2022年南京市鼓楼区清江花苑严老师湖南省中考数学压轴题解析汇编 .pdf

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1、学习必备欢迎下载【2013湖南长沙26 题】如图，在平面直角坐标系中，直线y=- x+2 与 x 轴、 y 轴交于点A、B，动点 P(a，b)在第一象限内，由点P 向 x 轴、 y 轴所作的垂线PM、PN（垂足为M、 N）分别与直线 AB 相交于点E、F，当点 P(a，b)运动时，矩形PMON 的面积为定值2. （1）求 OAB 的度数；（2）求证： AOF BEO；（3）当点 E、F 都在线段AB 上时，由三条线段AE、EF、BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1， OEF 的面积为S2。试探究： S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。解： （1

2、）由 y=- x+2 知，当 x=0 时， y=2 B（0，2） ，即 OB=2 当 y=0 时， x=2 A（2，0） ，即 OA=2 OA=OB AOB 是等腰直角三角形 OAB=45 （2） EMOB 2BEABOMOAFNOA 2AFABONOBAFBE=2ON2OM=2OM ON 矩形 PMON 的面积为2 OMON=2 AFBE=4 OA OB=4 AFBE=OA OB，即AFOAOBBE OAF= EBO=45 AOF BEO （3）易证 AME 、BNF、PEF 为等腰直角三角形AM=EM=2 -aAE2=2(2- a)2=2a2- 8a+8 BN=FN=2 - bBF2=2(

3、2- b)2=2b2- 8b+8 PF=PE=a+b- 2 EF2=2(a+b- 2)2=2a2+4ab+2b2- 8a- 8b+8 ab=2 EF2=2a2+2b2- 8a- 8b+16 EF2= AE2+BF2由线段AE 、EF、BF 组成的三角形为直角三角形，且 EF 为斜边，则此三角形的外接圆面积为：S1=4EF2=42(a+b- 2)2=2(a+b- 2)2S梯形OMPF=12(PF+OM) PM SPEF=12PFPE，SOME=12OMEM S2=S梯形OMPF- SPEF- SOME=12(PF+OM) PM-12PF PE-12OM EM =12PF(PM- PE)+OM (

4、PM- EM) =12(PFEM+OM PE) =12PE （EM+OM) =12(a+b- 2)(2- a+a) =a+b- 2 S1+S2=2(a+b- 2)2+(a+b- 2) 设 m=a+b- 2， 则 S1+S2=2m2+m=2(m+1)2-12面积之和不可能为负数当 m-1时， S1+S2随 m 的增大而增大当 m 最小时， S1+S2就最小m=a+b- 2=a+2a- 2=(2aa)2+22- 2 当2aa，即a=b=2时， m 最小，最小值为 22- 2 S1+S2的最小值 =2(22- 2)2+ 22- 2 = 2(3- 22)+22- 2 BPFxAMENOy精选学习资料

5、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南株洲 24 题 】已知抛物线C1的顶点为P（1，0） ，且过点（ 0，14） ，将抛物线C1向下平移 h 个单位（h0）得到抛物线C2，一条平行于x 轴的直线与两条抛物线相交于A、B、C、D 四点（如图） ，且点 A、C 关于 y 轴对称，直线AB 与 x 轴的距离是m2（m0） 。（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当 m=2 时，求 h 的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB 交于点 E，与抛物线C2交于点 D，求证： tanEDF- tan ECP

6、=12解： （1）由题意设抛物线C1的解析式为y=a(x- 1)2抛物线C1过点（ 0，14）a=14抛物线C1的解析式的一般形式为y=14(x- 1)2=14x2-12x+14（2） 由题意可得， 抛物线 C2的解析式为y=14(x- 1)2- h当 m=2 时，直线AB 与 x 轴的距离是4 直线 AB 的解析式为y=4 在抛物线C1中，当 y=4 时，14(x- 1)2=4 解得 x=5 或 -3 点 C 的坐标为（ 5，4）点 A、C 关于 y 轴对称点 A 的坐标为（ - 5，4）代入抛物线C2的解析式得4=14(- 5- 1)2- hh=5 （3）在抛物线C1中，当 y=m2时，1

