2022年初高中数学衔接知识点专题-说课讲解 .pdf

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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑初高中数学衔接知识点专题（一）数与式的运算【要点回顾 】1绝对值1绝对值的代数意义：即|a2绝对值的几何意义：的距离3两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示的距离4两个绝对值不等式:|(0)xa a；|(0)xa a2乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：；3完全平方差公式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：公式 12()abc公式 233ab(立方和公式 )公式 333ab(立方差公式 ) 说明 :上述公式均称为“ 乘法公式 ” 3根式1式子(0)a a叫做二次根式，其性质如下：(1) 2

2、()a；(2) 2a；(3) ab； (4) ba2 平 方 根 与 算术 平 方 根的 概 念 ：叫做a的 平 方 根，记 作(0)xa a，其中a (0)a叫做a的算术平方根3立方根的概念：叫做a的立方根，记为3xa4分式1分式的意义形如AB的式子， 若 B 中含有字母， 且0B，则称AB为分式 当 M0 时，分式AB具有下列性质：（ 1）；（2）2繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2mnpmnp，说明： 繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质3分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理

3、化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲 】例 1 解下列不等式： （1）21x例 2 计算：（1）221(2)3xx（2）2211111()()5225104mnmmnn（3）42(2)(2)(416)aaaa例 3 已知2310 xx，求331xx的值例 4 已知0abc，求111111()()()abcbccaab的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1

4、页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑例 5 计算 (没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）323（2）22(1)(2) (1)xxx（3）11ab（4）3282xxx例 6 设2323,2323xy，求33xy的值 专题二因式分解1公式法常用的乘法公式：1 平方差公式：；2 完全平方和公式：；3 完全平方差公式：42()abc533ab( 立方和公式 )6 33ab ( 立方差公式 ) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解2分组分解法从前面可以看出，能够

5、直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3十字相乘法（1）2()xpq xpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是1；常数项是两个数之积； 一次项系数是常数项的两个因数之和2()xpq xpq2()()()()xpxqxpqx xpq xpxpxq，2()()()xpq xpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1

6、的二次三项式分解因式（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解由212122 11 21122()()()a a xa ca c xc ca xca xc我们发现，二次项系数a分解成12a a，常数项c分解成1 2c c， 把1212, ,a a c c写成1122acac， 这里按斜线交叉相乘，再相加， 就得到122 1a ca c，如 果 它 正 好 等 于2axbxc的 一 次 项 系 数b， 那 么2a xb xc就 可 以 分 解 成1122()()a xca xc，其中11,a c位于上一行，22,ac位于下一行 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做

7、十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解4其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法例 1 （公式法） 分解因式： (1) 34381a bb；(2) 76aab例 2 （分组分解法）分解因式： （1）2222()()ab cdabcd（2）2222428xxyyz例 3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524xx(2) 2215xx(3) 226xxyy(4) 222()8()12xxxx例 4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 21252xx；(2) 2256

8、8xxyy解：324 11 254yy说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 时较困难，具体分解时，为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法” 凑” ，看是否符合一次项系数，否则用加法” 凑” ，先 ” 凑” 绝对值，然后调整，添加正、负号例 5 （拆项法） 分解因式3234xx(

9、3) 32113121xxx(4) 3223428xxyx yy专题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法将其变形为：由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把24bac叫做一元二次方程20 (0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac对于一元二次方程ax2bxc0（a0 ） ，有1当 0 时，方程有两个不相等的实数根：；2当 0 时，方程有两个相等的实数根：；3当 0 时，方程没有实数根2一元二次方程的根与系数的关系定 理 ： 如 果 一 元 二 次 方 程20 (0)axbxca的 两

10、个 根 为12,x x， 那 么 ：1212,xxx x说明： 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为 ” 韦达定理 ” 上述定理成立的前提是0特别地， 对于二次项系数为1 的一元二次方程x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2 p，x1 x2q，即p(x1x2)，qx1 x2，所以，方程x2pxq0 可化为x2(x1x2)xx1 x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1 x20因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1

11、x20【例题选讲 】例 1 已知关于x的一元二次方程2320 xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根例 2 已知实数x、y满足22210 xyxyxy，试求x、y的值例 3 若12,x x是方程2220070 xx的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212xx；(2) 1211xx；(3) 12(5)(5)xx；(4) 12|xx例 4 已知12,x x是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根(1) 是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在， 求出k的值；若不存在，

12、请说明理由(2) 求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值解 ： (1) 假 设 存 在 实 数k， 使12123( 2) (2)2xxxx成 立 一 元 二 次 方 程24410kxkxk的两个实数根，2400( 4 )4 4 (1)160kkkk kk，又12,x x是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根，1212114xxkx xk222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxx xxxx x939425kkk，但0k不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

13、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑(2) 222121212211212()44224411xxxxxxkxxx xx xkk 要使其值是整数， 只需1k能被 4 整除，故11, 2, 4k，注意到0k，要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2, 3, 5 专题四平面直角坐标系一次函数、反比例函数要点回顾】1平面直角坐标系平面直角坐标系内的对称点：对称点或对称直线方程对称点的坐标x轴y轴原点点( , )a b直线xa直线yb直

14、线yx直线yx2函数图象1一次函数：称y是x的一次函数，记为：ykxb(k、b 是常数，k0)特别的，当b=0 时，称y是x的正比例函数。2 正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k 是常数， k0) 的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y 随 x 的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限， y 随 x 的增大而3 一次函数的图象与性质：函数ykxb(k、b 是常数， k0) 的图象是过点 (0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设ykxb(k0) ，则当时， y 随 x 的增大而；当时， y 随 x 的增大而4反比例函数的图象与性质：函数kyx(k0) 是双曲线，当时，

15、图象在第一、第三象限，在每个象限中，y 随 x 的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随 x 的增大而双曲线是轴对称图形，对称轴是直线yx与yx； 又是中心对称图形，对称中心是原点【例题选讲】例 1 已知12,Ay、2,3B x，根据下列条件，求出A、B点坐标(1) A、B关于 x 轴对称； (2) A、B关于 y 轴对称； (3) A、B关于原点对称例 2 已知一次函数ykx2 的图象过第一、二、三象限且与x、y 轴分别交于A、B两点， O 为原点，若 AOB 的面积为2，求此一次函数的表达式。例 3 如图，反比例函数kyx的图象与一次函数ymxb的图象交于(13)A ，(

16、1)B n，两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值 专题五二次函数二次函数yax2bxc(a0) 具有下列性质：1 当 a0 时，函数yax2bxc 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时， y 随着 x 的增大而；当时，y 随着 x 的增大而；当时，函数取最小值2 当 a0 时，函数yax2bxc 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时， y 随着 x 的增大而；当时， y 随着 x 的增大而；当时，函数取最大值上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利

17、用数形结合的思想方法来解决问题y x A O B 图（ 12）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2二次函数的三种表示方式：（1） 一般式：；（2）顶点式：（3）交点式：说明： 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：给出三点坐标可利用一般式来求

18、；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x.)0,(2x时可利用交点式来求【例题选讲】例 1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象例 2 某种产品的成本是120 元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x /元130 150 165 y/件70 50 35 若日销售量y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多

19、少？例 3 已知函数2,2yxxa，其中2a，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值例 4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1 上，并且图象经过点（3， 1） ；（2）已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(1， 22)，(0， 8)，(2，8) 专题六二次函数的最值问题【要点回顾】1二次函数2 (0)yaxbxc a的最值二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当

20、0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值2二次函数（ X 为全体实数时）最大值或最小值的求法第一步确定a 的符号 ，a0 有最小值， a0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值3求二次函数在某一范围内的最值如：2yaxbxc在mxn（其中mn）的最值第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0 xx；第二步：讨论：1若0a时求最小值或0a时求最大值，需分三种情况讨论：对称轴小于m即0 xm，即对称轴在mxn的左侧；对称轴0mxn，即对称轴在mxn的内部；对称轴大于n即0 xn，即对称轴在mxn的右侧。x y O x2baA24(,)24bacbaa

21、x y O x2baA24(,)24bacbaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2 若0a时求最大值或0a时求最小值，需分两种情况讨论：对称轴02mnx，即对称轴在mxn的中点的左侧；对称轴02mnx，即对称轴在mxn的中点的右侧；说明 ：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。【例题选讲 】例 1 求下列函

22、数的最大值或最小值（1）5322xxy；（2）432xxy例 2 当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值例 3 当0 x时，求函数(2)yxx的取值范围例 4 当1txt时，求函数21522yxx的最小值 (其中t为常数 )分析： 由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解： 函数21522yxx的对称轴为1x画出其草图(1) 当对称轴在所给范围左侧即1t时：当xt时，2min1522ytt；(2) 当对称轴在所给范围之间即1101ttt时：当1x时，2min1511322y；(3) 当 对称 轴 在 所 给 范 围 右 侧 即110tt时： 当1xt时

23、，22min151(1)(1)3222yttt综上所述：2213,023,0115,122ttytttt例 5 当02x时，求函数221yxax的最大值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑1 3 A B x 0 4 C D x P |x1| |x3| 各专题参考答案专题一数与式的运算参考答案例 1 （1）解法 1：由20 x，得2x；若2x，不等式可变为21x

24、，即3x；若2x，不等式可变为(2)1x，即21x，解得：1x综上所述，原不等式的解为13x解法 2：2x表示 x 轴上坐标为x 的点到坐标为2 的点之间的距离，所以不等式21x的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2 的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为 3 的点的左侧，在坐标为1 的点的右侧所以原不等式的解为13x解法 3：2112113xxx，所以原不等式的解为13x（2）解法一 ：由10 x，得1x；由30 x，得3x；若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4，解得x0，又x1， x0；若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，即 14，不存在满足条

25、件的x；若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4， 解得 x4又 x3 ， x4综上所述，原不等式的解为x0，或 x4解法二 ：如图，1x表示 x 轴上坐标为x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离 |PA|，即 |PA|x1|；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离 |PB|，即 |PB|x3|所以，不等式13xx4 的几何意义即为|PA|PB|4由 |AB|2，可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点P 在点 D(坐标为 4)的右侧所以原不等式的解为x0，或 x4例2（1）解：原式=221(2 )3xx222222111()(2 )( )2

26、(2)22(2 )333xxxxxx43282212 2339xxxx说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列（2）原式 =33331111()()521258mnmn（3）原式 =24222336(4)(44 )()464aaaaa（4）原式 =2222222() ()()()xyxxyyxyxxyy3326336()2xyxx yy例 3 解：2310 xx0 x13xx原式 =22221111()(1)()()33(33)18xxxxxxxx例 4 解：0,abcabc bca cab原式 =bcacababcbcacab222()()()aabbccabcbcacaba

27、bc33223()()3(3)3ababababc cabcabc3333abcabc，把代入得原式=33abcabc例 5 解： （1）原式 =23(23)3(23)63 323(23)(23)（2）原式 =(1)(2)23 (2)|1|2|(1)(2)1 (1x2) xxxxxxxx说明 ：注意性质2|aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论（3）原式 =22aba bababab（4） 原式 =22222222 23 222xx xxxxxxxxx例 6 解：2223(23)74 3,74 3 14,12323xyxyxy原式 =2222()()()()31

28、4(143)2702xyxxyyxyxyxy说明 ：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量【巩固练习 】143x2133633或24355444222222222xyzx yx zy z64 313,2, 3, 43xybay专题二因式分解答案例 1 分析： (1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66ab，可看着是3232()()ab或2323()()ab解： (1) 3433223813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb abaabb(2) 7

29、6663333()()()aaba aba abab2222()()()()a abaabbab aabb2222()()()()a abab aabbaabb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑例 2（1）分析： 按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解：22222222()()ab cdabcdabcabda cdb cd2

30、222()()abca cdb cdabd()()()()ac bcadbd bcadbcadacbd（2）分析 ：先将系数2 提出后，得到22224xxyyz，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式解：22222224282(24)xxyyzxxyyz222()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyzxyz例 5 解：323234(1)(33)xxxx2(1)(1)3(1)(1)xxxxx2(1)(1)3(1)xxxx22(1)(44)(1)(2)xxxxx【巩固练习 】122(1)()() ; (2) (42 )(2 ) ; (3) (48)(48

31、);bcadacbdxmnxnxxxx2(4) (1)(3)(7) ; (5)(2 ) (2 )xxxxyxy2283；322211(1)(31)422xxxxxx(4)x x其他情况如下：)1)(1(1)21()121(222xxxxxxx；2222)1(12)21()1321(xxxxxxx. 4322322()()aa cb cabcbaabbabc专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案例 1解： 2( 2)43412kk， (1) 141203kk；(2) 14 1203kk；(3) 141203kk；(4)141203kk例 2 解： 可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：22

32、(2)10 xyxyy由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：222 (2)4(1)300yyyyy，代入原方程得：22101xxx综上知：1,0 xy例 3 解： 由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxx x(1) 2222121212()2( 2)2( 2007)4018xxxxx x(2) 121212112220072007xxxxx x(3) 121212(5)(5)5()2520075( 2)251972xxx xxx(4) 22212121212|()()4( 2)4( 2007)2 2008xxxxxxx x说明： 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变

33、形：222121212()2xxxxx x，12121211xxxxx x，22121212()()4xxxxx x，2121212|()4xxxxx x等等韦达定理体现了整体思想【巩固练习 】1 A；2A；31,3pq；43,3,0abc；51m(1)当3k时，方程为310 x，有实根； (2) 当3k时，0也有实根 6(1) 314kk且；(2) 7k专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案例 1 解：(1)因为A、B关于 x 轴对称， 它们横坐标相同， 纵坐标互为相反数，所以22x，13y，则2, 3A、2,3B(2)因为A、B关于 y 轴对称， 它们横坐标互为相反数，纵坐标相

34、同， 所以，22x，13y，则2,3A、2,3B(3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以22x，13y，则2, 3A、2,3B例 2 分析： 因为直线过第一、三象限，所以可知k0，又因为 b2，所以直线与y 轴交于（ 0，2） ，即可知 OB2，而 AOB的面积为 2，由此可推算出OA2，而直线过第二象限，所以A 点坐标为（ 2，0） ，由 A、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式。解： B 是直线 ykx2与 y 轴交点，B （0， 2） ， OB2，1222AOBSAO BOAO又，2ykx又， 过第二象限，( 2 0)A，1120212xyykxkyx把，代入中得，

35、【巩固练习 】1 B 2 D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)3（1）8k （2）点P的坐标是(2 4)P，或(81)P，专题五二次函数参考答案例 1 解： y3x26x1 3(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为 (1，4)；当 x 1 时，函数y 取最大值y4；当 x 1 时， y 随着 x 的增大而增大；当x 1 时，y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图， 选顶点 A(1， 4)， 与 x 轴交于点 B2 33(,0)3和 C2 33(,0)3，x O y x 1 A( 1,4) D(0,1) B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

36、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑与 y 轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25 所示）说明： 从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例 2 分析：由于每天的利润日销售量y (销售价 x120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系， 然

37、后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设ykx（B），将 x130，y70；x150，y50 代入方程，有70130,50150,kbkb解得k 1，b200yx200设每天的利润为z（元），则 z(x+200)(x120) x2320 x24000 (x160)21600，当 x160 时， z 取最大值 1600答： 当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为1600 元例 3 分析： 本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论解： （1）当 a 2 时，函数 yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大

38、值和最小值都是4，此时 x 2；（2）当 2a0 时，由图 226可知，当x 2 时，函数取最大值y4；当 xa 时，函数取最小值ya2；（3）当 0 a2 时，由图 226可知，当x 2 时，函数取最大值y4；当 x0 时，函数取最小值y0；（4）当 a2 时，由图226可知，当xa 时，函数取最大值ya2；当 x0 时，函数取最小值 y0y O x y 2 a a2 4 x y O a 2 2 4 a2 2 x y O a a2 4 说明： 在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这

39、一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题例 4（1）分析： 在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解： 二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1 上，所以， 2x 1， x1顶点坐标是（1，2） 设该二次函数的解析式为2(2)1(0)ya xa，二次函数的图像经过点（3， 1） ，21(32)1a，解得 a2二次函数的解析式为22(2)1yx，即 y2x28x7说明： 在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶

40、点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题（2） 分析一 ：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一： 二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0) ，展开，得yax22ax3a， 顶点的纵坐标为2212444aaaa，由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离2， |4a|2，即 a12所以，二次函数的表达式为y21322xx，或 y21322xx分析二 ：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为

41、直线x 1，又由顶点到 x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或 2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或 (1，0)，就可以求得函数的表达式解法二 ：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1又顶点到x 轴的距离为 2，顶点的纵坐标为2，或 2于是可设二次函数为ya(x1)22，或 ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或 0a(11)22a12，或 a12所以，所求的二次函数为y12(x1)22，或 y12(x1)22说明： 上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点

42、式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题（3）解： 设该二次函数为yax2bxc(a0) 由函数图象过点(1， 22)，(0， 8)，(2，8)，可得228842abccabc解得 a2，b12，c 8所以，所求的二次函数为y 2x212x8【巩固练习 】1 （1）D （2）C （3）D 2 （1）yx2x2 （2）yx22x3 3 （1）1222xxy （2）1843) 1(422xxxy（3）35251)5)(3(512xxxxy （4）22115323222yxxx4当长为 6m，宽为 3m 时，矩形的面积最大x y O 2 2 4 6 8 名师资料总结 -

43、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑5 （1）函数 f（x）的解析式为, 02,4, 24,4, 46,8, 68.xxxxyxxxx（2）函数 y 的图像如图所示（3）由函数图像可知，函数y 的取值范围是0y2 专题六二次函数的最值问题参考答案例 1 分析：由于函数5322xxy和432xxy的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定

44、函数有最大值或最小值解： （1）因为二次函数5322xxy中的二次项系数20，所以抛物线5322xxy有最低点，即函数有最小值因为5322xxy=849)43(22x，所以当43x时，函数5322xxy有最小值是849（2）因为二次函数432xxy中的二次项系数-10，所以抛物线432xxy有最高点，即函数有最大值 因为432xxy=425)23(2x，所以当23x时，函数432xxy有最大值425例 2 解： 作出函数的图象当1x时，min1y，当2x时，max5y说明： 二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最

45、小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：例 3 解： 作出函数2(2)2yxxxx在0 x内的图象可以看出：当1x时，min1y，无最大值所以，当0 x时，函数的取值范围是1y例 5 解： (1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x元，那么m件的销售利润为(30)ym x，又1623mx2(30)(1623 )32524860,3054yxxxxx(2) 由 (1) 知 对 称 轴 为42x， 位 于x的 范 围 内 ， 另 抛 物 线 开 口 向 下当42x时 ，2m a x34 22 5 24 24 8 6 04 3 2y当每件商品的售

46、价定为42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432 元【巩固练习 】14 14 或 2，3222216lm32,2ab414a或1a5当0t时，max22yt，此时1x；当0t时，max22yt，此时1x专题七不等式答案例 2 解： (1) 不等式可化为(2)(4)0 xx 不等式的解是24x(2) 不等式可化为2(2)0 x 不等式的解是2x；(3) 不等式可化为217()024x例 3 解： 显然0k不合题意，于是：222000111( 2)4010kkkkkkkk或例 4 分析： (1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“ 符号法则 ” 将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两

47、个数(式)相除异号，那么这两个数(式 )相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑解：(1) 解法 (一)原不等式可化为：3323023031221010211xxxxxxxxx或或解法 (二) 原不等式可化为：3(23)(1)012xxx(2) 解：原不等式可化为：13

48、5353000222xxxxx(35)(2)020 xxx523xx或说明： (1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0(2) 本例也 可以直接去分母，但应 注意讨论分母的符号：2020133(2)13(2)12xxxxx或【巩固练习 】11(1)0 (2)36 (3)1 (4)32xxxx；211(1)11 (2)3 (3)20 (4)22xxxxxxx或或或；3(1) 无解(2) 全体实数4(1)当2m时，12mxm；(2)当2m时，12mxm；(3) 当2m时，x取全体实数512m；65k751aa或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -