2022年初二潜能班第七讲平面直角坐标系学生 .pdf

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1、雨露八年级上数学创造性学习潜能开发班第七讲 平面直角坐标系【核心内容】1. 坐标变换：设原坐标为A(x,y) 平移变换：向左平移a个单位后的坐标为；向右平移a个单位后的坐标为 . 向上平移a个单位后的坐标为；向下平移a个单位后的坐标为 . 轴对称变换：关于 x 轴的对称点是；关于 y 轴的对称点是 . 中心对称变换：关于原点的中心对称点是 . 仿射变换：横向拉长n 倍后的坐标 .纵向拉长n 倍后的坐标 . 2. 图形的平移：在平面直角坐标系中，将点（x, y）向右（或左）平移a 个单位长度，可以得到对应点或；将点（ x, y）向上（或下）平移b 个单位长度，可以得到对应点或 . 注意：对一个图

2、形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。3. 图形的放大与缩小：纵坐标不变，横坐标都变为原来的K 倍，则整个图形将被为原来的；横坐标不变，纵坐标都变为原来的K 倍，则整个图形将被为原来的； （K 时为拉长；为缩短）4. 利用平面直角坐标系表示平面内一些点的地理位置的一般过程如下：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照物为原点，并确定x 轴和 y 轴的正方向 .（2）根据具体问题确定适当的比例尺，标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.5. 格点与面积：一张方格纸上，上面

3、画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点. 网格中求图形面积常运用 . 【思维体验】一、点位置的确定与数形结合【例 1】如果点 M)1 ,1(yx在第二象限，那么点N) 1,1(yx关于原点的对称点P 在第几象限？【点拨】 由 M 在第二象限能得到什么结论？能否判断点N 所在的象限，再根据N 与 P 关于原点对称确定出点 P 的位置 .【解答】【反思与小结】（1）解法一根据的特征判断x1，y1的正、 负情况， 进而得到点N 所在象限；（2）解法二根据M、N 的坐标特点得到，得到点N 所在象限 .（3）有序实数对与坐标上的点，这就使得数与形结合起来.解题

4、时可根据条件，运用数形结合的思想灵活解题. 二、全等变换与坐标系的综合应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页【例 2】如果将点 P 绕定点 M 旋转 180 后与点 Q 重合， 那么称点 P 与点 Q 关于点 M 对称， 定点 M 叫做对称中心 . 此时， M 是线段 PQ 的中点 . 如图，在直角坐标系中，ABO 的顶点 A、B、O 的坐标分别为（1，0） 、 （0，1） 、 （0，0）.点列1P、2P、3P、中的相邻两点都关于ABO 的一个顶点对称；点1P与点2P关于点 A 对称，点2P与点3P关于点 B对称，

5、点3P与4P关于点 O 对称，点4P与点5P关于点 A 对称，点5P与点6P关于点 B 对称，点6P与点7P关于点 O 对称， . 对称中心分别是A、B、O、 A、B、O，且这些对称中心依次循环. 已知点1P的坐标是)1 , 1 (，试求出点2P、3P和2014P的坐标 . 【点拨】 对点1P进行实验操作探究，求出点2P、3P、4P、5P、6P、7P、2014P等部分点的坐标，寻找系列点nP坐标之间的规律，得到解答. 【解答】【反思与小结】在平面直角坐标系中，与点的坐标有关的探索问题中点的变化一般都是有周期性变化【例 3】 （1）点 A 的坐标为（ 1，3） ，将线段 OA 绕着原点O 逆时针

6、旋转90得到AO，求点A的坐标（2）点 A 的坐标为（ 1，3） ，将线段 OA 绕着原点O 顺时针旋转90得到AO，求点A的坐标一般地：（3）点 A 的坐标为（ x，y） ，将线段 OA 绕着原点 O 逆时针旋转90得到AO，求点A的坐标（4）点 A 的坐标为（ x，y） ，将线段 OA 绕着原点 O 顺时针旋转90得到AO，求点A的坐标（5）正方形 OABC 的边长为2，点 A（2，0） ，点 B（2，2） ，将正方形OABC 绕着原点O 逆时针旋转30得到正方形CBAO，求正方形CBAO的顶点A、B、C的坐标【点拨】 能否通过作图找到规律？【反思与小结】 点),(yxP绕着原点O逆时针旋

7、转90 得到),(xyP；点),(yxP绕着原点O顺时针旋转90 得到),(xyP；点),(yxP绕着原点O旋转 180 得到),(yxP。yxO例 2 图yB(5,2)A(1,5)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页【例 4】点 A（1，5） 、B（5，2） ，如果 M 为 x 轴上一点，N 为 y 轴上一点，以点A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形试求M、N 点的坐标（其中 M、N 为网格中的点）【点拨】 要求 M，N 的坐标，根据平行四边形的性质知可以看成将点B 平移到 x 轴上的 M 点后作平行而得到的

8、点N，思考如何将点M 平移 x轴上？（或者将点A 平移到 y 轴上的点N 后作平行而得到的点M） 【解答】【反思与小结】本题构造平行四边形实质上是线段在坐标系中的平移问题，在坐标系中的平移一般是看成沿着坐标轴平移，关注线段在平移过程中的分类讨论【例 5】 （1）在平面直角坐标系中，矩形OABC，A(8 ，0) ，C(0 ，6) ，将矩形 OABC 绕着原点逆时针旋转30，得到矩形CBAO，求A、B、C的坐标【点拨】 要求旋转后的点的坐标，由于旋转的30，能否将其转化成直角三角板的问题解决？如何转化？【解答】【反思与小结】对于坐标系中旋转特殊角（30 、 45 、 60 等）的求点的坐标的问题，

9、一般将其转化成特殊三角形的问题解决。本例就是通过作坐标轴的平行线将求点的坐标转化成特殊直角三角形的问题来解例 5 题图 1 yxABCABCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页yxBCDBO(A)yxBCDBO(A)MN决的【例 5】（2） 在平面直角坐标系中，A(8 ， 0) ，B(0 ， 6) ， 将 AOB 沿着直线AB 对折得到 AOB，连结CO交 AB 于 C，过点O作OEOA 于 E，求O点的坐标【点拨】“分析法”要求对折后的点O的坐标，只要求出OE、OE 的长度即可OE 是点O到 OA 的距离，能否将

10、其转化成三角形的高的问题来解决？或者应用勾股定理解决？【解答】【反思与小结】对于对折求点的坐标问题，一般将其转化成直角三角形的问题解决。而解决直角三角形的问题，现在一般采用“面积法”和“勾股定理法”以及将来学习的“相似法”、 “三角函数法” 。本例主要应用“面积法”和“勾股定理法”来解答。【例 5】 【举一反三】 矩形 ABCD 在坐标系中， A)0 ,0(，C)6, 8(，B、D 分别在x轴、y轴上， 将矩形 ABCD沿着 AC 对折，点B 落在B处，（1）求点B处的坐标；（2）若点 M、N 分别是 AC、AB 上的动点，求BM+MN 的最小值；yxCEOABO例 5 题图 2 精选学习资料

11、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页【点拨】 对于（ 1） ，仿照例 5（2）可求；对于（2） ， “综合分析法”要求BM+MN 的最小值，观察B、B的位置关系，实际上可以将BM 转化成BM，只要让BM+MN 最小即可， 如何使得BM+MN 最小？最小是多少？【解答】【反思与小结】对于双动点的最值求法的策略是：将双动点转化成单动点。本例要求最值，只要将B 转化成B， 再进一步应用点到直线垂线段最短即可。【例 6】在坐标系中，AOB 中，)1 , 1(A，)0 ,2(B，)0 ,0(O，点 D、E 的坐标分别是)3,2(、)4 ,

12、 3(，以 D、E、F 为顶点的三角形与 AOB 全等，试探求点F 的坐标 【点拨】 观察 AOB 各边长以及特殊角的度数，由 DEF 与 AOB 全等， DE 与 AOB 的哪条边对应？再根据对应角相等进行分类解答【解答】例 6 图yxDEBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页yx332121O【反思与小结】在坐标系根据全等变换探究点的位置，是中考和竞赛中的一种重要题型，解决此类问题的关键是找准对应的边或者对应的特殊角进行分类解答三、实际问题中坐标化问题的探究【例 7】在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的

13、点叫做整点且规定，正方形的内部不包含边界上的点观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形，边长为1 的正方形内部有1 个整点，边长为 2 的正方形内部有1 个整点，边长为3 的正方形内部有9 个整点，求边长为n的正方形内部的整点的个数（其中n为正整数）【点拨】 能否找到规律？【解答】_ 马精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页yxECDB-1-2A(2,0)1O【反思与小结】本题在寻找规律时，要对n为奇数和偶数分类讨论。【例 8】在中国象棋盘中，棋子“马”的位置如图所示，若将“马”跳20 步（马跳“日”字） ，则