7、4(x- 1)2=m2解得 x=1+2m 或 1- 2m 点 C 坐标为（ 1+2m，m2）点 E 坐标为（ 1， m2）PE=m2，EC=2m tanECP=2m2mPEEC=m2在抛物线C2中，当 y=m2时，14(x- 1)2- h=m2解得 x=1+22m +h或 1- 22m +h点 A 坐标为（ 1- 22m +h，m2）点 D 坐标为（ 1+22m +h，m2）点 A、C 关于 y 轴对称1- 22m +h+1+2m=0 2m +h=m+1 DE=22m +h，EF=m2+h tanEDF=22m +h2 m +hEFDE=2m +h2=m+12tanEDF- tanECP=m+

8、12-m2=12AFPOEBDCxyC1C2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南郴州26 题】如图，在直角梯形AOCB 中， AB OC， AOC=90 ，AB=1 ，AO=2 ，OC=3，以 O为原点， OC、OA 所在直线为轴建立坐标系。抛物线顶点为A，且经过点C。点 P 在线段 AO 上由 A 向点 O 运动，点 Q 在线段 OC 上由 C 向点 O 运动， QD OC 交 BC 于点 D，OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点E。（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是 E 关于

9、 y 轴的对称点，点Q 运动到何处时，四边形OEAE 是菱形？（3）点 P、Q 分别以每秒2 个单位和3 个单位的速度同时出发，运动的时间为t 秒，当 t 为何值时， PBOD？解： （1）由题意知，点A（ 0，2）是抛物线的顶点可设抛物线的解析式为y=ax2+2 由题意得，点C（3，0）在抛物线上9a+2=0，得 a=-29抛物线的解析式为y=-29x2+2 （2）连接 EE 交 y 轴于 F 当四边形OEAE 是菱形时， OA 与 EE 互相垂直平分，即F 是 OA 的中点，其坐标为（0，1）点 E 的纵坐标为1 由-29x2+2=1 解得 x=3 22点 E 在第一象限点 E 坐标为（3

10、 22，1）直线 OE 的解析式为y=23x由题意得，点B 坐标为（ 1，2）设直线 BC 的解析式为y=kx+b，则230kbkb解得13kb直线 BC 的解析式为y=- x+3 联立直线OE、BC 的解析式解得：点 D 坐标为（279 27，9 267）QD OC 点 Q 坐标为（27927，0）故，当点Q 运动到（27927，0）时，四边形 OEAE 是菱形（ 3） PBOD APB= AOE DQOA QDO= AOE APB= QDO RtPABRtDQO DQOQAPAB过点 B 作 BH OC 于 H，则四边形AOHB 是矩形，得 BH=OA=2 ，OH=AB=1 HC=BH=2

11、 ，即 BHC 为等腰直角三角形 CDQ 为等腰直角三角形DQ=CQ=3t AP=2t， OQ=OC - CQ=3- 3t 33321ttt，得 t=12经检验 t=12是分式方程的根当 t=12s 时， PBOD BPAFEOQCDEHxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南常德 26 题】已知两个共一个顶点的等腰RtABC ，RtCEF， ABC= CEF=90 ，连接 AF，M是 AF 的中点，连接MB 、ME 。（1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MB CF

12、；（2）如图 1，若 CB=a，CE=2a，求 BM ，ME 的长；（3）如图 2，当 BCE=45 时，求证： BM=ME EFCBAMNEFCBAMN图1图2解： （1）延长 BM 交 EF 于 N。ABCE，EF CE ABEF BAM= NFM ， ABM= FNM M 是 AF 的中点AM=FM ABM FNM AB=FN AB=BC BC=FN CE=FE BE=NE BEN 是等腰直角三角形 EBN=45 C=45 EBN= C BM CF （2）由 (1)得， BE=NE=CE - BC=aBN=22BENE=2a ABM FNM BM=MN BM=12BN=22a BEN 是

13、等腰直角三角形，M 是 BN 的中点ME=12BN=22a（ 3）延长 BM 交 CF 于 N，连接 BE、NE。 BCE=45 ， C=45 BCF=90 ，即 CFBC ABC=90 ，即 ABBC AB CF 与(1)同理可证，ABM FNM BM=NM ，AB=FN AB=BC BC=FN BCE= NFE=45 ，CE=FE BCE NFE（SAS）BE=NE ， BEC=NEF CEF=NEF+ CEN=90 BEN= BEC+CEN=90 BEN 是等腰直角三角形BM=NM ，即 M 是 BN 的中点BM=ME=12BN 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

14、总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南益阳 21 题】阅读材料： 如图 1，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， AB 中点 P 的坐标为（xp， yp） 由 xp- x1=x2- xp， 得 xp=122xx， 同理 yp=122yy， 所以 AB 的中点坐标为 （122xx，122yy） 。由勾股定理得AB2=| x2- x1 |2+| y2- y1 |2，所以 A、B 两点间的距离公式为AB=222121()()xxyy注：上述公式对A、B 在平面直角坐标系中其它位置也成立。解答下列问题：如图

15、 2，直线 l：y=2x+2 与抛物线y=2x2交于 A、B 两点，P 为 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点C。（1）求 A、B 两点的坐标及C 点的坐标；（2）连结 AB 、AC，求证： ABC 为直角三角形；（3）将直线l 平移到 C 点时得到直线l，求两直线l 与 l的距离解： （1）由2222yxyx可解得：点 A 坐标为（152，35）点 B 坐标为（152，35）点 P 为 AB 的中点点 P 坐标为（12，3）PCx 轴点 C 横坐标为12当 x=12时， y=2x2=12点 C 坐标为（12，12）（2） AC2=(12-152)2+(1352)2=255 5

16、2BC2=(12-152)2+(1352)2=255 52AC2+BC2=25 AB2=(152-152)2+(3535)2=25 AB2= AC2+BC2 ABC 是直角三角形，且ACB 是直角（3）过点 C 作 CDAB 于 D，则线段CD 的长就是两直线 l 与 l的距离。 ABC 是直角三角形，且ACB 是直角SACB=12ACBC=12AB CD CD=AC BCAB由（ 2）得： AB=5 AC2BC2=(255 52)(255 52)=1254AC BC=5 52CD=5 5215=52两直线l 与 l的距离为52BADOCPyxllA图1BPOx1 xp x2 xy1y2ypy

17、|y2-y1|x2-x1|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南张家界25 题】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0 ）的图象过点C（0， 1） ，顶点为Q（2，3） ，点 D在 x 轴正半轴上，且OD=OC 。（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E，求证： CEQ CDO；（4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE 上的动点，点F 是线段 OD 上的动点，问：在P 点和 F 点移动过程中，

18、PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由解： （1） OD=OC ，点 C（0，1）点 D 坐标为（ 1，0）设直线 CD 的解析式为y=kx+b，则10bkb解得11kb直线 CD 的解析式为y=-x+1 （2）抛物线的顶点Q 坐标为（ 2，3）可设抛物线解析式为y=a(x- 2)2+3 点 C（0，1）在抛物线上1=4a+3，得 a=-12抛物线解析式为y=-12x2+2x+1 （3） OC=OD CDO 是等腰直角三角形，DCO=45 DCE=45 OCE=90 CEx 轴， QHCE(QH 为抛物线对称轴) 点 H 坐标为（ 2，1） ，点 E 坐标为

19、（ 4，1）QH=CH=2 ，QH=EH=2 QCH、 EQH 为等腰直角三角形 CEQ 为等腰直角三角形 CEQ CDO EDCQOxyPEDCQOxyHFABKPF（ 4）存在。作点 C 关于 x 轴的对称点A(0， - 1)，作点 C 关于直线 QE 的对称点B，连接 AB 交 QE 于 P，交 OD于 F，连接 PC、CF。由对称性知，PC=PB，FC=FA CPCF=PC+FC+PF=PB+FA+PF=AB 在 QE、OD 上任取点 P 、F ，连 P B、P C、F C、F A、P F，得 P CF 。则 CP CF=P C+F C+P F =P B+F A+P F由两点之间线段最

