2022年反比例函数经典讲义 .pdf

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1、反比例函数讲义第 1 节 反比例函数本节内容：反比例函数定义反比例函数定义的应用（重点）1、 反比例函数的定义电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足关系式：U=IR 当 U=220V 时，可以用含有R的代数式表示I： _ 舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I 较小时，灯光较暗；当电流 I 较大时，灯光较亮。一般地， 如果两个变量x、y之间的关系可以表示成xkyk(为常数，)0k的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的自变量x不能为零。小注：（1）xky也可以写成1kxy或kxy的形式；（2）xky若是反比例函数，则x、y、k均不为零；（3）kxy)0(k通常表示

2、以原点及点yx,为对角线顶点的矩形的面积。例 1 下列函数中是反比例关系的有_（填序号）。3xy131xyxy22211xyxy2321xy28xy1xy2xyxkyk(为常数，)0k2、 反比例函数定义的应用（重点）确定解析式的方法仍是_，由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k的值，从而确定其解析式。例 2 由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻 R成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2 安培。（1）求 I 与 R的函数关系式；（2）当 R=5欧姆时，求电流强度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

3、总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页本节作业：1、小明家离学校1.5km，小明步行上学需xmin，那么小明的步行速度min)/(my可以表示为xy1500；水名地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为x2m，那么该物体对地面的压强)/(2mNy可以表示为xy1500。 函数表达式xy1500还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系，请你再列举一例。2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82m的矩形模具，假设模具的长与宽分别为y与x。（1）你能写出y与x之间的函数表达式吗？变量y与x之间是什么函数？（2）若想使模具的长比宽多1.6m，已知每米这种不锈钢条6

4、元钱，求加工这个模具共花多少钱？3、若函数满足023xy，则y与x的函数关系式为_，你认为y是x的_函数。4、已知y=21yy，1y与x成正比例，2y与x成反比例， 并且当x=2 时，y= 4；当x= 1 时，y=5，求出y与x的函数关系式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页5、已知y是x的函数，且其对应数据如下表所示，你认为y是x的正比例函数还是反比例函数？你能写出函数的表达式，并填上表格中的空缺吗？x-3 -2 1 3 4 y233 23436、 （ 2008安徽）函数xky的图象经过点A（1， 2） ，则k的

5、值为（） 。A21B. 21C. 2 D. 2 7、若函数132)1(mmxmy是反比例函数，则m的值为（） 。Am= 2 B. m= 1 C. m= 2 或m= 1 D. m= 2，或m= 1 8、若甲、乙两城市间的路程为1000 千米，车速为每小时x千米，从甲市到乙市所需的时间为y小时，那么y与x的函数表达式是_ （不必写出x的取值范围） ，y是x的_函数。9、已知y是x的反比例函数， 当x=5 时，y= 1，那么，当y=3 时，x=_； 当x=3时，y=_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页第 2 节反比例函

6、数的图象与性质本节内容：反比例函数的图象及其画法反比例函数的性质（重点）反比例函数xky)0(k中的比例系数k的几何意义（难点）反比例函数与正比例函数图象的交点1、 反比例函数的图象及其画法反比例函数图象的画法描点法：（1）列表自变量取值应以0（但)0(x为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y的值；（2）描点先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3）连线按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。反比例函数xky的图象是由两支曲线组成的。当0k时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k

7、时，两支曲线分别位于第二、四象限内。小注：（1）这两支曲线通常称为双曲线。（2）这两支曲线关于原点对称。（3）反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。例 1：画出反比例函数xy6与xy6的图象。解： （1）列表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页（2）描点：（3）连线。1 反比例函数的性质反比例函数xky)0(kk 的符号k 0 k0 图象（双曲线）x、 y 取值范围x 的取值范围x0 y 的取值范围y0 x 的取值范围x 0 y 的取值范围y 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

8、 - - - - - -第 5 页，共 23 页位置第一 ,三象限内第二 ,四象限内增减性每一象限内 ,y 随 x 的增大而减小每一象限内 ,y 随 x 的增大而增大渐近性反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y轴,画图象时 ,要体现出这个特点. 对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形. 例 2 已知2(1)mymx是反比例函数，则函数的图象在（）A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、四象限 D 、三、四象限例 3 函数2ykx与kyx（k 0）在同一坐标系内的图象可能是（）例 4 已知反比例函数xky的图象经过点P( 一 l，2)，

9、则这个函数的图象位于A第二、三象限B第一、三象限C第三、四象限D第二、四象限3 反比例函数xky)0(k中的比例系数k的几何意义（难点）k的几何含义： 反比例函数ykx (k 0) 中比例系数k 的几何意义， 即过双曲线ykx (k0) 上任意一点P作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、 B， 则所得矩形OAPB的面积为 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页例 5A、B 是函数2yx的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴， ACy轴， ABC的面积记为S，则（）A2SB4SC24SD4S例 6 如图A在反比

10、例函数(0)kykx的图象上，AMx轴于点M，AMO的面积为3，则k4 反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例 7如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数myx的图象交于( 21)(1)ABn，两点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB的面积O B xyC A 图 1 O y x B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页oyxoxyxyoyox本节练习一、选择题（每小题6分，共 36分）1. 已知2(1)mymx是反比例函数，则函数的图象在（）A、一、三象限 B、二、四象限

11、 C、一、四象限 D 、三、四象限2.若反比例函数kyx的图象经过点( 12)，则这个函数的图象一定经过点（）、( 21)，、122，、(21)，、122，3. 反比例函数5nyx的图象经过点（2，3） ，则n的值是（）A、 2 B、 1 C、0 D、1 4.反比例函数1kyx的图象在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可为（）A、1 B、0 C、1 D、2 5.如果两点1P（1，1y）和2P（2，2y）都在反比例函数1yx的图象上，那么（）A2y1y 0B 1y2y0C 2y1y0 D 1y2y0 6.函数(0 )kykx的图象如图所示，那么函数ykxk的图象大致是（） A B C D

12、二、填空题（每小题6 分，共 24 分）7.如果反比例函数kyx（0k）的图象经过点（1， 2） ，则这个函数的表达式是_. 当0 x时，y随x的增大而 _ （填“增大”或“减小）8. 如图 7，双曲线xky与直线mxy相交于A、B两点，B点坐标为( 2， 3)，则A点坐标为 _Oxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页9. 如图 8，点 A 在反比例函数xky的图象上， AB 垂直于 x 轴，若4AOBS，那么这个反比例函数的解析式为_. 图 810. 老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、

13、三象限有它的图象；乙：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小请你写一个满足上述性质的函数_ 三、解答题每小题，共40 分11. （20 分）如图，一次函数bkxy的图象与反比例函数xmy图象交于A（ 2，1） 、B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围12. （20 分）如图，已知反比例函数1(0)mymx的图象经过点( 21)A，一次函数2(0)ykxb k的图象经过点(0 3)C，与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B （1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B的坐标精选学习资料 - - -

14、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页第 3 节反比例函数的应用本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题例题 1 .面积一定的梯形，其上底长是下底长的21，设下底长x=10 cm 时，高 y=6 cm (1)求 y 与 x 的函数关系式；(2)求当 y=5 cm 时，下底长多少？16.一定质量的二氧化碳，当它的体积V=6 m3时，它的密度 =1.65 kg/m3. (1)求与 V 的函数关系式 . (2)当气体体积是1 m3时，密度是多少？(3)当密度为1.98 kg/m3时，气体的体积是多少？例题 2 如图， RtAOB 的顶点 A 是一次

15、函数y=x+m+3 的图象与反比例函数y=xm的图象在第二象限的交点，且SAOB=1，求点 A 的坐标 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页例题 3 某厂要制造能装250mL(1mL=1 cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02 cm，顶部厚度是底部厚度的3 倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm3.用铝量 =底面积底部厚度+顶部面积顶部厚度+侧面积侧壁厚度，求y 与 x 间的函数关系式 .综合检测题一、填空题：

16、1 、u与t成反比，且当u6 时，81t，这个函数解析式为；2、函数2xy和函数xy2的图像有个交点；3、反比例函数xky的图像经过（23，5）点、 （a， 3）及（ 10，b）点，则k，a，b；4、若函数414mxmy是正比例函数，那么m，图象经过象限；5、若反比列函数1232)12(kkxky的图像经过二、四象限，则k= _ 6、已知y-2 与x成反比例，当x=3 时，y=1，则y与x间的函数关系式为；7、已知正比例函数kxy与反比例函数3yx的图象都过A（m，1） ，则m，正比例函数与反比例函数的解析式分别是、；8、 设有反比例函数ykx1，(,)xy11、(,)xy22为其图象上的两点

17、，若xx120时，yy12，则k的取值范围是 _ 9、右图 3是反比例函数xky的图象，则k与 0 的大小关系是k 0. 10、函数xy2的图像，在每一个象限内，y随x的增大而；11、反比例函数0kxky在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点， MP垂直x轴于点 P，如果 MOP 的面积为1，那么k的值是；12、7225mmxmy是y关于x的反比例函数，且图象在y x O P M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页第二、四象限，则m的值为；二、选择题：（分数 3 分 14=42 分，并把答案填在第12 题后的方

18、框内）1、下列函数中，反比例函数是（）A、1)1( yx B、11xy C、21xy D、xy312、已知反比例函数的图像经过点（a，b） ，则它的图像一定也经过（）A、 (a, b) B、 (a, b) C、 (a，b) D、（0， 0）3、如果反比例函数xky的图像经过点（3， 4） ，那么函数的图像应在（）A、第一、三象限B、第一、二象限C、第二、四象限D 、第三、四象限4、若y与 3x成反比例，x与z4成正比例，则y是z的（）A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数 D 、不能确定5、若反比例函数22)12(mxmy的图像在第二、四象限，则m的值是（）A、1 或 1 B 、小于21的任

19、意实数 C 、1 、不能确定6、函数xky的图象经过点（4，6） ，则下列各点中不在xky图象上的是（）A、（3， 8） B、 （3， 8） C、（ 8， 3） D、（4， 6）7、正比例函数kxy和反比例函数xky在同一坐标系内的图象为（）A B C D 8、如上右图， A为反比例函数xky图象上一点， AB垂直x轴于 B点，若 SAOB 3，则k的值为（）A、6 B、 3 C、23D、不能确定9、如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm 与宽xcm 之间的函数关系用图象表示大致（）A B C D y x o y x o y x o y x o A B O x y o y x y x o

20、y x o y x o 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页10、在同一直角坐标平面内，如果直线xky1与双曲线xky2没有交点，那么1k和2k的关系一定是（）A 1k0 B 1k0，2k0)于点 N；作 MPAN 交双曲线xky(x0)于点 M，连结 AM.已知 PN=4. （1）求 k 的值 .（2）求 APM 的面积 . 23.如图 12，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于AB，两点， 且点A的横坐标为4 （1）求k的值；（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积；（3）过原点O

21、的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ，两点（P点在第一象限） ，若由点ABPQ， ， ，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标OxAyB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页24.如图，111P,x y，222P,xy， P,nnnxy在函数40yxx的图像上，11POA，212P A A，323P A A， 1P AAnnn都是等腰直角三角形，斜边1OA、12A A、23A A， 1AAnn都在x轴上求1P的坐标求12310yyyy的值yxP1P2P3A3A2A1O25.如图正方形OABC的面积为4，点

22、O 为坐标原点，点B 在函数kyx(0,0)kx的图象上，点P(m，n)是函数kyx(0,0)kx的图象上异于B的任意一点，过点P分别作 x轴、 y 轴的垂线，垂足分别为E、F(1)设矩形 OEPF的面积为Sl，判断 Sl与点 P的位置是否有关(不必说理由 )(2)从矩形 OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积， 剩余面积记为S2，写出 S2与 m的函数关系，并标明m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页A B C O y x 26.如图 8，直线bkxy与反比例函数xky（x0）的图象相交于点

23、A、点 B，与 x 轴交于点 C，其中点A 的坐标为（2，4） ，点 B的横坐标为4. （1）试确定反比例函数的关系式；（2）求 AOC的面积 . 27.（09 北京）如图， A、B两点在函数0myxx的图象上 .（ 1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页28.已知：如图，正比例函数yax的图象与反比例函数kyx的图象交于点3 2A， （1）试确定上述正比例函数和反比例函数

24、的表达式；（2）根据图象回答， 在第一象限内， 当x取何值时， 反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M mn，是反比例函数图象上的一动点，其中03m，过点M作直线MNx轴，交y轴于点B；过点A作直线ACy轴交x轴于点C，交直线MB于点D当四边形OADM的面积为6 时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由y x OA D M C B 实用工具 :常用数学公式公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b| |a|+|b| |a-b| |a|+|b| |a| b -

25、bab |a-b| |a| -|b| -|a| a|a| 一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a -b- (b2 -4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c*h 正棱锥侧面积S=1/2c*h 正棱台侧面积S=1/2(c+c)h 圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2 圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式l=a*r a 是圆心角的弧度数r0 扇形公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积V=SL 注：其中 ,S是直截面面积，L 是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页