2022年圆的标准方程与一般方程 .pdf

《2022年圆的标准方程与一般方程 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年圆的标准方程与一般方程 .pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品资料欢迎下载圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b) ，半径为r。 （其中 a、 b、r都是常数， r0）设 M(x,y) 为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出 ） P=M|MA|=r,由 两 点 间 的 距 离 公 式 让 学 生 写 出 点M适 合 的 条 件22(

2、)()xaybr化简可得：222()()xaybr642-2-4-55MA引导学生自己证明222()()xaybr为圆的方程，得出结论。方程就是圆心为A(a,b),半径为 r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。3、知识应用与解题研究例（1） ： 写出圆心为(2,3)A半径长等于5 的圆的方程， 并判断点12(5, 7),(5, 1)MM是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点00(,)M xy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：（1）2200()()xayb2r，点在圆外（2）2200()()xayb=2r，点在圆上（3）2200()()xayb2r，点在

3、圆内例（ 2） ：ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7, 3),(2,8),ABC求它的外接圆的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页精品资料欢迎下载师生共同分析： 从圆的标准方程222()()xaybr可知， 要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定abr、 、三个参数 .（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C的圆:10lxy经过点(1,1)A和(2,2)B,且圆心在:10lxy上,求圆心为C的圆的标准方程. 师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点(1,1)A和(2, 2

4、)B,由于圆心C与 A,B 两点的距离相等，所以圆心C在险段 AB 的垂直平分线 m 上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m 的交点，半径长等于CA或CB。（教师板书解题过程）42-2-4-6-55mlABC总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2） 、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：、根据题设条件，列出关于abr、 、的方程组，解方程组得到abr、 、得值，写出圆的标准方程 . 根据确定圆的要素，以及题设条件， 分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 课堂练习：课本127p第 1、3、4 题4.提炼小结：1、 圆的标准方程。2、 点与圆的

5、位置关系的判断方法。3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页精品资料欢迎下载圆的一般方程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程 .利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦， 得用直线的知识解决又有其简单的局限性， 那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程. 让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题 . 概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x a)2 + (

6、y b)2 = r2，圆心 (a，b)，半径 r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 r2=0.取 D = 2a，E = 2b，F = a2 + b2r2得 x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+ y2+ Dx+ Ey + F = 0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得22224()()224DEDEFxy(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当 D2 + E2 4F 0 时，方程表示以(,)22DE为圆心，22142DEF为

7、半径的圆；（2）当 D2 + E2 4F = 0 时，方程只有实数解,22DExy，即只表示一个点(,)22DE；（3）当 D2 + E2 4F 0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示的曲线不一定是圆.只有当 D2 + E2 4F0 时， 它表示的曲线才是圆， 我们把形如x2 + y2 + Dx整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（ 1） x2和 y2的系数相同，不等于0.没有 xy 这样的二次项 .（ 2） 圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求

8、出这三个系数，圆的方程就确定了 .（ 3） 与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 通过学 生 对 圆的 一 般 方程的探究，使 学 生 亲身 体 会 圆的 一 般 方程的特点，及 二 元 二次 方 程 表示 圆 所 满足的条件 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页精品资料欢迎下载+ Ey + F = 0 的表示圆的方程称为圆的一般方程 . 应用举例例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径 .（1）

9、4x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0（2）4x2 + 4y2 4x + 12y + 11 = 0解析： （1）将原方程变为x2 + y2x + 3y +94= 0D = 1，E =3，F =94.D2 + E2 4F = 10此方程表示圆， 圆心（12，32） ，半径 r =12.（2）将原方程化为x2 + y2 x + 3y +114= 0D = 1，E =3，F =114.D2 + E2 4F = 1 0此方程不表示圆. 学生自己分析探求解决途径：用配方法将其变形化成圆的标准形式.运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（ 1）4x2 + 4y2 4x+ 12y +

10、 9 = 0 来说，这里的 D = 1，E = 3，94F而不是 D = 4，E = 12，F = 9. 通过例 题 讲 解使 学 生 理解 圆 的 一般 方 程 的代 数 特 征及 与 标 准方 程 的 相互 转 化 更进 一 步 培养 学 生 探索 发 现 及分 析 解 决问 题 的 能力. 例 2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析： 据已知条件， 很难直接写出圆的标准方程， 而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F

11、 = 0A (0，0)，B (1， 1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 D、E、F 的三元一次方程组：即02042200FDEFDEF解此方程组，可得：D= 8，E=6，F = 0所求圆的方程为：x2 + y2 8x + 例 2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1根据题设， 选择标准方程或一般方程. 2根据条件列出关于a、b、r 或 D、E、F 的方程组；3解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4

12、页，共 12 页精品资料欢迎下载6y = 0221452rDEF；4,322DF.得圆心坐标为 (4， 3).或将 x2 + y2 8x + 6y = 0 左边配方化为圆的标准方程，(x 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5， 圆心坐标为(4， 3). 例 3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4，3)，端点 A 在圆上 (x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 . 解：设点M 的坐标是 (x，y)，点 A的坐标是 (x0，y0)由于点 B 的坐标是 (4，3)且 M 是线段 AB 中重点，所以0043,22xyxy，于是有

13、 x0 = 2x 4，y0 = 2y 3 因为点 A 在圆 (x + 1)2 + y2 = 4 上运动，所以点 A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即(x0 + 1)2 + y02 = 4 把代入，得(2x 4 + 1)2 + (2y 3)2 = 4，整理得2233()()122xy所以，点 M 的轨迹是以33(,)22为圆心，半径长为1 的圆 . 课堂练习：课堂练习 P130第 1、2、3题. 教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书. 分析：如图点A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动， 点 A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立点 M 与点

14、 A坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程 . 归纳总结1圆的一般方程的特征2与标准方程的互化3用待定系数法求圆的方程4求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结让学生 更 进 一步（回顾）体 会 知 识的形成、 发展、完善的过程 . M A x y O B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页精品资料欢迎下载4.1.1圆的标准方程一、基础过关1 (x 1)2(y2)24 的圆心与半径分别为() A(1,2)，2 B(1， 2)，2 C(1,2)，4 D(1， 2)，4 2点 P(m2,5

15、)与圆 x2y224 的位置关系是 () A在圆内B在圆外C在圆上D不确定3圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2， 2)，则此圆的方程是() A(x 2)2(y1)2 1B(x2)2 (y1)21 C(x2)2(y1)2 1D(x2)2 (y1)21 4圆 (x1)2y21 的圆心到直线y33x 的距离为 () A.12B.32C1 D.3 5圆 O 的方程为 (x3)2(y4)225，点 (2,3)到圆上的最大距离为_6圆 (x3)2(y1)21 关于直线x2y30 对称的圆的方程是_7求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点 P(5,1)，圆心为点C(8， 3)；(2)经过点 P(4,2

16、)，Q(6， 2)，且圆心在y 轴上8求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90 上的圆的方程二、能力提升9方程 y9 x2表示的曲线是 () A一条射线B一个圆C两条射线D半个圆10若直线yaxb 通过第一、二、四象限，则圆(xa)2 (y b)21 的圆心位于 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页精品资料欢迎下载A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11如果直线l 将圆 (x 1)2(y2)2 5 平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是_12平面直角坐标系中有A(0,1)

17、，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)四点， 这四点能否在同一个圆上？为什么？三、探究与拓展13已知点A(2， 2)，B( 2,6)，C(4，2)，点 P 在圆 x2 y24上运动，求 |PA|2|PB|2|PC|2的最值答案1A2.B3.B 4A552 6. x1952 y3521 7解(1)圆的半径r|CP|582 1325，圆心为点 C(8， 3)，圆的方程为 (x 8)2(y3)2 25. (2)设所求圆的方程是x2(y b)2r2. 点 P、Q 在所求圆上，依题意有16 2b2r2，36 2b2r2，?r21454，b52.所求圆的方程是x2 y5221454. 精选学习资料 -

18、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精品资料欢迎下载8 解由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x 2y150，由3x 2y150，3x 10y90，解得x7，y 3.圆心 C(7， 3)，半径 r |AC|65. 所求圆的方程为(x7)2(y3)265. 9D10.D110,212 解能设过 A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(xa)2(yb)2r2. 将 A，B，C 三点的坐标分别代入有a2 1b2r2，2a2 1b2r2，3a2 4b2r2，解得a1，b3，r5.圆的方程为 (x 1)2(y3)2 5. 将

19、D(1,2)代入上式圆的方程，得(11)2(23)2415，即 D 点坐标适合此圆的方程故 A，B，C， D 四点在同一圆上13 解设 P(x，y)，则 x2 y2 4. |PA|2|PB|2|PC|2(x2)2(y2)2(x2)2(y 6)2(x 4)2 (y2)23(x2y2)4y68804y. 2 y2，72|PA|2|PB|2 |PC|288. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页精品资料欢迎下载即|P A|2|PB|2|PC|2的最大值为88，最小值为72. 4.1.2圆的一般方程一、基础过关1方程 x2y

20、2xy m 0 表示一个圆，则m 的取值范围是 () Am2 Bm12Cm 2 Dm122设 A，B 为直线 yx 与圆 x2 y21 的两个交点，则|AB|等于 () A1 B.2 C.3 D2 3 M(3,0)是圆 x2y28x2y100 内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是() Axy30 Bxy 30 C2xy60 D2xy60 4已知圆x2y22ax2y(a1)20(0a1)，则原点O 在() A圆内B圆外 C圆上D圆上或圆外5如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，圆心坐标为_6已知圆C：x2y22x ay3 0(a 为实数 )上任意一点关于直线l：xy 20

21、 的对称点都在圆 C 上，则 a_. 7已知圆的方程为x2y26x6y140，求过点A(3， 5)的直线交圆的弦PQ 的中点 M 的轨迹方程8求经过两点A(4,2)、B(1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2 的圆的方程二、能力提升9若圆 M 在 x 轴与 y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是() Axy0 B xy0 Cx2y20 Dx2y20 10过点 P(1,1)的直线，将圆形区域( x，y)|x2y24 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共

22、12 页精品资料欢迎下载Axy20 By1 0 Cxy0 D x3y40 11 已知圆的方程为x2 y2 6x8y0，设该圆过点 (3,5) 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD 的面积为 _12求一个动点P 在圆 x2y21 上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M 的轨迹方程三、探究与拓展13已知一圆过P(4， 2)、Q(1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程答案1B2.D3B4B5(0， 1) 6 2 7解设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x3)2(y3)2 4.圆心 C(3,3)CM AM，kCM kAM 1，即y3x3y5x3 1，即

23、 x2(y1)2 25. 所求轨迹方程为x2(y1)2 25(已知圆内的部分)8 解设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页精品资料欢迎下载令 y0，得 x2DxF0，所以圆在 x 轴上的截距之和为x1x2 D；令 x0，得 y2EyF0，所以圆在 y 轴上的截距之和为y1y2 E；由题设，得x1x2y1y2 (DE) 2，所以 DE 2.又 A(4,2)、B(1,3)两点在圆上，所以 1644D2EF0，19D3EF0，由 可得 D 2， E0，F 12，故所求圆的方程为x2y2

24、2x12 0. 9D10A12 解设点 M 的坐标是 (x，y)，点 P 的坐标是 (x0，y0)由于点 A 的坐标为 (3,0)且 M 是线段 AP 的中点，所以 xx032， yy02，于是有 x02x 3，y02y. 因为点 P 在圆 x2y21 上移动，所以点 P 的坐标满足方程x20 y201，则(2x3)24y21，整理得x322y214. 所以点 M 的轨迹方程为x322y214. 13 解设圆的方程为：x2 y2 DxEy F0，将 P、Q 的坐标分别代入，得4D2EF 20D3E F10 令 x0，由 得 y2Ey F0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精品资料欢迎下载由已知 |y1y2|43，其中 y1，y2是方程 的两根(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.解 联立成的方程组，得D 2E0F 12或D 10E 8F 4. 故所求方程为：x2y22x120 或 x2 y2 10 x8y 40. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页