2022年华师大版解直角三角形教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 19 章解直角三角形第 1 课时19.1测量【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解决生活中某些测量问题。【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。【教学方法】探究法【教具准备】皮尺、测角仪【教学过程】一问题引入1测量操场旗杆有多高？如图 19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度图 19.1.1 2如果就你一个人， 又遇上阴天， 那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识二试一试如图 19.1.2所示，

2、站在离旗杆BE 底部 10 米处的 D 点，目测旗杆的顶部，视线 AB与水平线的夹角 BAC 为 34，并已知目高 AD 为 1 米现在请你按1500 的比例将 ABC 画在纸上， 并记为 ABC，用刻度直尺量出纸上BC的长度，便可以算出旗杆的实际高度你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。）图 19.1.2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页学习必备欢迎下载实际上，我们利用图 19.1.2 （1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系直角三角形中，三条边有什么关系？

3、它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容三归纳小结：两种测量的方法：方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长；方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。四课堂练习1在一次数学活动课上， 老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5 米的竹竿直立在离旗杆27米的 C 处（如图所示），然后沿 BC 方向走到 D 处，这时目测旗杆顶部A 到竹竿顶部 E 处恰好在同一直线上，又测得C、D 两点的距离为 3 米，小芳

4、的目高为 1.5 米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。2请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。五课后作业P99（习题 19.1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页学习必备欢迎下载第 2 课时19.2勾股定理（ 1）【教学目标】 1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理；2运用勾股定理进行简单的计算。【教学重点】运用勾股定理进行简单的计算。【教学难点】理解勾股定理。【教学方法】探究法【教具准备】直尺、电脑、实物投影【教学过程】一问题引入现在先让我们一起来看看， 直角三角形

5、的三条边之间有什么关系 . 1观察图 19.2.1 三个正方形的面积之间的关系AC2BC2AB22AC、BC、AB 又恰好是 RtABC 的三条边。这说明。二试一试观察图 19.2.2，如果每一小方格表示1 平方厘米，那么可以得到：正方形P 的面积 _ 平方厘米；正方形 Q 的面积 _ 平方厘米. 正方形 R的面积 _ 平方厘米 . 我们发现，正方形P、Q、R 的面积之间的关系是_. 由 此 ， 我 们 得 出 直 角 三 角 形ABC 的 三 边 的 长 度 之 间 存 在 关 系_. 三做一做在图 19.2.3的方格图中， 用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm 的直角三角形，然后用

6、刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立 . 图 19.2.1 （每一格表示1 平方厘米）图 19.2.2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页学习必备欢迎下载四勾股定理数学上可以说明： 对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为 c，那么一定有a2+b2=c2这种关系我们称为勾股定理. 勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 五运用实例例1如图 19.2.4， 将长为 5.41 米的梯子 AC 斜靠在墙上，BC 长为 2.

7、16米，求梯子上端 A 到墙的底端 B 的距离 AB.（精确到 0.01 米）解在 RtABC 中,ABC=90, BC=2.16,CA=5.41, 根据勾股定理得222216.241.5BCACAB4.96（米）六课堂练习P102：练习 12 补充：1在 RtABC 中，ABc,BCa，ACb, A=90. (1) 已知 a=15,b=12,求 c；(2) 已知 b=8,c=15,求 a。2在 RtABC 中， C=90， A=30，AB6，求：(1) ABC 的面积；(2) AB 边上的高 CD。七课后作业：P104（习题 19.2） ： 13题（每一小格代表1 平方厘米）图 19.2.3

8、 图 19.2.4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页学习必备欢迎下载第 3 课时19.2勾股定理（ 2）【教学目标】 1运用勾股定理进行简单的计算。【教学重点】运用勾股定理进行简单的计算。【教学难点】理解勾股定理。【教学方法】探究法【教具准备】直尺、电脑、实物投影【教学过程】一复习提问1复述勾股定理的内容2在 RtABC 中，ABc,BCa，ACb, C=90. (1) 已知 a=12,b=9,求 c；(2) 已知 b=8,c=17,求 a。3在 RtABC 中， C=90， A=30，AB6，求：(1) ABC

9、 的面积；(2) AB 边上的高 CD。二讲述新课1 试一试用你的方法说明勾股定理的正确性。方法一：22142ababc方法二：22142baabc2例题讲解图 19.2.6图 19.2.7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习必备欢迎下载例 2如图 19.2.9，为了求出湖两岸的A、B 两点之间的距离，一个观测者在点 C 设桩，使三角形 ABC 恰好为直角三角形 .通过测量，得到 AC 长 160米，BC 长 128 米.问从点 A 穿过湖到点 B 有多远？解在直角三角形 ABC 中，AC160，BC128，根

10、据勾股定理可得22BCACAB22128160= 96（米）答：从点 A 穿过湖到点 B 有 96米. 三课堂练习1P104：1、2 2正方形的面积是23，它的对角线的平方是（）A43B49C169D233等腰三角形底边上的高是8，周长是 32，则三角形的面积为（）A32 B40 C48 D56 4把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的2 倍，则其斜边（）A扩大到原来的 2 倍B扩大到原来的4 倍C不变D减小到原来的125A、B 两点在同一直角坐标系中的坐标分别为（2，2）和（ 5，-2） ，求A、B 间的距离。6如右图，居民楼与马路是平行的，相距9 米，在距离载重汽车41 处就可受到噪音影响

11、，试求在马路上以40km/h 速度行驶的载重汽车，给一楼的居民带来多长时间的噪音影响？四课后作业P104（习题 19.2） ：4、5 图 19.2.9 居民楼马路ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页学习必备欢迎下载第 4 课时19.3.1锐角三角函数【教学目标】 1了解锐角三角函数的定义；2初步掌握三角函数的性质；3知道几种特殊角的三角函数值；4掌握定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。【教学重点】掌握几种特殊角的三角函数值和定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30

12、，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。【教学难点】掌握三角函数的性质【教学方法】探究法【教具准备】直尺、电脑、实物投影【教学过程】一复习引入1已知 RtABC 和 RtABC中， CC90， AA，问两个三角形的三组边是否成比例？2观察图 19.3.2中的 RtAB1C1、RtAB2C2和 RtAB3C3中，111ACCB_=_ 111ABCB_=_ （可以使用几何画板演示）结论：当 RtABC 中，A 的大小不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值） 。二讲述新课1三角函数对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的 . 因此这几个比值都是锐角A

13、 的函数，记作 sin A、cos A、tan A、cot A，即sin A=斜边的对边A, cos A=斜边的邻边A, 图 19.3.2 图 19.3.1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页学习必备欢迎下载tan A=的邻边的对边AA, cot A= 的对边的邻边AA分别叫做锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角 A 的三角函数 . 2锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0sin A1，0cos A1 （2）tan A?cot A=1 （3）若A B90，则 sin A cos

14、 B、cos Asin B、tan A cot B、cot A tan B。（4）补充：sintancosAAA=，coscotsinAAA=（视情况定）（5）补充：已知锐角 A，则22sincos1AA+=（视情况定）3例题讲解例1求出图 19.3.3 所示的 RtABC中A 的四个三角函数值 . 解1728922ACBCABsin A=178ABBCcos A=1715ABACtan A=158ACBCcot A=815BCAC4探索： sin30？5定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 6做一做：请填出空白处的值三课堂练习P109（练习） ：

15、14 四课后作业P111（习题 19.3） ：13 图19.3.3158CAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页学习必备欢迎下载第 5 课时19.3.2 用计算器求锐角三角函数值【教学目标】 1会使用计算器求锐角三角函数的值；2会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角。【教学重点】会使用计算器求锐角三角函数的值【教学难点】会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角【教学方法】探究法【教具准备】计算器、电脑、实物投影【教学过程】一讲述新课1如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角. （1）

16、 求已知锐角的三角函数值. 例2求 sin635241的值 .（精确到 0.0001）解先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：显示再按下列顺序依次按键：显示结果为 0.897 859 012. 所以sin6352410.8979 例 3求 cot7045的值 .（精确到 0.0001）解在角度单位状态为 “度”的情况下（屏幕显示出） ，按下列顺序依次按键：显示结果为 0.349 215 633. 所以cot70450.3492. （2） 由锐角三角函数值求锐角例 4已知 tan x=0.7410,求锐角 x.（精确到 1）解在角度单位状态为 “度”的情况下（屏幕显示出） ，按下列顺序依次按键

17、：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页学习必备欢迎下载显示结果为 36.538 445 77. 再按键：显示结果为 363218.4. 所以， x3632. 例5已知 cot x=0.1950,求锐角 x.（精确到 1）分析根据 tan xxcot1，可以求出 tan x 的值，然后根据例4 的方法就可以求出锐角 x的值. 二课堂练习1P111 （练习） ：12 2P111 （习题 19.3） ：45 3 黄冈新思维 P96：第二课时 15 题三课后作业：黄冈新思维 P97：第二课时 610 题第 6 课时19.4.

