2022年圆的基本性质知识点及经典例题总复习 .pdf

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1、- 1 -圆的基本性质总复习（一）【知识理解】知识点一：圆的定义及相关概念1.圆：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一端点 P 所经过的封闭曲线叫做圆，定点O 叫做圆心 ,线段 OP 叫做圆的半径记作“ O”.第二种定义：到定点O 的距离等于定长r 的点的集合弦；直径；注：在同一个圆中，直径是最长的弦，一个圆中有无数条弦和直径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示.半圆；优弧；劣弧；等弧2. 等圆：半径相等的圆. 同圆：同一个圆 . 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆. 知识点二：点与圆的位置关系设 O 的半径为 r，平面内任一点P 到圆心的距离为d，

2、则：点在圆外点在圆上点在圆内知识点三：确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆知识点四：三角形的外接圆1、经过三角形的各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形2、三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点注： 一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形知识点五：圆的对称性1、圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，每个圆都有无数条对称轴2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页- 2 -知识点六：图形的旋转由一个图形变

3、为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转这个固定的点叫做旋转中心（1）旋转的三要素旋转中心、旋转方向、旋转角度（2）图形旋转的性质图形经过旋转所得的图形和原图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度知识点七：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距垂径定理的逆定理：定理 1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 总结：如图

4、, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件 ,就可推出其余三个结论. CD 是直径 , CDAB, AM=BM, AC =BC , AD =BD . 知识点七：圆心角及圆心角定理圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 知识点八：圆周角及圆心角定理圆周角：顶点在圆上，两边都和角相交的角. 注：同一条弦所对的圆周角有2 个圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心

5、角度数的一半.推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角OABC DM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页- 3 -推论 2：90的圆周角所对的弦是直径推论 3：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.知识点九：圆的内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆定理一：圆内接四边形的对角互补定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）判定定理：（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一

6、个圆上（简称四点共圆）（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆知识点十：正多边形各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形任何正多边形都有一个外接圆性质：（1）正 n 边形的内角度数的和为：，正n 边形每个内角的度数为：；（2）任意正 n 边形的外角度数的和都为360，正 n 边形每个外角的度数为；（3）正多边形是对称图形当 n 为奇数时，是轴对称图形；当n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形知识点十一：弧长及扇形的面积1. 弧长公式半径为 R 的圆，周长公式为C=2

7、 R半径为 R 的圆中， n圆心角所对的弧长为： l= 2. 扇形面积公式半径为 R 的圆，面积公式为S= R2 扇形半径为R，圆心角为n，扇形弧长为 l，扇形面积为S，则：S= = 【知识应用】（例题）例 1. 有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（）A.4 个 B.3 个 C.3 个 D.2 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页- 4 -例 2如图，在 O 中， OC弦 AB 于点 C，AB 4，OC 1，则 OB 的长是

8、( ) A.3 B.5 C.15 D.17 例 3 如图， O 的弦 AB 8，M 是 AB 的中点，且OM 3，则 O 的半径等于 ( ) A8 B2 C 10 D5 例 4.如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB 宽为 10m，净高 CD 为7cm，则此隧道单心圆的半径OA 的长是（）A.5 B. 377 C.375 D.7 例 5. 半径相同的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长之比为（）A.1:2:3 B. 3:2:1 C. 1:2: 3 D. 3:2:1 例 6. 已知矩形ABCD 的边 AB=3cm ，AD=4cm ，若以 A 点为圆心作A，使B、C、 D 三点中至少有一

9、个点在圆内且至少有一个点在圆外，则A 的半径 r 的取值范围是例 7. 如图，在RtABC 中， ACB=90 ， A=40 ，以点 C 为旋转中心，将ABC 旋转到 ABC 的位置，使点B 落在 AB上， CA 交 AB 于点 D则ACA 的度数是 _例 8. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 _mm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页- 5 -例 9. 如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后

10、，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为 _cm. 例 10. 如图所示， C 是 O 的直径 AB 上一点，过点C 作弦 DE，使 CD=CO ，若AD的度数为40，求BE的度数为 . 例 11. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上，点A、B 的读数分别为86， 30，则 ACB 的大小为 . 例 12. 一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等于b，则这个正八边形的面积是_. 例 13. 如图，菱形ABCD 中， AB=2 ， C=60，菱形ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，则经过36 次这样的操作菱形中心O 所

11、经过的路径总长为 . EBOACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页- 6 -PDCBA例 14. 如图，在RtABC 中， C=90o， AC=4 ，BC=2 ，分别以AC、 BC 为半径画半圆，则图中阴影部分面积为 . 例 15. 如图，在半径为2，圆心角为90的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦 AB 于 D，连接 CD，则阴影部分面积是 . 例 16. 如图， P为等边三角形ABC 内一点， BPC 等于 150 ，PC=1，PB=2，求 AP 的长 . 例 17. 如图， O 的弦 AB 、CD 相交于点

12、P，PO 平分 APD 。求证： AB=CD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页- 7 -例 18. 如图所示， A、 B、C 三点在 O 上， CE 是 O 的直径， CDAB 于点D。（1）求证： ACD= BCE；（2）延长 CD 交 O 于点 F，连接 AE、BF，求证： AE=BF 例 19. 如图，四边形ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长AB 和 DC 相交于点 P.若APBP21，DPCP31，求ADBC的值 . 例 20. 如图， CF 是 ABC 的 AB 边上的高， FPBC，FQAC.求证： ABPQ四点共圆 . DFBOCEA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页