2022年北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计 .pdf

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1、课题：第三章第 2 节圆的对称性（1）课型：新授课教学目标：1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点）2理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题(难点 ) 教法与学法指导：这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践大胆猜测 -综合证明 - 灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神. 课前准备：制作课件，学生预习学案.教学过程：一、情景导入明确目标组织教学 ：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，( 问题1) 通过上节课车轮为什么是圆形的学习，认识了圆的基本概念, 这是

2、一张圆形纸片, 你有什么办法找出它的圆心呢？学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心.师：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程. 学生演示：在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形 师 ：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？ 生 2 ：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴. 师 ：同学们，这位同学回答的对吗？ 生 3 ：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说

3、，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线. 教师活动 ：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（ 1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线. 设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师. 通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性.二、自主学习合作探究：探究活动一 ：圆的基本概念（

4、让学生注意观察动画课件）学案 ( 问题 3) ：（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？学情预设： 可能出现的情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法. 以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论. 学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨

5、论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. 生 1 ：(1) 连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧; 直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分叫做半圆 .大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧. 生 2 ：弦是线段，弧是曲线段. 弧的表示方法是在两个端点上面添加“ “ 符号 . MOOOABCDEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 生 3 ：弦分为过圆心的和不过圆心

6、的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧. 师 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质. 教师活动 ：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明. 生 4 ：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧. 生 5 ：直径是圆中最大的弦. 学生活动 :整理好笔记 . 设计意图：让学生带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题，提高课堂效率 . 探究活动二 ：垂径定理（问题 4）（1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？（2）若把AB向上平移

7、到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？（ 3） 思 考 ： 上 述探 索 过 程 利 用 了 圆 的 什 么 性 质 ？ 还 运 用 了哪 些 知 识 ？ 若只 证 明AM=BM，还有什么方法？（4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言. M优弧ABAMB半圆CD劣弧ABABOOOABCDEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学生活动： 拿出圆形纸片 , 将

8、其对折，得到一条折痕CD,在 CD上取一点M ，作 CD的垂线AB,然后再将圆沿CD对折，观察，得出结论. 生1 ： 垂 直 关 系 ； 相 等 的 量 有 ，AM=BM, 因为圆沿直线 CD 对折后，点A 与 B 重合 . 生 2 ： 若只证明 AM=BM，还可以用等腰三角形“ 三线合一 ” . 证明：连接OA, OB 则 OA=OB又 CDAB AM=BM,CD 是线段 AB 的垂直平分线点 A 和点 B 关于直线 CD 对称教师活动 : 引导学生总结并板书文字语言和几何语言：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧如图，在O中，即 CD 是直径AM=BM， CDAB

9、 于 M设计意图：用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力. 探究活动三 ：垂径定理的推论议一议：( 问题5) 同学们，如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例. 学情预设：大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导. 当 AB 与 CD 是O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立. 生

10、 1 ： 成立 . OA=OB, AM=BM, CDAB(三线合一 ) AC =BC , AD =BDMODCABAC =BC , AD =BDMOABCDMOABCDMOABCDAD=BDAC=BC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 生2 ：不一定成立，如图，当AB 是直径时，CD 平分 AB，但不垂直AB. 只有 AB 不是直径时，才成立. 师 ： 同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图

11、形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结.那么这个推论我们应该怎么说？在学生的归纳中，板书. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （ 问 题6 ） 如 果 我 们 继 续 交 换 条 件 是 否 能 够 、 、？学生活动：采取折叠- 重合 - 得出结论成立 . 师生共同归纳总结：由“直径、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论. 设计意图：对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性. （问题 7）例题分析例 1：如右图

12、所示，一条公路的转弯处是一段圆弧( 即图中弧CD，点 O 是弧 CD 的圆心 ) ，其中 CD=600m ，E 为弧 CD 上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90 m求这段弯路的半径学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题思路 . 教师活动 :与个别学生交流解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答. 生 ：解：连接OC，设弯路的半径是R，则OF=( R-90)m OECDCF=CD/2=300m（垂径定理）由勾股定理得AC =BC , AD =BD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

13、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - OC2=CF2+OF2即 R2=3002+( R-90)2解得 R=545 所以，弯路的半径是545m. 设计意图 :让学生在实践中理解垂径定理应用，在四个量半径R、弦 CD 的长、弦心距 OF 长、弓形高EF 的长中，任已知两个量可以求出另两个量. 一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 三、归纳总结，拓展提高 师 ：同学们，我们本节课学习了垂

14、径定理及推论，理解了与圆有关的应用，你有收获，或者是疑虑问题，交流一下. 学生活动：有独立思考，落笔组织语言的，也有相互讨论，交流总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见. 生：老师，如图，OCAB，可不可以使用垂径定理. 师 ：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用，同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线，在以后的学习中，注意体会和总结. 设计意图 :用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，学会提炼其中蕴含的数学思想方法，且能够灵活应用；学会自我反思，养成良好的数学学习习惯 . 课堂检测 : 1.已知 O 的半径为5，弦AB 的长为6 ，则这条弦的中点到弦所对劣

15、弧中点的距离为_. 考察知识点：理解垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题.答案提示：解：过 O 点作 AB 的垂线，垂足是D，且与弧 AB交于点 C, 连接 OA, OCABD 是 AB 的中点， C 是弧 AB 的中点，OD= 52-32=4DC=5-4=1 所以，这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为1MOABCDOCAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2.两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C

16、、D，若 AB=4，CD=2，圆心到AB 的距离为l，则大圆的与小圆的半径之比为_. 考察知识点：理解垂径定理的使用，加深认识辅助线“弦心距和半径”经常是成对构造的，以便构造直角三角形，解决问题.答案提示：解：51222OA51222OA21122OC21122OC则大圆的与小圆的半径之比为210253. 储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度考察知识点：主要是检测垂径定理在生活中的应用，解决此类问题的关键是画出示意图，转化为数学问题解答. 答案提示：由垂径定理知，mmoc12530032522mmoc12530032522油最大深度 =325-125=

17、200 （mm）4已知：如图，O 中， AB 为 弦， C 为 AB 的中点， OC 交 AB 于 D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求 O 的半径 OA. 考察知识点：数学方法的综合应用，主要是方程知识与图形解答的结合 .答案提示：解：设O 的半径为 r 在直角三角形 AOD 中，222OAODAD222OAODAD所以，222) 1(3rr222)1(3rrr=5cm OA =5cm学情预设：部分同学可以当堂完成，教师，当堂批改，及时知道学生的解答情况；部分同学需要老师的引导，才能完成解答. 教师活动：通过检查，关键看学生的图形构造，是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角形，运

18、用勾股定理解决问题.DOABCDCOABEDOABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 设计意图：通过例题的分析学习，让学生体会数学学习要善于构造图形，解决问题; 进一步理解，为了应用条件和已有的性质定理，需要添加辅助线来完善图形，从而培养学生良好的学习习惯. 板书设计：3.2 圆的对称性（ 1）一、圆的对称性二、垂径定理三、垂径定理的推论及应用圆是轴对称图形，垂直于弦的直径平分这条弦例题解答对称轴是任意一条过并且平

19、分弦所对的（两条）弧圆心的直线，教学反思：圆的对称性是一节操作性较强的课，所以，我在教学中首先创设“找圆心”情境，让学生感到新颖、有趣同时又注重了垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学；再以连贯的问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维. 让学生真正体验了探索获取新知的成绩感和成功感，同时也达到了培养学生学习主动性和创造性的目的；最后，通过提供有层次的达标检测题让学生应用所学解决实际问题. 孩子们在解决问题的同时享受到了成功的喜悦，个性得到了彰显，解决问题的能力也得到了充分的提升，更感受到数学的价值，从而更加热爱数学学习. 感到课堂不足的地方是，本节课学生操作和自主学习的时间多，每个环节的衔接要流畅，才能在课堂上完成，所以本节课要提前发放导学案，才能顺利完成课堂教学任务. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -