又0 x时，( )2fx，1x时，( )f x的最小值为2，图像最低点为(1,

10、2)，又( )f x在(0,1)上为减函数， 在(1,)上是增函数，同时1( )(0)f xxx xx即以yx为渐近线，于是0 x时，函数的图像应为下图，( )f x图象为图：（2）y是x的函数 ,作出2123( ),( ),( )1g xx gxx gxx的图像可知，( )f x的图像是图中实线部分定义xyOxyOOxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 域为R；值域为1,)；单调增区间为 1,0),1,)；单调减区间为(, 1),0,1)；当1x时，函数有最小值 1；函数无最大值【例 5】已知函数f(x) |

11、x24x3| (1) 求函数f(x) 的单调区间，并指出其增减性；(2) 若关于x的方程f(x) ax至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围【解析】作出图象如图所示(1) 递增区间为 1,2，3 ， ) ，递减区间为( ， 1 ，2,3(2) 原方程变形为 |x24x3| xa，于是，设yxa，在同一坐标系下再作出yxa的图象如图则当直线yxa过点 (1,0)时a 1；当直线yxa与抛物线yx24x 3相切时，由yxayx24x3?x23xa3 0. 由94(3a) 0. 得a34. 由图象知当a 1，34 时方程至少有三个不等实根【例 6】 作图： (1)ya| x 1|，(2)ylo

12、g|x1|a，(3)y |loga(x1)|(a1) 【解析】 (1) 的变换是：yaxya| x|ya| x1|，而不是：yaxyax1ya| x1|，这需要理解好yf(x) yf(|x|)的交换 (2) 题同 (1) ，(3) 与(2) 是不同的变换，注意区别【课堂练习】1、下列每组两个函数的图象中，正确的是（）1y=logaxy=ax+1-11oyxy=ax1y=ax+11oyxy=axy=ax+11oyxy= ax+1y=ax+11oyxA. B. C. D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 2、已知

13、函数f(x)=(x1)/a (a0,a 1),在同一坐标系中，y=f1(x)与 y=a|x 1|的图象只可能是( ) A11-1oyxB11-1oyxC11-1oyxD11-1oyx3、在下列图象中，二次函数y=ax2+bx 与指数函数y=xab)(的图象只可能是（）A11-1oyxB11-1oyxC11-1oyxD11-1oyx4、已知函数y=a/x 与 y=ax2+bx, 则下列图象正确的是（）AoyxBoyxCoyxDoyx5、函数 y=|1|2x的图象是（）AoyxBoyxCoyxDoyx6、函数 y=(3x 1)/(x+2) 的图象（）A. 关于点 ( 2,3)对称B. 关于点 (2

14、, 3)对称C. 关于直线x= 2 对称D. 关于直线y= 3 对称7、若第一个函数y=f(x), 它的反函数是第二个函数，又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0 对称，那么第三个函数的图象是（）A. y= f1(x) B. y= f1( x) C. y= f(x) D. y= f( x) 8、设函数y=f(x) 定义在实数集上，则函数y=f(x1)与 y= f(1 x)的图象关于（）对称A.直线 x=0 B.直线 x=1 C.点 (0,0) D.点(1,0) 9、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确的是（）A y=|log2x| B. y=2|x|C. y=log0.

15、5x2D. y=|x1/3| oyxoyxoyxoyx10、已知函数y=f(x) 的图象如图，则y=f(1x)的图象是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 11-1oyxA11-1oyxB-21-1oyxC11-1oyxD11-1oyx11、下列命题中：函数y=f(x) 的图象与x=f(y) 的图象关于直线y=x 对称；若f(x)= f( x),则 f(x)的图象关于原点对称；若f(x)=f(x)则 f(x)的图象关于y 轴对称； y=f(x) 的图象与y= f(x) 的图象关于y 轴对称，其中真命题是（）A、