20、短可知，AB P B+F A+P FCPCF=AB 为 PCF 周长的最小值过点 B 作 BK y 轴于 K 由(3)知， EQCQ， QCE=45 点 C、Q、B 在同一直线上，且BCK=45 BCK 是等腰直角三角形由(3)可得， CQ=22BC=2CQ=42BK=CK=BC sinBCK=4222=4 OC=OA=1 AK=CK+OC+OA=6 AB=2236 16AKBK=213综上所述， 在 P 点和 F 点移动过程中， PCF 的周长存在最小值，最小值为213精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢

21、迎下载【2013湖南邵阳26 题】如图所示，在Rt ABC 中， AB=BC=4 ， ABC=90 ，点 P 是ABC 的外角 BCN的角平分线上一个动点，点P 是点 P 关于直线BC 的对称点，连结PP 交 BC 于点 M，BP 交 AC 于 D，连结 BP、AP 、CP 。（1）若四边形BPCP 为菱形，求BM 的长；（2）若 BMP ABC ，求 BM 的长；（3）若 ABD 为等腰三角形，求ABD 的面积BACDMNPPBACDMNPPBACDMNPPE图1图2图3解： （1）四边形BPCP 为菱形BM=12BC=124=2 （2） BMP ABC ，且 ABC 是等腰 RtBMP 是

22、等腰 Rt MBP =45 ABP =45 ABD 是等腰 RtBP是 AC 的垂直平分线 P AC=PCA CP 是 BCN 角平分线，且BCN=135 PCM=67.5 点 P 是点 P 关于直线BC 的对称点 P CM=PCM=67.5 ACB=45 P CA=PCM - ACB=22.5 P AC=22.5 P AB= PAC+ CAB=22.5 +45 =67.5 AP B=180 - PAB - ABP =67.5 P AB= AP B BP=AB=4 BM=BP sin45 =422=22（ 3）分如下三种情况： 当 AD=BD时，则 ABD 是等腰 Rt，即图2所示情况。由(2

23、)可得 SABD=12SABC=1212AB BC =12124 4=4 当 AB=AD 时，如图 3 所示。 过点 D 作 DE AB于 E，则 ADE 是等腰 RtDE=AD sin45 =422=22SABD=12AB DE=12 422=42 当 AD=BD 时，点 D 与点 C 重合， 点 P、M 均与点 C 重合此时， SABD=SABC=12AB BC=1244=8 综上所述，当ABD为等腰三角形时，ABD的面积为4 或 8 或 42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南娄底

24、 25 题】如图，在 ABC 中， B=45 ，BC=5，高 AD=4 ，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上，E、F 分别在 AB 、AC 上， AD 交 EF 于点 H。（1）求证：AHEFADBC（2）设 EF=x，当 x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动（当矩形的边PQ 到达 A 点时停止运动） ，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出t 的取值范围ABCDEFPQHABCDEFPQHMNKGAB

25、CDEFPQHMNKGRTRT解： （1）四边形EFPQ 是矩形 EFBC AEF ABC ， AEH ABD EFAEBCAB，AEADABAHAHEFADBC（2） EF=x， BC=5，AD=4 AH=EFADBC=45xDH=AD - AH=4 -45xS矩形EFPQ=EFDH= x(4-45x)=2445xx=245()552x当 x=52时，矩形EFPQ 的面积有最大值，最大面积为5. （3）当 EF=x=52时， AH=DH=2 当 0t2 时，重叠部分为阴影部分的多边形由 B=45 ，易证得 EMK 是等腰直角三角形EK=EM=t SEMK=12EKEM=12t2 B=45 B

26、D=AD=4 ，则 CD=1 易求得 NR=12AD=2 ，CR=12CD=12EFBC FGFNCRNRFN=t FG=14t SFNG=12FNFG=18t2S=S矩形EFPQ- SEMK- SFNG=5-12t2-18t2=5-58t2 当 2t4 时，重叠部分为阴影部分AKG 易得 AKG ABC 2()ABCSAHSADSABC=12BC AD=12 54=10，AD=4 S=58AH2DH=QT=t AH=AD - DH=4 - t S=58(4- t)2=10- 5t-58t2故， S 与 t 的函数关系式为：2255-tt8S=510-5t-tt48（0 2）（2 ）【2013

27、湖南衡阳28 题】如图，在平面直角坐标系中，已知A（8,0） ， B（0,6） ， M 经过原点O 及点 A、 B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载（1）求 M 的半径及圆心M 的坐标；（2）过点 B 作 M 的切线 l，求直线l 的解析式；（3） BOA 的平分线交AB 于点 N，交 M 于点 E，求点 N 的坐标和线段OE 的长解： （1） A（8，0） ， B（0，6）OA=8 ，OB=6 AB=226436OAOB=10 AOB=90 AB 是 M 的直径 M 的半径为12AB=5 点 M

28、 是 AB 的中点点 M 坐标为（ 4，3）（2）令直线 l 与 x 轴交于点C BC 是 M 的切线BCAB ，即 ABC=90 BOAC AB2=OAAC( 射影定理 ) AC=21008ABOA=252OC=AC - OA=252- 8=92点 C 坐标为（ -92，0）设直线 l 的解析式为y=kx+b，则9026kbb解得 k=43，b=6 直线 l 的解析式为y=43x+6 （3）过点 N 作 ND x 轴于 D，连接 AE。OE 是 BOA 的平分线 DON=45 OD=ND ND OB NDADOBOAND=34AD AD=OA - OD=OA -ND=8 - ND ND=34

29、(8- ND) ，得 ND=247点 N 坐标为（247，247）ON=2ND=2472AD=43ND=327AN=22222432()()77NDAD=407BN=AB - AN=10 -407=307 AEN= OBN， ANE= ONB AEN OBN NEANBNONNE=4024302777ANBNON=2572OE=ON+NE=2472+2572=72BAOEMlxyCND精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南湘西洲25 题】如图，已知抛物线y=-14x2+bx+4 与 x 轴

30、相交于A、B 两点，与 y 轴相交于点C，若已知 A 点的坐标为A（ - 2，0） 。（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标，连接AC、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；（3）试判断 AOC 与COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使 ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由解： （1）点 A（- 2，0）在抛物线上0=- 1- 2b+4，得 b=32抛物线的解析式为y=-14x2+32x+4 y=-14(x-3)2+254抛物线的对称轴方程为x=3 （2）当 x=0 时， y=4 点 C 坐标为（

31、 0，4）点 A、B 关于直线x=3 对称点 B 坐标为（ 8，0）设直线 BC 的解析式为y=kx+b，则480bkb解得 k=-12，b=4 直线 BC 的解析式为y=-12x+4 （3） AOC COB。理由如下：OA=2 ，OB=8 ，OC=4 12OAOCOCOB AOC= COB=90 AOC COB （4）存在。 在 RtACB 中， D 是 AB 的中点，则AD=CD ，故当点 Q1位于点 D 处时， AQ1=CQ1， ACQ1是等腰三角形，此时点Q1坐标为（ 3，0） 过点 C 作对称轴的垂线，垂足为E，则 AE=3 由题得 AC=22416OAOC=25AC CE 以点 C

32、 为圆心， AC 长为半径画圆，该圆与对称轴有交点Q2和 Q3，显然， ACQ2、 ACQ3是等腰三角形CQ2=CQ3=AC=25，CE=3 EQ2=EQ3=222209CQCE=11DE=OC=4 DQ2= DE+EQ2 =4+11DQ3=DE - EQ3=4-11点 Q2坐标为（3，4+11） ，点 Q2坐标为（3，4-11） 由于 AD=5 AC=25，所以以A 为圆心、 AC长为半径画圆，与对称轴没有交点，不存在点Q。综上所述，存在满足题述条件的点Q，其坐标为（ 3，0）或 4+11）或（ 3，4-11）AQ1BCxyOQ2DQ3E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

33、归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南岳阳24 题】如图，已知以E（3，0）为圆心，以5 为半径的 E 与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A、B、C 三点，顶点为F。（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；（3）已知 M 为抛物线上一动点（不与C 点重合），试探究： 使得以 A、 B、M 为顶点的三角形面积与ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标； 若探究中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线的顶点F，试判断直线MF 与 E 的位置关系，并说明

