2022年千题百炼第11炼-函数零点的性质问题 .pdf

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1、精品资料欢迎下载函数零点的性质一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。三者转化：函数fx的零点方程0fx的根方程变形方程g xh x的根函数g x与h x的交点2、此类问题的处理步骤：（1）作图： 可将零点问题转化成方程，进而通过

2、构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t，从而用t可表示出12,x x，将关于12,x x的表达式转化为关于t的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x关于xa轴对称，则122xxa；同理，若12,x x关于,0a中心对称，则也有122xxa。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系二、典型例题：例 1：已知函数lgfxx，若0ab，且f af

3、 b，则2ab的取值范围是（）A. 22,B. 22,C. 3,D. 3,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页精品资料欢迎下载思路：先做出fx的图像，通过图像可知，如果f afb，则01ab，设f af bt，即lg0lgattbt，由,a b范围可得：lg0,lg0ab，从而lglgttataebtbe，所以122ttabee，而0te，所以123 ,ttee答案： C 小炼有话说： （1）此类问题如果fx图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t，从而用t表示出,a b，

4、达到消元效果，但是要注意t是有范围的（通过数形结合yt需与yfx有两交点）；一个是通过图像判断出, a b的范围，从而去掉绝对值。例 2：已知函数2015cos,0,2log,xxfxxx，若有三个不同的实数, ,a b c，使得fafbfc，则abc的取值范围是_ 思路：fx的图像可作， 所以考虑作出fx的图像，不妨设abc，由图像可得：0,1f af b,0,a b，且关于2x轴对称，所以有22abab，再观察c，且2015log0,1cf cf a， 所 以20150log12015cc， 从 而2, 2 0 1 6abcc答案：2 ,2016小炼有话说：本题抓住,a b关于2x对称是关

5、键，从而可由对称求得ab，使得所求式子只需考虑c的范围即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页精品资料欢迎下载例 3：定义在R上的奇函数fx，当0 x时，12log (1),0,113 ,1,xxfxxx，则关于x的函数(01)F xfxaa的所有零点之和为（）A. 21aB. 12aC. 21aD. 12a思路：fx为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当0 x时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。F x的零点， 即为方程0fxa的根， 即fx图像与直线ya的交点。观察图像可得有5

6、 个交点：12,x x关于3x对称，126xx，30 x且满足方程333fxafxafxa即132log1xa，解得：312ax，45,xx关于3x轴对称，456xx1234512axxxxx答案： B 例4： 已 知113k， 函 数21xfxk的 零 点 分 别 为1212,x xxx， 函 数2121xkg xk的零点分别为3434,x xxx， 则4321xxxx的最小值为（）A. 1B. 2log 3C. 2log 6D. 3思路：从,fxg x解析式中发现12,x x可看做21xy与yk的交点，34,xx可看做21xy与21kyk的交点，且12340,0 xxxx， 从而1234,

7、x xx x均可由k进行表示，所以4321xxxx可转化为关于k的函数，再求最小值即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页精品资料欢迎下载解：由图像可得：12340,0 xxxx3124121221,212121xxxxkkkkkk1222log1,log1xkxk322422131l o g1l o g,l o g1l o g21212121kkkkxxkkkk43212222311314loglogloglog31111kkkxxxxkkkk1,13k433 ,1k43212log 3,xxxx答案： B 例 5

8、：已知函数31log113xfxx有两个不同的零点12,x x，则（）A. 121x xB. 1212xxxxC. 1212xxxxD. 1212xxxx思路： 可将零点化为方程31log113xx的根， 进而转化为3log1g xx与113xh x的 交点 ，作出 图 像可得1212xx，进而可将31log113xx中的绝对值去掉得：1231321log1131log113xxxx，观察选项涉及1212,xxxx，故将可得：2132111log1133xxxx， 而13xy为 减 函 数 ， 且21xx， 从 而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

9、- - -第 4 页，共 11 页精品资料欢迎下载321211212log1101110 xxxxx xxx，即1212x xxx答案： D 例 6：已知函数)( ,3)0(|,ln|)(333exxeexxxf， 存在321xxx，)()()(321xfxfxf，则23)(xxf的最大值为思路：先作出fx的图像，观察可得：312301xxex，所求23)(xxf可先减少变量个数，利用32fxfx可得：232222()lnfxf xxxxx， 从 而 只 需 求 出ln xyx在31,e的最小值即可：21ln xyx，所以函数ln xyx在1,e单增，在3, e e单减。从而maxln1eye

10、e答案：1e例7 ： 已 知 定 义 在R上 的 函 数fx满 足 ：222,0,12,1,0 xxfxxx， 且2fxfx，252xg xx，则方程fxg x在区间5,1上的所有实根之和为（）A. 5B. 6C. 7D. 8思路：先做图观察实根的特点，在1,1中，通过作图可发 现fx在1,1关 于0 , 2中 心 对 称 ， 由2fxfx可得fx是周期为2 的周期函数，则在下一个周期3, 1中，fx关于2,2中心对称，以此类推。从而做出fx的图像（此处要注意区间端点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页精品资料欢迎下

11、载值在何处取到） ，再看g x图像，251222xg xxx，可视为将1yx的图像向左平移 2 个单位后再向上平移2 个单位，所以对称中心移至2,2，刚好与fx对称中心重合， 如图所示： 可得共有3 个交点123xxx， 其中23x，1x与3x关于2,2中心对称，所以有134xx。所以1237xxx答案： C 例 8：函数223,02ln,0 xxxfxxx，直线ym与函数fx的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为, , ,a b c d，有以下四个结论3,4m40,abcde562112,2abcdeeee 若关于x的方程fxxm恰有三个不同实根，则m的取值唯一则其中正确的结

12、论是（）A. B. C. D. 思路：本题涉及到m的取值，及4 个交点的性质，所以先作出fx的图像，从而从图上确定存在4个交点时，m的范围是3,4，所以正确。 从图像上可看出,a b在同一曲线，, c d在同一曲线上，所以在处理时将,a b放在一组，, c d放在一组。涉及到根的乘积，一方面,a b为方程223xxm的两根，所以由韦达定理，可得3abm， 而, c d为 方 程2ln xm的 两 根 ， 且20ced， 从 而2lnln2cd，即4ln4cdcde，所以有4430,abcdmee，正确由中的过程可得：2ab，2lnln2cdm，所以22,mmcede，从而222122mmmma

13、bcdeeeee，而3,4m，34,mee e设212mmfmeee，则f m为增函数，所以562112,2fmeeee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页精品资料欢迎下载正确可将问题转化为yfx与yxm的交点个数问题，通过作图可得m的值不唯一综上所述：正确答案： A 例9 ： 已 知 函 数l o g1 ,110 ,121, 13axxfxaafxax， 若12xx， 且12fxfx，则12xx的值（）A. 恒小于 2 B. 恒大于 2 C. 恒等于 2 D. 与a相关思路：观察到当11x时，fx为单调函数，且13

14、x时，fx的图像相当于作1,1x时关于1x对称的图像再进行上下平移，所以也为单调函数。由此可得12fxfx时，12,x x必在两段上。设12xx，可得12113xx，考虑使用代换法设12fxfxt，从而将12,x x均用, a t表示，再判断12xx与2的大小即可。解：设12fxfxt，不妨设12113xx，则2121x11log11taxtxa122log313taaxatxa1122ttaxxaa若01a，则xya为减函数，且11ttattaaa122xx若1a，则xya为增函数，且11ttattaaa122xx12xx的值恒大于2 答案： B 例 10： 定义函数348,12,2( )1

15、( ),2.22xxf xxfx， 则函数( )( )6g xxf x在区间1,2 n（*Nn）内的所有零点的和为（）A nB 2nC3(21)4nD3(21)2n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页精品资料欢迎下载思路：从1( )22xf xf可得：函数fx是以12,2nn区间为一段，其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的2 倍，同时竖直方向上缩为原来的12，从而先作出1,2x时的图像，再依以上规律作出12,4 , 4,8 , 2,2nn的图像，g x的零点 无 法 直 接 求 出 ， 所 以 将0g x转