16、B、C、D、全都是12、把函数y=cosx 的图象向右平移1/2 个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的1/2，所得图象的解析式为. 13、画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2)y=(x+2)/(x+3). 14、若函数y=log2|ax 1|图象的对称轴是x=2,则非零实数a 的值为. 15、函数 y=f(|xm|)的图象与y=f(|x|) 的图象关于直线对称 . 16、将函数 y=f(x) 的图象向右平移2 个单位， 再把图象上点的横坐标变为原来的1/3，所得图象的解析式为_. 17、如下图所示，向高为H的水瓶,A B C D同时以等速注水，注满为止； A. B. C.

17、D. （1）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的a，则水瓶的形状是；（2）若水量v与水深h的函数图像是下图中的b，则水瓶的形状是；（3）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的c，则水瓶的形状是；（4）若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的d，则水瓶的形状是 a b c d18、已知 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则b 的取值范围是. 19、说出作出函数y=log2(1 x) 的图象的过程 . 20、方程 |x2+2x 3|=a(x 2)有四个实数根，求实数a 的取值范围 . 【课后作业】thvhthth12oyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名

18、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 1、函数 yln1|2x3|的图象为 () 2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数ylog2x 的图象重合的函数是() Ay2xB ylog12xCy4x2Dylog21x1 3、若函数f(x)在(4， )上为减函数，且对任意的xR，有 f(4x)f(4x)，则 () Af(2)f(3)B f(2)f(5) Cf(3)f(5) Df(3)f(6) 4、 （2009 安徽） 设 ab，函数 y(xa)2(xb)的图象可能是 () 5、已知下图的图象对应的函数为yf(x)，则图的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是(

19、) A yf(|x|) B y|f(x)| Cyf(|x|) Dy f(|x|) 6、函数 f(x)11|x|的图象是 () 7、已知函数f(x)的定义域为 a， b，函数 yf(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象大致是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 8、若对任意xR，不等式 |x|ax 恒成立，则实数a 的取值范围是() Aa 1 B|a| 1 C|a|1 Da1 9、f(x)定义域为R，对任意 xR，满足 f(x)f(4x)且当 x 2， )时， f(x)为减函数，则() Af(0)f

20、(1)f(5) Bf(1)f(5)f(0) Cf(5)f(0)f(1) Df(5)f(1)f(0) 10、若函数y(12)|1x|m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 _11、若直线 yxm 和曲线 y1x2有两个不同的交点，则m 的取值范围是 _12、设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G，且 FG.若对任意的xF，都有 g(x) f(x)，则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数”已知函数f(x)(12)x(x0)，若 g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为 _精选学习资料 - - - - - - - - -

21、名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 【参考答案】【课堂练习】1、 D 2 、 C D 3 、 A 4、 C 5 、 C 6 、 A 7 、D 8 、D 9 、 C 10 、 C 11 、 C 12y=cos(2x1/2). 设 P1(x1,y1) 为原图象上的点,通过变换后得到新图象上一点P(x,y) ，则x=(x1+1/2)/2, x1=2x 1/2, y1=y, 代入 y1=cosx1得到 y=cos(2x1/2). 13 (1) 此函数由函数y=lg|x|向左平移1 个单位而得到；(2)y=11/(x+3) 由函数 y=1/x 向左平移 3 个单位再向上

22、平移1 个单位而得到，注意渐近线的变化。14 1/2 15. x=m/2 16. y=f(3x2)。17. （1）C； （2）A； （3）D； （ 4）B 18 (,0) 19. 先作 y=log2x 关于 y 轴对称的图象，再沿x 轴向右平移一个单位得到。20 x2+(2+a)x2a 3=0, 由=0 以及(2+a)/21可得 a= 6+25, 6+25a0 【课下作业】1、A 2 、C 3 、D 4 、C 5 、C 6 、C 7 、B 8 、B 9 、C 10、 1m0 11、1m2 12、g(x) 2|x|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页