18、1解直角三角形（1）【教学目标】 1会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题；2会综合运用勾股定理、 直角三角形的边角关系和角角关系，解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页学习必备欢迎下载决简单的实际问题。【教学重点】会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题【教学方法】探究法【教具准备】计算器、电脑、实物投影【教学过程】一复习提问1复述勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2锐角三角函数的定义：si

19、n A=斜边的对边A, cos A=斜边的邻边A, tan A=的邻边的对边AA, cot A= 的对边的邻边AA。3锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0sin A1，0cos A1 （2）tan A?cot A=1 （3）若A B90，则 sin A cos B、cos Asin B、tan A cot B、cot A tan B。（4）补充：sintancosAAA=，coscotsinAAA=（视情况定）（5）补充：已知锐角 A，则22sincos1AA+=（视情况定）二讲述新课1解直角三角形 ：在直角三角形中，除一个直角外，还有2 个角和 3 条边共 5个

20、元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。2例题讲解例 1 （P116习题 19.4： 1 （1） ） 在 RtABC 中， C90， 已知6 15a =，6 5b =，解直角三角形。分析：先根据条件画出三角形，可由勾股定理求出c，再由三角函数求锐角的度数。答案：12 5c =，A60， B30 例 2（P112例 1）如图 19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面 10米处折断倒下，树顶落在离树根24 米处.大树在折断之前高多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页学习必备欢迎下载分析：利

21、用勾股定理求出折断倒下部分的长度，再求大树在折断前的高度。答案： 36米 三归纳：1 解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角2在解直角三角形的过程中， 常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1. 四课堂练习1P116（习题 19.4） ：1 （2）2P113（练习） ：1 3 黄冈新思维 P98：14 五课后作业：P116（习题 19.4） ：1 （3）（ 4） 【改为“解这个直角三角形”】第 7 课时19.4.2解直角三角形（2）【教学目标】 1会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题；2会综合运用勾股定理、 直角三

22、角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。【教学重点】会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题图 19.4.1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页学习必备欢迎下载【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题【教学方法】探究法【教具准备】计算器、电脑、实物投影【教学过程】一复习提问1解直角三角形 ：在直角三角形中，除一个直角外，还有2 个角和 3 条边共 5 个元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。2解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；

23、（2）已知一条边和一个锐角3在解直角三角形的过程中， 常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1。二例题讲解例 2如图 19.4.2，东西两炮台 A、B 相距 2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台 A 测得敌舰 C 在它的南偏东 40的方向，炮台B 测得敌舰 C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到 1 米）分析：分析题目所给条件， 找出未知量与已知量间的关系。计算方法不止一种，可选择适当的方法。解：在 RtABC 中，CAB90 DAC50，ABBCtanCAB, BCAB?tanCAB=2000tan502384(米). 又50cosACAB，AC)(

24、311150cos200050cos米AB答：敌舰与 A、B 两炮台的距离分别约为3111米和 2384米。三课堂练习1P113（练习） ：2 2 黄冈新思维 P99：58 四课后作业P116（习题 19.4） ：2 图 19.4.2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页学习必备欢迎下载第 8 课时19.4.3解直角三角形（3）【教学目标】 1会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题；2会综合运用勾股定理、 直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。【教学重点】会运用解直角三角形有关知识解决有

25、关仰角俯角的实际问题【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题【教学方法】探究法【教具准备】计算器、电脑、实物投影精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页学习必备欢迎下载【教学过程】一新知识点提读一读如图 19.4.3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 二例题讲解例 3如图 19.4.4， 为了测量电线杆的高度AB， 在离电线杆 22.7米的 C 处，用高 1.20米的测角仪 CD 测得电线杆顶端B 的仰角 a22，求

26、电线杆 AB 的高 （精确到 0.1 米）解在 RtBDE 中，BEDEtan aACtan a22.7tan 229.17，所以ABBEAEBECD9.171.2010.4（米） 答： 电线杆的高度约为10.4 米注意： 当题目中要求取近似值时，计算过程应比题目要求多取一位近似值。如该例题中要求精确到0.1 米，则在计算过程中应先精确到0.01米。三课堂练习1P114 （练习） ：1、2 2 黄冈新思维 P101：18 四课后作业P116（习题 19.4） ：3 图 19.4.3 图 19.4.4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

27、15 页，共 21 页学习必备欢迎下载第 9 课时19.4.4解直角三角形（4）【教学目标】 1会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题；2会综合运用勾股定理、 直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。【教学重点】会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题【教学方法】探究法【教具准备】计算器、电脑、实物投影【教学过程】一新知识点提精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页学习必备欢迎下载读一读在修路、挖河、

28、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图 19.4.5，坡面的铅垂高度（ h）和水平长度（ l）的比叫做坡面坡度（或坡比） .记作 i,即 i=lh. 坡度通常写成 1m 的形式，如 i=16. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有ilh=tan a显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡 . 二例题讲解例 4如图 19.4.6， 一段路基的横断面是梯形， 高为 4.2米， 上底的宽是 12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32和 28求路基下底的宽（精确到0.1 米）解作 DEAB，CFAB，垂足分别为 E、F由题意可知DECF4.2（米） ，CDEF12.51（米）

29、在 RtADE 中，32tan2 .4AEAEDEi)(72.632tan2.4米AE在 RtBCF 中，同理可得)(90.728tan2.4米BFABAEEFBF6.7212.517.9027.13（米） 答： 路基下底的宽约为27.13 米三课堂练习1P116（练习）2 黄冈新思维 P103：18 四课后作业P116（习题 19.4） ：4 图 19.4.5 图 19.4.6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页学习必备欢迎下载第 10 课时小结与复习（ 1）【教学目标】 1复习本章知识结构；2巩固勾股定理、三

30、角函数和解直角三角形的相关知识；【教学重点】勾股定理、锐角三角函数和解直角三角形的应用【教学难点】锐角三角函数的概念【教学方法】探究法【教具准备】计算器、电脑、实物投影【教学过程】一知识结构精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页学习必备欢迎下载二概括1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题三例题讲解1如图，以 RtABC 的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系（第 2 题）2计算：2cos 30cot

31、602tan 453求下列直角三角形中字母的值：4如图，在直角坐标平面中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y） ，且 OP与 x 轴的正半轴的夹角a 的正切值是34，求：（1） y 的值；（2） 角 a 的正弦值（第 9 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页学习必备欢迎下载5如图，一个古代棺木被探明位于A 点地下 24米处由于 A 点地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距A 点 8 米的 B 点挖掘考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？四课

32、堂练习P119（复习题）A 组：1、3、4（2） （3） 、5（2） （3） 、10 五课后作业：P119（复习题）A 组：6、7、8 第 11 课时小结与复习（ 2）【教学目标】 1进一步巩固勾股定理、三角函数和解直角三角形的相关知识；2熟练掌握运用解直角三角形的相关知识解决实际问题，增强应用数学的意识。【教学重点】解直角三角形的应用【教学难点】解直角三角形的应用【教学方法】探究法【教具准备】计算器、电脑、实物投影【教学过程】一例题讲解（第 11 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页学习必备欢迎下载例 1（P

33、120：12） 一架 25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7 米如果梯子的顶部滑下4 米，梯子的底部滑开多远？例 2（P121：14） 如图，两建筑物的水平距离BC 为 24 米，从点 A 测得点 D的俯角 a30， 测得点 C 的俯角 b60，求 AB 和 CD两座建筑物的高（结果保留根号）例 3（P121：15） 在地面上一点 A 测得一电视塔的顶端的仰角为42，再向电视塔方向前进 120 米，又测得电视塔的顶端的仰角为61，求这个电视塔的高度 （精确到 1 米）二课堂练习1P120：13、16、17 2 黄冈新思维 P108：24（割补法）三课后习题黄冈新思维 P106： 单元测试（第 16 题）（第 14 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页