16、化 为6fxx， 即yfx与6h xx的交点。通过作图可得，其交点刚好位于每一段中的极大值点位置，可 归 纳 出12, 2nn中 极 大 值 点 为1223224nnnnx， 所 以 所 有 零 点 之 和 为2 2133214212nnS答案： D 小炼有话说： （1）本题考查了合理将x轴划分成一个个区间，其入手点在于( )2xf的出现，体现了横坐标之间2 倍的关系，从而所划分的区间长度成等比数列。（2）本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现6h xx恰好与fx相交在极大值点处，这一点需要通过计算得到：当32x时，334,32322fhfh，从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时，如果

17、在某些细节很难通过作图直接确定，要通过函数值的计算来确定两图像的位置三、近年模拟题题目精选1、 （ 2016 四川高三第一次联考）已知函数111,0,2212,22xxxfxx，若存在12,x x，当1202xx时，12fxfx，则122x fxfx的取值范围为（）A. 23 20,4B. 923 2,164C. 91,162D. 23 21,422、 （ 2016，苏州高三调研）已知函数sin0,fxxkx xkR有且只有三个零点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页精品资料欢迎下载设此三个零点中的最大值为0 x，

18、则02001sin2xxx_ 3、已知函数2 ,ln ,1xfxxg xxx h xxx的零点分别为123,xxx，则123,x xx的大小关系是_ 4 、 已知 函 数31log3xfxx的 零 点为0 x， 有0abc使得0f a f b f c，则下列结论不可能成立的是（）A. 0 xaB. 0 xbC. 0 xcD. 0 xc5、已知21,0log,0 xxfxxx，若方程fxa有四个不同的解1234xxxx，则123411xxxx的取值范围是（）A. 10,2B. 10,2C. 10,2D. 0,16 、 已 知 函 数2log,02sin,2104xxfxxx， 若 存 在 实 数

19、1234,xxxx， 满 足1234xxxx，且1234fxfxfxfx，则341222xxx x的取值范围是（）A. 4,16B. 0,12C. 9,21D. 15,25精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页精品资料欢迎下载习题答案：1、答案： C 解析：如图可知：12211 1,122 2xx12212111111112x fxfxxfxxfxxx22111111922416xxx9111622g xg2、答案：12解析：sin0sinfxxkxxkx，即sinyx与ykx恰有三个公共点，通过数形结合可得： 横坐标

20、最大值0 x为直线与曲线在3,2相切的切点。 设改点00,A x y，sinyx的导数为cosyx，所以00000000sinsincoscosyxxxykxxx，代入到所求表达式可得：0002200000sincos121sin2sin1sin2cosxxxxxxxx3、答案：123xxx解析：02,0lnxfxx g xxx，在同一 坐 标 系 下 作 出2 ,l n,xyyx yx如 图 所 示 可 得1201xx。令2010h xxx，解得152x，所以33512x，从而123xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，

21、共 11 页精品资料欢迎下载4、答案： C 解 析 ： 可 判 断 出fx为 减 函 数 ， 则0fafbfc包 含 两 种 情 况 ， 一 个 是,f af bfc均小于零。 可知当0,1x时，0fx。 所以fx的零点必在1,a中，即0 xa，A 选项可能；另一种情况为0,0,0faf bf c，则0,xb c，即 B,D选项可能。 当xc时，由0f c和fx为减函数即可得到fx不再存在零点。5、答案： B 解析： 作出fx的图像可知若fxa有四个不同的解，则0,1a，且在这四个根中，12,x x关于直线1x对称，所以122xx，341xx，所以2324loglogaxx，即34122aax

22、x， 所 以1234111222aag axxxx， 由0,1a可 得g a的范围是10,26、答案： B 解析：不妨设1234fxfxfxfxa，作出fx的图像可知若ya与yfx有四个不同交点，则0,1a，且12341,xxxx关于6x轴对称。所以有21221234loglog112xxx xxx即343434341212222420 xxx xxxx xx xx x因为34341212xxxx，所以3444412221220,8,10 xxxxxx x，求出该表达式的范围即为0,12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页