2022年双曲线的简单几何性质2 .pdf

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1、学习必备欢迎下载【自学导引】1双曲线的焦距与实轴长的比eac，叫做双曲线的离心率，e的范围为e12双曲线的第二定义：动点M 与定点 F(c，0)的距离和它到定直线l：xca2的距离的比为常数ac(c a0)，则动点 M 的轨迹是双曲线定直线l 叫做双曲线的准线【思考导学】1双曲线的离心率算法与椭圆相同，都是eac，椭圆的离心率e 的范围为 0e12双曲线的离心率的几何意义为它决定双曲线的“张口”大小3双曲线2222byax1(a0，b0)的准线方程为cax2【典例剖析】例 1已知双曲线2222byax1(a0，b0)的焦点坐标是F1(c，0)和 F2(c，0)，P(x0，y0)是双曲线上的任一

2、点，求证PF1 aex0， PF2 a ex0，其中 e 是双曲线的离心率证明： 双曲线2222byax1 的两焦点 F1(c，0)、F2(c，0)，相应的准线方程分别是xca2和 xca2双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.ecaxPF, ecaxPF202201化简得： PF1 aex0， PF2 aex0点评： PF1、 PF2都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径PF1aex0，PF2aex0称作焦半径公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载例 2双

3、曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x21，求双曲线的方程解： ac4，ca221，a2，c8， b2822260双曲线的方程是60422yx1点评： 双曲线的准线总与实轴垂直例 3在双曲线91622yx1 上求一点 P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍解： 设 P 点的坐标为 (x，y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点双曲线的准线方程为x51651651621xPFxPF PF1 2PF2，P在双曲线的右支上，516516222xPFxPF， x548把 x548代入方程91622yx1 得：y11953所以， P 点的坐标为 (548，11953) 点评： 此题也可

4、用焦半径解答【随堂训练】1双曲线2222bxay1 的准线方程为 ( ) Ax222baaBy222baa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载Cx222babDy222bab解析： 双曲线的焦点在y轴上，双曲线的准线方程为y222baa答案： B 2双曲线7922yx1 的焦点到准线的距离是( ) A47B425C47或425D423或49解析： a29，b27， c4，双曲线的焦点坐标是( 4，0)，准线方程是x49双曲线的焦点到准线的距离为44947和 449425答案： C 3准线方程为y 1，离

5、心率为2的双曲线的方程是( ) A2x22y211 Bx2y22 Cy2x22 Dy2x2 2 解析： 双曲线的准线方程为y 1，离心率为2，双曲线的焦点在y 轴上，方程是标准方程，且ca21，2aca2，c2， b22双曲线的方程为2222yx1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载即 y2x22答案： C 4如果双曲线366422yx1 上一点 P 到它的右焦点的距离为8，那么 P 到它的右准线距离是( ) A10 B7732C27D532解析： 双曲线的离心率eac81045，设所求距离为d，则45

6、8d， d532答案： D 5双曲线 2mx2my22 的一条准线是y1，则 m 的值为 _解析： 可知双曲线的焦点在y轴上 m0 双曲线方程可化为mxmy12221，因此 a2m2，b2m1，c2m3准线是 y1 a2c即m2m3解得 m34答案： 346双曲线的焦距是两准线间距离的4 倍，则此双曲线的离心率等于_解析： 2c4ca22c24a2，e222ac4，e2 答案： 2 【强化训练】1双曲线5922yx1 与椭圆112522yx1，一定有 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载A两离心

7、率之积为1 B相同的两条准线C相同的两个焦点D双曲线的实轴长等于椭圆的长轴长解析： 有相同的焦点 (14，0)答案： C 2双曲线的焦点是( 26，0)，渐近线方程是y23x，则它的两条准线间的距离是( ) A13268B26134C261318D26139解析： c26，23ab49222aac，a28，两准线间的距离为2613822ca答案： A 3双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为( ) A2B3C26D23解析： 2312ca 2c，3ac答案： B 4双曲线 4x29y236 上一点 P 到右焦点的距离为3，则 P 点到左准线的距离为( ) A131327B132

8、7精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载C2713D913解析： dPF2e(d 为 P 到右准线的距离，F2为右焦点 )，,139,3133ddP 到左准线的距离为.1313271392139答案： A 5一条准线方程为xy1，相应的焦点为 (1，1)的等轴双曲线方程是_解析： 等轴双曲线的离心率e2，由双曲线的第二定义，得方程为212) 1() 1(22yxyx，化简得 xy21答案： xy216双曲线2222byax1 的准线和渐近线的交点到双曲线中心的距离等于_答案： a7已知双曲线x23y23

9、上一点 P 到左右焦点的距离之比为12，求 P 点到右准线的距离解： 设 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则有32211221PFPFPFPF解得343221PFPF又设点 P 到右准线的距离为d，则3322acdPFd6 即点 P 到右准线的距离为68双曲线 x2y2a2的两个焦点分别为 F1、F2，P 为双曲线上的任意一点，求证：PF1、PO、 PF2成等比数列证明： 设 P 点的坐标为 (x，y)，则 PO2x2y2双曲线的离心率e2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载准线方程是xaa22，

10、,22,2221axPFaxPF PF12xa， PF22xa， PF1 PF2 2x2a2 x2y2 PO2， PF1、 PO、 PF2成等比数列9经过双曲线 x232y1 的右焦点 F2作倾斜角为 30的直线，与双曲线交于 A、B 两点，求：(1)AB；(2)F1AB 的周长 (F1是双曲线的左焦点)解： (1)右焦点 F2的坐标是 (2，0)，直线 AB 的方程是 y33(x2)，把 y33(x2)代入 x232y1 并整理得： 8x24x130 AB.3813841632812k(2)由方程 8x24x130 得：x1x28130，A、B 两点在双曲线的两支上，不妨设x10， AF1 BF1 aex1 aex2 (aex1)(aex2)e(x2x1) 2x2x1 2813841633 ABF1的周长是 AB AF1 BF1 333点评： 为了去掉焦半径公式中的绝对值符号，需要搞清点在双曲线的哪一支上【学后反思】双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，双曲线上的点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，这也是双曲线的一个几何性质双曲线的离心率的大小反映了它的开口的开阔程度计算焦半径或计算过焦点的弦长应注意向“到准线距离”转化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页