34、理由。解： （1）由题意知， AE=BE=5 ，OE=3 OA=AE - OE=2，OB=OE+BE=8 点 A 坐标为（ - 2，0） ，点 B 坐标为（ 8，0）连接 AC 、BC AB 是 E 的直径 ACB=90 OCAB OC2=OAOB=2 8=16（射影定理）OC=4 点 C 坐标为（ 0，-4）（2）抛物线经过A、B 两点可设抛物线解析式为y=a(x+2)(x- 8) 抛物线过点C（0，- 4）- 4=- 16a，得 a=14抛物线解析式为y=14(x+2)(x- 8)=14x2-32x- 4 由题意知，抛物线的对称轴为x=3 当 x=3 时， y=145(- 5)=254顶点

35、 F 的坐标为（ 3，254）（3）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点M，显然， ABM 与 ABC 的面积相等。由抛物线的对称性知，点M 的坐标为（ 6，- 4） 作点 C 关于 x 轴的对称点D（0，4） ，过点 D作 x 轴的平行线交抛物线于点M，显然，ABM 与ABC 的面积相等。则点 M 的纵坐标为4 当 y=4 时，14x2-32x- 4=4，解得 x=341点 M 坐标为（ 3-41， 4）或（ 3+41，4）故，所有符合条件的点M坐标为（ 6， - 4）或（ 3-41，4）或（ 3+41，4）（ 4）直线 MF 与 E 相切。理由如下：点 M 在第四象限点 M 坐标为（

36、6，- 4）连接 EM ，连接 CM 交 EF 于点 N，则点 N 坐标为（ 3，- 4）EN=4 ，FN=94，MN=3 43MNENFNMN，且 MNF= ENM=90 MNF ENM EMN= MFN MFN+ FMN=90 EMN+ FMN=90 ，即 EMF=90 EM MF 直线 MF 是 E 的切线ABCxyOFEMMMDN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南湘潭26 题】如图，在坐标系xOy 中， ABC 是等腰直角三角形，BAC 90 ，A(1 ，0)，B(0，2)，

37、抛物线y=12x2+bx-2 的图象过C 点。（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l。当 l 移动到何处时，恰好将ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点 P 是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形 PACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由。解： （1）过点 C 作 CDx 轴于点 D A（1，0） ，B（0，2）OA=1 ，OB=2 BAC=90 OAB+ CAD=90 OAB+ OBA=90 OBA= CAD AOB= ADC=90 ，AB=AC AOB CDA CD=OA=1 ，AD=OB=2 OD=OA+AD=3 点 C 坐标为（ 3，

38、1）点 C 在抛物线上1=9322b，得 b=-12抛物线的解析式为y=12x2-12x- 2 （2） AB=AC=2214OAOB=5SABC=12ABAC=1255=52由图知，当直线l 平分 ABC 面积时，直线l 应位于点 A 右侧、点D 左侧，则SEFC=12SABC=54由 A、C 坐标可得， 直线 AC 解析式为y=12x-12由 B、C 坐标可得，直线BC 解析式为y=-13x+2 设直线 l 为 x=m，则 H （ m，0） ，E （m， -13m+2） ，F（ m，12m-12） ，其中 1m3 EF=-13m+2-12m+12=-56m+52DH=3 - m SEFC=1

39、2EFDH=12(-56m+52)(3- m)=54整理得： (3-m)2=3 解得 m=3+3(舍去 )或 3-3当直线l 移动至 x=3-3处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分（ 3）存在以点 A、B、C 为顶点，可以作出三个平行四边形，如图所示。过点 P作 PKy 轴于 K。易证 PBK BAO ，则 BK=OA=1 ，PK=OB=2 点 P坐标为（ - 2，1）当 x=- 2 时， y=124-12(- 2)- 2=1 点 P在抛物线上同理可得，点P 坐标为（ 4，-1） ，点 P坐标为（ 2，3） ，这两点均不在抛物线上故，存在满足条件的点P，其坐标为（ - 2，1）DACBOx

40、yPDACBOxylEFHKPPKK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南永州25 题】如图，已知ABBD ，CDBD （1）若 AB=9 ，CD=4 ，BD=10 ，请问在BD 上是否存在P 点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若 AB=9 ，CD=4 ，BD=12 ，请问在 BD 上存在多少个P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以P、 C、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（

41、3）若 AB=9 ，CD=4 ，BD=15 ，请问在 BD 上存在多少个P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以P、 C、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（4）若 AB= m，CD= n，BD= l，请 问 m、n、 l 满足什么关系时，存在以P、A、B 三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点？两个P 点？三个P 点？解： （1）存在。假设存在点P，使 PAB PCD B= C=90 PBPDABCD或PBCDABPD设 PB=x，则 PD=10- x若PBPDABCD，则 4 x =9(10 - x)，得 x =9013若PBCDABPD，则

42、 x (10- x)=36 即 x 2- 10 x +36=0 0，方程无实数解此时不存在点P 故，在 BD 上存在 1 个 P 点，使 PAB PCD，BP 的长为9013（2）存在 2 个点 P。设 PB=x，则 PD=12- x与(1)同理若PBPDABCD，则 4 x =9(12 - x)，得 x =10813若PBCDABPD，则 x (12- x)=36 即 x 2- 12 x +36=0，解得 x=6 故，在 BD 上存在 2 个 P 点，使 PAB PCD，BP 的长为 6 或10813（3）存在 3 个点 P。设 PB=x，则 PD=15- x与(1)同理若PBPDABCD，

43、则 4 x =9(15- x)，得 x =13513若PBCDABPD，则 x (15- x)=36 即 x 2- 15 x +36=0，解得 x=3 或 12 故，在 BD 上存在 3 个 P 点，使 PAB PCD，BP 的长为 3 或 12 或13513（ 4）设 PB=x，则 PD=l- x与(1)同理若PBPDABCD，则 n x =m(l- x)，得 x=mlmn若PBCDABPD，则 x (l- x)=mn，即 x 2- l x +mn=0 =l2- 4mn当 l24mn 时，方程无实数解，不存在P 点当 l2=4mn 时，方程有两个相等实数解，存在 1个 P 点当 l24mn

44、时，方程有两个不相等的实数解，存在两个P 点综上所述，当l24mn 时，存在 1 个 P 点，使PAB PCD；当 l2=4mn 时，存在2 个 P 点， PAB PCD；当 l24mn 时，存在 3 个 P 点，PABPCD。ABCDP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载【2013湖南怀化24 题】已知函数y=kx2- 2x+32（k是常数）（1）若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值；（2）若点 M（ 1，k）在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数y=kx2- 2x+32都是

45、 y 随 x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设抛物线y=kx2- 2x+32与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，且x1x2，x12+x22=1，在 y 轴上，是否存在点 P，使 ABP 是直角三角形？若存在，求出点P 及 ABP 的面积；若不存在，请说明理由。解： （1）函数的图像与x 轴只有一个交点方程 kx2- 2x+32=0 有两个相等的实数根=4- 4 k32=0，得 k=23（2）过点 M（ 1，k）的反比例函数，y 随 x 的增大而增大反比例函数图象位于第二、四象限k 0 由 y=kx2- 2x+32=k(x-1k)2-1k+32知：当

46、 k0 时，抛物线开口向下当 x1k时， y 随 x 的增大而增大故， k 应满足的条件是k0，x 的取值范围是x1k（3）存在。由 kx2- 2x+32=0 得， x1+x2=2k， x1x2=32kx12+x22=1 (x1+x2)2- 2x1x2=24k-3k=1 即 k2+3k- 4=0，解得 k=1 或- 4 抛物线与x 轴有两个交点=4- 4 k32 0，得 k23k=- 4 x1+x2=12，x1x2=38x1x2x10 x2以 AB 为直径画圆，与y 轴交于点P、P ，则ABP、 ABP 为直角三角形 ABP=90 ，POAB OP2=OA OB(射影定理 ) OA=-x1，OB= x2OP2=- x1x2=38OP=64点 P坐标为（ 0，64）或（ 0，-64）AB= x2- x1=22112()4xxx x=13448=72SABP=12AB OP=127264=4216ABPPOxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页