14、最后一步“马”落在棋盘上的不同位置可能有A 40 个B45 个C50 个D90 个【点拨】 首先将棋盘坐标化 根据“马”跳的规则进行实验探究，观察“马”从一个位置跳到另一个位置横纵坐标的变化，从中找到规律寻找所有的可能，进行解答【解答】【反思与小结】中国象棋博大精深，数学知识奥妙无穷本题通过中国象棋中“马”走的路线的规则编拟了一道具有开放性的数学试题这道试题启迪我们要关注身边的数学，要在玩中思考数学问题是否存在【举一反三】如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或 y 轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1 个单位 / 秒匀速运

15、动，物体乙按顺时针方向以 2 个单位 / 秒匀速运动，则两个物体运动后的第2015 次相遇地点的坐标是A（ 2，0）B（ -1 ，1）C（ -2 ，1）D（ -1 ，-1 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页yxMLKJIHGEFCDAByxMLKJIHGEFCDAByxMLKJIHGEFCDAB四、特殊四边形的坐标化问题的探究【例 9】 正方形 ABCD 中，边长 AB=6， E、F、G、H 分别在 AB、BC、CD、DA 上，且 AE=BF=CG =DH=n1BC，连结 AF、BG、CH、DE，得到四边形IJK

16、L ，M 是 AC、BD 的交点，以A 为坐标原点，以AB 为x轴正方向，以 AD 为y轴正方向建立坐标系如图，（1）当2n时，计算MJ 的长度；（ 2）当3n时，计算 MJ 的长度；（3）当4n时，计算MJ 的长度；（ 4）当5n时，计算 MJ 的长度；【点拨】 思考一：“综合法” 在正方形 ABCD 中，容易通过全等判断四边形IJKL 的形状，同时能设法求出AF、BG 的表达式，同时求出点J 的坐标，根据正方形点M 的坐标，进而求出MJ 的长度；思考二：“分析法” 要求 MJ 的长度，只要求出KJ 的长度，要求KJ 的长度，只要求出BJ、GK、BG 的长度即可求BJ、GK 可以转化成直角三

17、角形中利用勾股定理和面积法解决【解答】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页yxA16A17A14A15A12A10A6A13A9A5A2A4A11A8A72A10A3【反思和与小结】本例是以2014年重庆中考数学题为背景，由几位老师在集体备课时形成的。对于特殊几何图形的问题（尤其是正方形、矩形、正三角形、等腰直角三角形等，在非坐标系的情形中，思考建立坐标系，将几何求值问题转化成代数中方程（组）、距离求值的问题。本例利用坐标化，将初三解决困难的问题转化成坐标私中的问题，正体现了数学中转化思想的应用。【积累与小结】平面直

18、角坐标系中的问题多数与其他几何中特殊三角形、四边形、全等、相似以及平移、旋转变换、代数中方程、方程组综合应用，而平面直角坐标系给我们最大的启示就是用“代数方法”解决“几何问题” ，同时应用“几何图形的构造”解决“代数问题”，这是坐标系的灵魂所在。在解决坐标系问题时，注意分类讨论的应用【自我选择】1已知点P(x，x+y)与点 Q(2y，6)关于原点对称，求点P 关于 x 轴对称的点M 的坐标及点Q 关于 y 轴对称的点 N 的坐标2. 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位其行走路线如下图所示（1）填写下列各点的坐标：1A_)(_

19、,；2A_)(_,；3A_)(_,；4A_)(_,；5A_)(_,；6A_)(_,；7A_)(_,；8A_)(_,；（2）你能写出nA的坐标，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页yxCAOByxCAOB【挑战自我】3如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）、 B（-1， 1）、C（-1 ，-2 ）、 D（1， -2 ），把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按 A-B- C- D- A- 的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是A（ 1，-1

20、 ）B（ -1 ，1）C（ -1 ，-2）D（ 1， -2 ）4.用坐标法证明：在ABC中，D为BC边上的中点，求证：22222()ADBDABAC提示 ：本题没有建立坐标系，应首先根据题目的特点建立适当的平面直角坐标系5. 如图，在以单位为1cm 的方格纸上，依图所示的规律，设定点 A1、A2、A3、A4、 An，连接点A1、A2、A3组成三角形，记为1，以 A2、A3、A4为顶点组成三角形记为2，以 An、An+1、An+2为顶点组成三角形记为n（n 为正整数），请你推断n的面积 S与 n 之间的关系式：S= _ ；当 S=100cm2时， n = _.6. 正 ABC 在平面直角坐标系中，A)0, 1(、B)0 , 1(、C)3,0(，求点 P 使得 P AB、PBC、 PAC 是等腰三角形；A9A8A7A6A5A4A3A2A1yx3 题图yxDCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页yxCAOByxCAOB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页