2022年内切球与外接球常见解法 .pdf

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1、内切与外接1 球与柱体1.1球与正方体例 1 棱长为 1 的正方体的 8 个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A B CD1.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上， 故长方体存在外切球 . 但是不一定存在内切球 . 设长方体的棱长为其体对角线为. 当球为长方体的外接球时， 截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为 2，2，4 的长方体内有一个半径为1 的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) A.103B.4C.83D.731.3球与正棱柱1111ABCDA B C DOEF，1AA

2、1DDEFO2212122, , ,a b cl222.22labcR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 例 3 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为 .2 球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合， 以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系， 然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体1111ABCDA

3、B C DR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 解得：例 4 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A. B. 2+ C. 4+ D. 2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥例 5 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且, 若侧棱, 则正三棱锥 S-ABC外接球的表面积是 _2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上

4、，根据截面图的特点， 可以构造直角三角形进行求解 . 二是球为正棱锥的内切球， 例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 例 6 在三棱锥 PABC中， PA PB=PC= , 侧棱 PA与底面 ABC所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）2222233aRraRrCE，=，66,.412Ra ra32 632 632 634 32 63SABCMN、SCBC、AMMN2 3SAR3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

5、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - A B. C. 4D.接球的球心 , 则.例 7 矩形中，沿将矩形折成一个直二面角, 则四面体的外接球的体积是 ( ) A. B. C. D.3 球与球对多个小球结合在一起， 组合成复杂的几何体问题， 要求有丰富的空间想象能力， 解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系， 或者巧借截面图等方法， 将空间问题转化平面问题求解 .例 7 在半径为 R的球内放入大小相等的4 个小球，则小球半径r 的最大值为（）4 球

6、与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题， 关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解. 例：与正四面体各棱都相切的球的半径为棱的一半：. 例 8 把一个皮球放入如图10 所示的由 8 根长均为 20 cm的铁丝接成3432SCRABCD4,3,ABBCACABCDBACDABCD12125912561253125名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 的四名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -