2022年完整word版,线性代数超强的总结 .pdf
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1、1 线性代数超强总结( )0Ar AnAAxAA不可逆有非零解是 的特征值的列(行)向量线性相关12()0,TsinAr AnAxAAAA AAAp pppAx可逆只有零解的特征值全不为零的列(行)向量线性无关是正定矩阵与同阶单位阵等价是初等阵总有唯一解R具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 关于12,ne ee:称为n?的标准基,n?中的自然基,单位坐标向量;12,ne ee线性无关;12,1ne ee;tr()=En;任意一个n维向量都可以用12,ne ee线性表示 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共
2、 14 页2 行列式的计算: 若AB与都是方阵(不必同阶) , 则( 1)mnAAAA BBBBAA BB上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. 关于副对角线:(1)211212112111( 1)n nnnnnnnnnnaaaaa aaaaKNN 逆矩阵的求法 : 1AAA1()()A EE AMM初等行变换11abdbcdcaadbcTTTTTABACCDBD12111121naanaaaaOO21111211naanaaaaNN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页3 11111221nnAAAAAAOO
3、11121211nnAAAAAANN 方阵的幂的性质:mnm nA AA()( )mnmnAA 设1110( )mmmmf xa xaxa xaL,对n阶矩阵 A规定:1110()mmmmfAa AaAa Aa EL为 A的一个多项式 . 设,m nn sABA的列向量为12,n,B的列向量为12,s,AB的列向量为12,sr rrL,1212121122,1,2, ,(,)(,),(,) ,.iissTnnniiiirAisAAAAA Bb bbAbbbABirAABirBLLLL则:即用中简若则单的一个提即:的第 个列向量是 的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度的第 个行向量
4、是 的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 用对角矩阵左乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;用对角矩阵右乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似 , 即:11112222,kkkkABABABABOO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页4 11112222kkkkA BA BABA BO 矩阵方程的解法:设法化成AXBXAB(I)或 (II)当0A时, ,BA BE XMM初等行变换(当 为一
5、列时(I) 的解法:构造 ()()即为克莱姆法则)TTTTA XBXX(II)的解法:将等式两边转置化为,用(I) 的方法求出,再转置得Ax和 Bx同解(,A B列向量个数相同) , 则: 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等; 它们对应的部分组有一样的线性相关性; 它们有相同的内在线性关系. 判断12,sL是0Ax的基础解系的条件: 12,sL线性无关; 12,sL是0Ax的解; ()snr A每个解向量中自由变量的个数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页5 零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量
6、正交. 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关;整体无关 , 部分必无关 . 原向量组无关 , 接长向量组无关;接长向量组相关, 原向量组相关 . 两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. 向量组12,n中任一向量i(1i)n都是此向量组的线性组合 . 向量组12,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余1n个向量线性表示 . 向量组12,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余1n个向量线性表示 . m维列向量组12,n线性相关()r An;m维列向量组12,n线性无关()r An. ()0r AA. 若12,n线性无关,而12,n线性相
7、关 , 则可由12,n线性表示 , 且表示法惟一 . ?矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. ?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行向量间的线性关系. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页6 向量组等价12,n和12,n可以相互线性表示 . 记作:1212,nn%矩阵等价A经过有限次初等变换化为B . 记作: AB%?矩阵 A与 B等价()(),r Ar BA B作为向量组等价 , 即:秩相等的向量组不一定等
8、价. 矩阵 A与 B作为向量组等价1212(,)(,)nnrr1212(,)nnr矩阵 A与 B等价. ?向量组12,s可由向量组12,n线性表示1212(,)nsr12(,)nr12(,)sr12(,)nr. ?向量组12,s可由向量组12,n线性表示 , 且sn,则12,s线性相关 . 向量组12,s线性无关 , 且可由12,n线性表示 , 则sn. ?向量组12,s可由向量组12,n线性表示 , 且12(,)sr12(,)nr, 则两向量组等价;?任一向量组和它的极大无关组等价. ?向量组的任意两个极大无关组等价, 且这两个组所含向量的个数相等. ?若两个线性无关的向量组等价, 则它们包
9、含的向量个数相等. ?若 A是mn矩阵, 则 ()min,r Am n , 若( )r Am, A的行向量线性无关;若()r An, A的列向量线性无关 , 即:12,n线性无关 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页7 线性方程组的矩阵式Ax向量式1122nnxxxL1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxbLLMMMMML12,1,2,jjjmjjnLM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页8
10、1212120,0,( )(),AnAnnAxAxAnAxAxAAxr Ar AnLLML当 为方阵时当 为方阵时有无穷多解有非零解线性相关有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关12( )(),( )()()1()Anr Ar AAxr Ar Ar Ar AMLMM当 为方阵时克莱姆法则不可由线性表示无解矩阵转置的性质:()TTAA()TTTABB A()TTkAkATAA()TTTABAB矩阵可逆的性质:11()AA111()ABBA111()kAkA11AA11()()TTAA11()()kkkAAA伴随矩阵的性质:2()nAAA()ABB A1()nkAkA1nAA11()()()(
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